第八章 整式的乘法（复习课件）数学新教材冀教版七年级下册

单元复习课件 第八章 整式的乘法 新教材冀教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解并掌握幂的运算、整式乘法、乘法公式、科学记数法的核心法则，能规范完成各类基础运算 3.准确区分幂的各类运算、正确处理符号问题，灵活运用乘法公式进行变形与简便运算，解决复杂的整式混合运算问题 2.熟练运用幂的运算性质、整式乘法法则和乘法公式进行准确计算，能灵活解决整式乘法的综合运算问题 单元学习目标 整式的乘法 幂的运算性质 整式乘法 科学记数法 同底数幂相乘 幂的乘方 积的乘方 同底数幂相除 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 乘法公式 平方差公式 完全平方公式 单元知识图谱 考点一、同底数幂的乘法 注意事项： 1.必须是底数相同的幂才能用此法则，底数不同时需先转化为同底数 2.底数可以是数、字母、单项式或多项式，若底数为多项式，需将其看作整体。 3. 注意符号：与 底数不同，不可混淆。 4. 不要遗漏指数为1的情况。 1. 同底数幂的乘法运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 用字母表示为am·an＝am＋n(m，n都是正整数). 2.性质的拓展运用 (1)同底数幂乘法的性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p(m，n，…，p都是正整数). (2)同底数幂乘法的性质既可正用，也可逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数). 考点串讲 考点二、幂的乘方 注意事项： 用幂的乘方的性质计算时，不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，其相同点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法为指数相加，而幂的乘方为指数相乘. 1. 幂的乘方的性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘 . 用字母表示为(am)n＝amn(m，n都是正整数). 2. 性质的拓展运用 (1)幂的乘方的性质的推广：[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)； (2)幂的乘方的性质既可以正用，也可以逆用，逆用时amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数). 考点串讲 考点三、积的乘方 注意事项： 1. 积的乘方的底数是乘积的形式，每个因式可以是单项式，也可以是多项式. 2. 在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项. 3. 若底数为和的形式，则不能用该性质，即(a+b) n ≠ an+bn. 1. 积的乘方的性质 积的乘方，等于各因式乘方的积. 用字母表示为(ab)n＝anbn(n为正整数). 2. 积的乘方的性质的拓展运用 (1)积的乘方的性质的推广：(abc)n＝anbncn(n为正整数)； (2)积的乘方的性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn＝(ab)n(n为正整数). 考点串讲 考点四、同底数幂的除法 注意事项： 1. 运用性质的关键： 一是底数相同，二是除法运算. 二者缺一不可. 2. 底数a可以是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 1. 同底数幂的除法的性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用字母表示为am÷an＝am－n (a ≠ 0，m，n是正整数). 2. 性质的拓展运用 (1)性质的推广：am÷an÷ap＝am－n－p(a≠0，m，n，p都是正整数). (2)同底数幂的除法的性质既可以正用，也可以逆用， 逆用时am－n＝am÷an(a ≠ 0，m，n是正整数). 考点串讲 注意事项： 1. 在同底数幂的除法中，零次幂是除式与被除式的指数相同时的特殊情况； 2.零次幂的指数为0，但底数不能为0，因为底数为0 时，除法无意义. 3. 零次幂 我们规定：a0=1 (a ≠ 0)，即任何不等于0 的数的0 次幂都等于1 . 考点四、同底数幂的除法 考点串讲 注意事项： 1. 负整数次幂既可以等于同底数的正整数次幂的倒数，也可以等于这个底数的倒数的正整数次幂，即a－p＝＝()p. 2. 整数次幂的运算结果要化成正整数次幂的形式. 3.负整数次幂 我们规定： (，是正整数)， 即任何不等于0 的数的次幂，等于这个数的 次幂的倒数. 总结：整数次幂的运算性质 (1)am·an＝am＋n(a ≠ 0，m，n是整数)； (2)(am)n＝amn(a ≠ 0，m，n是整数)； (3)(ab)n＝anbn(a ≠ 0，b ≠ 0，n是整数)； (4)am÷an＝am－n(a ≠ 0，m，n是整数). 考点四、同底数幂的除法 考点串讲 注意事项： 1. 单项式与单项式相乘的结果仍为单项式； 2. 单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. 考点五、整式的乘法 1. 单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各乘式系数的积； (2)将同底数幂相乘； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 考点串讲 注意事项： 1. 单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法对加法的分配律将其转化为单项式与单项式相乘. 2. 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同. 3. 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加. 用字母表示为m (a+b+c )=ma+mb+mc. 4. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为m(a+b+c)， 也可以表示为三个小长方形的面积之和，即ma+mb+mc， 所以m (a+b+c)=ma+mb+mc. 考点五、整式的乘法 考点串讲 注意事项： 1. 多项式相乘法则的实质是将多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式. 2. 多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积. 3.计算时一定要注意合并同类项. 5. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 用字母表示为 (a+b) (m+n)=am+an+bm+bn. 6. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为 (a+b) (m+n)，也可以表示为四个小长方形的面积之和，即am+an+bm+bn. 所以 (a+b) (m+n) =am+an+bm+bn. 考点五、整式的乘法 考点串讲 考点六、平方差公式 1. 公式的特征： 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方. 2. 平方差公式中的a，b 既可代表一个单项式，也可代表一个多项式. 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 用字母表示为 (a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2. 借助几何图形理解平方差公式 如图所示，图①中阴影部分的面积是a2-b2， 图② 中阴影部分的面积是(a+b)(a-b)， 于是(a+b)(a-b)=a2-b2 . 考点串讲 考点六、平方差公式 3. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2 符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2 b2－a2 系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2 指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4 增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)=(a－b)2－c2 =a2-2ab+b2-c2 连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4 考点串讲 考点七、完全平方公式 1.公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的两项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍. 2. 公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式. 1. 完全平方公式 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2 倍. 用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2 ；(a-b)2=a2-2ab+b2 . 2. 理解 如图①边长为a+b 的正方形的面积是(a+b)2，它的面积还可以视为两个小正方形面积与两个小长方形面积的和， 即a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，所以(a+b)2 =a2+2ab+b2. 如图②，边长为a-b 的正方形的面积是(a-b)2，它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形的面积， 即a2-ab-b(a-b)=a2-2ab+b2，所以(a-b)2=a2-2ab+b2. 考点串讲 3. 完全平方公式的几种常见变形 (1) a2+b2=(a+b)2-2ab= (a-b)2 +2ab； (2) (a+b)2= (a-b)2 + 4ab； (3) (a-b)2 = (a+b)2 -4ab； (4) (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2 )； (5) (a+b)2 - (a-b)2 =4ab； (6) ab= ［(a+b)2-（a2+b2)］= ［(a+b)2 - (a-b)2 ］； (7) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2］. 考点七、完全平方公式 考点串讲 考点八、科学记数法 1. 科学记数法 把一个较大的数或较小的数写成a×10n (1 ≤ a<10，n为整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 2. 科学记数法表示较大数时a和n的确定方法 (1)确定a的方法：将原数的小数点移到最高数位的数字的后边即可得到a的取值. (2)确定n 的两种方法： ① 根据原数的整数位数来确定n，n 等于原数的整数位数减1 . ②按小数点移动的位数来确定n，小数点向左移动了几位，n 就等于几. 考点串讲 注意事项： 1. 用科学记数法表示数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，前后一致. 2.用科学记数法表示负数时，方法和正数一样，区别就是前面多一个“”号. 3.用科学记数法表示绝对值小于1的数时, 10的指数是负数. 3. 用科学记数法表示较小数时a 和n 的确定方法 (1)确定a 的方法：将原数的小数点移到左数第一个不为0的数字的后面即可确定a. (2)确定n 的两种方法： ① n 的绝对值等于原数中左起第一个非0的数前面0的个数(包括小数点前的那个0)； ② 小数点向右移到第一个非0 的数后，小数点移动了几位，n 的绝对值就等于几. 考点八、科学记数法 考点串讲 题型一、同底数幂的乘法 例1 解: （1） ______. （2） _____. （3） ________. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 遵循“底数不变，指数相加”法则；多个同底数幂相乘，依次累加指数；底数不同时，先转化为同底数幂（如将幂的形式转化为最小底数的幂），再计算。 注意事项 1. 必须保证底数完全相同才可使用法则，底数不同时不可直接将指数相加。 2. 底数为多项式时，需将整个多项式看作一个整体，不可拆分计算。 3. 指数为1时不可遗漏 题型一、同底数幂的乘法 题型剖析 解:原式= 可得， 变式1.(1)若 ，则 ( ) D A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 (2)已知，则 的值为____. 81 题型一、同底数幂的乘法 解:根据题意得 题型剖析 题型二、幂的乘方 例2.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 遵循“每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”法则，即（为正整数）；多个因式相乘，依次将每个因式乘方后再相乘；含系数时，系数也要单独乘方。 注意事项 1. 不可遗漏任何一个因式的乘方，包括系数和单独的字母。 2. 系数为负数时，先判断符号（指数奇偶性），再计算系数的乘方和字母的乘方。 3. 可逆用公式简化计算，尤其适用于系数相乘能凑整的情况。 4. 积的乘方与幂的乘方结合时，先算幂的乘方，再算积的乘方，分步运算。 题型二、幂的乘方 题型剖析 解:根据题意可得 故选A项 变式2.若， 是正整数，且满足， 则与 的关系正确的是( ) A A. B. C. D. 题型二、幂的乘方 题型剖析 题型三、积的乘方 例3.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 遵循“底数不变，指数相乘”法则； 多层幂的乘方，从最内层开始，依次将指数相乘； 含符号底数时，先根据指数奇偶性判断符号，再计算指数. 注意事项 1. 严禁与同底数幂乘法混淆，幂的乘方是指数相乘，同底数幂乘法是指数相加。 2. 底数含负号时，指数为偶数则结果为正，指数为奇数则结果为负，先定符号再算指数。 3. 底数为多项式时，整体看待，不可展开多项式后再乘方，避免计算繁琐且出错。 题型三、积的乘方 题型剖析 解:原式= 变式3.(1)已知是正整数，且，则 _____. 184 (2)若，，则用,表示 的结果为______. 题型三、积的乘方 解: 题型剖析 题型四、单项式乘单项式 例4 （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 分三步计算——① 系数相乘（含符号）； ② 同底数幂分别相乘（指数相加）； ③ 只在一个单项式中含有的字母，连同其指数直接作为积的因式； 最后将三部分结果合并，得到最终单项式。 注意事项 1. 系数相乘时，严格判断符号，负号与正号相乘得负，负号与负号相乘得正，不可遗漏符号。 2. 同底数幂相乘需遵循同底数幂乘法法则，单独的字母（指数为1）不可遗漏。 3. 结果的次数为所有单项式次数之和，确保次数计算正确。 4. 多个单项式相乘时，分步计算，先算前两个，再将结果与第三个相乘，避免出错。 题型四、单项式乘单项式 题型剖析 变式4.已知单项式与的积与 是同类项， 求， 的值. 解： . 与 是同类项， ， . ， . 题型四、单项式乘单项式 题型剖析 例5 题型五、单项式乘多项式 （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 遵循“分配律”，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；若单项式含负号，乘每一项时注意变号；含幂的单项式，先算幂的运算，再进行乘法分配 注意事项 1. 严禁漏乘，必须用单项式乘多项式的每一项，不可只乘第一项或部分项。 2. 多项式的每一项都包含前面的符号，单项式为负时，每一项都要变号，避免符号错误。 3. 计算完成后，若有同类项，需合并同类项，化为最简多项式。 4. 混合运算时，先算乘方，再算乘法，最后算加减，遵循运算顺序。 题型五、单项式乘多项式 题型剖析 解:根据题意得 原式= 变式5.若规定 表示单项式 ， 表示多项式 ， 则计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 题型五、单项式乘多项式 题型剖析 题型六、多项式乘多项式 （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 例6 题型剖析 题型六、多项式乘多项式 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 例6 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；特殊形式，可直接套用“”快速计算；含符号时，先判断每一项的符号，再相乘 注意事项 1. 按顺序相乘（如“左上乘右上、左上乘右下、左下乘右上、左下乘右下”），确保不重不漏。 2. 每一项的符号都要参与运算，相乘时注意符号的正负判断，避免漏变号。 3. 相乘后必须合并同类项，化为最简多项式，不可保留未合并的同类项。 4. 两个多项式相乘，未合并同类项前，项数等于两个多项式项数的乘积，可用于检查是否漏乘。 题型六、多项式乘多项式 题型剖析 变式6.先化简，再求值：， 其中， . 解：原式 . 当，时，原式 . 题型六、多项式乘多项式 题型剖析 题型七、平方差公式 例7.先化简，再求值：，其中 . 解：原式 . 当时，原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 1. 正向运用：先找准“相同项”和“相反项”，套用公式，即相同项的平方减去相反项的平方； 2. 逆用运用：若式子为，转化为，用于简化计算； 3. 多项式类：将多项式看作整体，调整结构，凑出“相同项+相反项”的形式，再套用公式。 注意事项 1. 公式适用条件：左边必须是两个二项式相乘，且一项完全相同，另一项互为相反数，否则不可用。 2. a，b可表示数、字母、单项式或多项式，关键是找准“相同项”和“相反项”，不可混淆。 3. 计算时，a，b若是单项式，需整体平方，不可只平方字母，遗漏系数。 4. 避免错用公式，如是完全平方，不可用平方差公式计算。 题型七、平方差公式 题型剖析 变式7（1）已知，且，求 的值. 解： ， 且 ， . （2）已知，求 的值. 解： ， . 题型七、平方差公式 题型剖析 题型八、完全平方公式 例8.先化简，再求值： ，其中， . 解：原式 . 当， 时， 原式 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 1. 正向运用：和的平方，差的平方，遵循“首平方、尾平方，积的2倍在中央”； 2. 多项式类：将多项式看作整体，凑出“和”或“差”的形式，再套用公式； 3. 公式变形：利用、，进行代数式求值。 注意事项 1. 严禁漏写中间项“2ab”，这是最高频易错点，牢记“积的2倍”不可省略。 2. 差的完全平方，中间项为负，末尾项为正，不可写成。 3. a、b为单项式时，需整体平方，系数和字母都要平方。 4. 区分与，前者结果为非负数，后者为非正数，不可混淆。 题型八、完全平方公式 题型剖析 解: 变式8.(1)已知，，则 ____. 29 (2)已知，，则 ___. 4 (3)已知，，则 ____. 25 题型八、完全平方公式 解: 解: 题型剖析 题型九、科学记数法 例9.(1)2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆.据文化和旅游部数据中 心统计，国内旅游消费超过1 800亿元，同比增长 .将数据1800亿用 科学记数法表示是( ) B A. B. C. D. (2).诺如病毒的直径最小约是（纳米）， ，将 用科学记数法表示为的形式，则 的值为( ) A A. B. C. D. 9 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 科学记数法表示（大数/小数/负数）：统一写成（ ，n为整数）的形式；大数时n为正整数，等于原数整数位数减1；小数时n为负整数，等于原数左起第一个非0数字前所有0的个数；负数需将负号保留在a前。 2. 科学记数法还原：正指数n，将a的小数点向右移动n位（不足补0）；负指数，将a的小数点向左移动n位（不足补0）；含单位的先还原数字，再统一单位。 注意事项 1. a 必须满足，不可写成或的形式。 2. n 的确定需准确：大数看整数位数减1，小数看第一个非0数字前0的个数，不可数错。 3. 负数的科学记数法，负号不可遗漏，且不可写在的指数上。 4. 区分正、负指数：大数对应正指数，小数对应负指数，不可混淆。 5. 还原时，小数点移动方向不可出错：正指数向右移，负指数向左移，补0个数需准确。 6. 含单位的还原，需先明确单位换算关系，避免单位错误。 题型九、科学记数法 题型剖析 变式9.(1)世界上最薄的纳米材料其理论厚度是 ，该数据用 科学记数法表示为，则 的值为( ) C A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 (2)某正方形广场的边长为 ，其面积用科学记数法表示为( ) C A. B. C. D. 解:正方形面积= 题型九、科学记数法 题型剖析 解： 1.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 针对训练 2.计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 解： 针对训练 解： A. B. C. D. 3.“ ”用科学记数法表示为( ) B 针对训练 解：根据题意得 ， 4.已知，则 ( ) B A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 针对训练 解：，错误 ，错误 ，错误 ，错误 5.下面是嘉淇同学在一次测试中做的四道题，每题2分，则嘉淇同学的 得分为( ) ； ； ； . A A. 0分 B. 2分 C. 4分 D. 8分 针对训练 解： 故选A项 6.若，则代数式 应为( ) A A. B. C. D. 针对训练 解： ， 7.若，则， 的值分别为( ) D A. 3，9 B. ， C. 3， D. ，9 针对训练 解：， 8.若，，则 等于( ) D A. B. C. D. 针对训练 解： B项符合题意. 9.已知，，求 的值.我们可以用边长分别 为和其中 的两种正方形组成一个图形来解决这个问题，能较 为简单地解决这个问题的图形是( ) B A. B. C. D. 针对训练 10.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 针对训练 11.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 针对训练 12.已知，，求 的值. 解：， ， . 针对训练 13.已知 ，求 的值. 解： ， ，解得 . . 针对训练 14.如图所示的是一块长为 ，宽为 的长方形地 块，某校计划将阴影部分铺设为塑胶跑道，中间建设一个足球场地. （1）塑胶跑道的面积是多少平方米？（用含， 的代数式表示） 解：塑胶跑道的面积为 . 针对训练 （2）当 时，求塑胶跑道的面积. 解：当 时， 塑胶跑道的面积为 . 针对训练 ✅ 知识构建：一次函数 幂的运算 → 整式的乘法 → 乘法公式 → 科学记数法 ✅ 思想方法： 转化思想、整体思想、类比思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $