2026年九年级数学中考压轴题几何模型 专题15 铅垂法求三角形面积最值

专题15 铅垂法求三角形面积最值 铅垂法求三角形面积最值（简称 “铅垂法面积模型”），由平面直角坐标系与三角形面积公式推导得出，是解决平面直角坐标系中三角形面积及最值问题的核心方法，可快速转化图形面积表达式、锁定最值求解路径，中考常以代几综合、动点轨迹、二次函数压轴题型出现，题目兼具综合性与实用性，思路简洁、可操作性强，是几何与代数融合思想的典型应用。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析铅垂法求三角形面积最值的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 模型讲解 ) 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积． 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样： 构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： 此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离． 由题意得：AE+BF=6． 下求CD： 根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为： 由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4， 将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2， 故D点坐标为（4,2），CD=5, ． 【方法总结】 作以下定义： A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”． 如图可得： 【解题步骤】 （1）求A、B两点水平距离，即水平宽； （2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C； （3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标； （4）根据C、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？ 铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． （2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． 甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高． （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD． （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． ( 例题分析 ) 例1．在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线交抛物线于，两点，如图2所示． ①求面积的最小值． ②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得、、，进而得、、三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）①设直线的解析式为，，，，，联立方程组求得，再由三角形的面积公式求得结果； ②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，由列出方程求得的值，再根据题意舍去不合题意的值，再求得的中点坐标，便可求得直线的解析式． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 在等腰中，垂直平分，且， ， ，，， ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）①设直线的解析式为，，，，， 由，可得， ，， ， ， ， 当时取最小值为4． 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称， ，即， 解得，，，，， ，不合题意，舍去， 当时，点， 线段的中点为， ， ， 直线的表达式为：， 当时，点，， 线段的中点为，， ， ， 直线的解析式为． 综上，点，，直线的解析式为或点，，直线的解析式为． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得、两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出的方程，以及求得的中点坐标． 例2.如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求抛物线的解析式． （2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值． 【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解； （2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S△ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论． 【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0）， ∴0＝﹣3+n， ∴n＝3， ∴直线解析式为：y＝﹣x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点B（0，3）， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D， ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∵点D在直线AB上， ∴点D的坐标为（m，﹣m+3）， ∴PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， 在y＝﹣x2+2x+3中．令y＝0．则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴点C的坐标为（﹣1，0）， ∴S＝S△ABC+S△ABP4×3（﹣m2+3m）×3（m）2， ∴当m时，S最大，最大值为． 例3．已知二次函数和一次函数的图象都经过点，且二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． （1）分别求、和、的值； （2）点是二次函数的图象上一动点，且点在轴上方，写出的面积关于点的横坐标 的函数表达式，并求的最大值． 【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案； （2）分两种情况：①当点在轴左侧时，过点作轴交于点，②当点在轴右侧时，过点作轴交的延长线于点，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形的面积，配方可得答案． 【解答】解：（1）二次函数和一次函数的图象都经过点，一次函数的图象经过点， ， ， 二次函数和一次函数的图象都经过点，二次函数的图象经过点， ， ． （2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：或， ①当点在轴左侧时，过点作轴交于点，则， ②当点在轴右侧时，过点作轴交的延长线于点， 则， 点在抛物线上，设，则， ， ， 即当时，最大． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键。 ( 课堂随练 ) 练1．如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上有一动点，使得的面积最大，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点、、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分是边、是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解． 【解答】解：（1）将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为； （2）设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点的坐标为，则点， 则的面积， ，故该抛物线开口向下，的面积存在最大值，此时， 则点的坐标为； （3）存在，理由： 设点的坐标为，则①， ①当是边时， 点向下平移3个单位得到点，则点向下平移3个单位得到点， 则或②， 联立①②并解得或（不合题意的值已舍去）； ②当是对角线时， 则由中点公式得：③， 联立①③并解得（不合题意的值已舍去）； 综上，点的坐标为或，或，． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 练2．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标及面积的最大值； （3）在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将、、坐标代入即可求解析式； （2）设坐标，表示出的面积，再求出最大面积和面积最大时的坐标； （3）两个直角顶点是对应点，而两直角边的比为，只需两直角边比也为，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可． 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为， 二次函数的图象交坐标轴于，，， ，，， 解得，，， 二次函数的解析式为， 故答案为：； （2）设直线解析式为，将，代入得， 解得，， 解析式是， 如答图1，过作轴，交于， 点是直线下方抛物线上的一个动点， ，，， ， ， ， 时，最大为，此时， ，， 故答案为：，，最大为； ，，， ，， 点在轴上， ， 若以，，为顶点的三角形与相似，则与对应， 分两种情况： ①如答图2，， 则即，解得， 或； ②， 则即，解得， 或， 综上所述，存在轴上的点，使以，，为顶点的三角形与相似，这样的点一共4个：或， 或， 故答案为：存在这样的点，坐标分别是：或，或， 【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中． ( 巩固提高 ) 1．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）过点作轴于，交于点，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解； （3）设直线与轴交于点，过点作于，先求出点，点坐标，可求解析式，可得，由等腰直角三角形的性质可得，由两点距离公式可列，即可求解． 【解答】解：（1）点，点在抛物线图象上， ， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）点，点， 直线解析式为：， 如图，过点作轴于，交于点， 设点，则点， ， ， 当时，有最大值， 点，； （3）存在满足条件， 理由如下：抛物线与轴交于、两点， 点， ， 顶点为， 点为，点， 直线的解析式为：， 如图，设直线与轴交于点，过点作于， 点， ， ， ， ， ， ， 设点， 点到直线的距离等于点到点的距离， ， ， ， ， ， ， 存在点满足要求，点坐标为或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键． 2．如图，抛物线过点和，顶点为，直线与抛物线的对称轴的交点为，，平行于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，点的横坐标为，四边形为平行四边形． （1）求点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点，同时在抛物线上取一点，使以为一边且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点和点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，求出点的坐标，由平行四边形的性质得出，求出的值，则可得出答案； （2）设，作轴交于点，则，得出，由二次函数的性质可得出答案； （3）联立直线和抛物线解析式求出，，设，，分两种情况：①当为对角线时，②当为对角线时，分别求出点和的坐标即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， ，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为， 点纵坐标为， 点的坐标为，， 又点在抛物线上， ， 对称轴为：， ， 解析式化为：， 四边形为平行四边形． ， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设，作轴交于点， 则， ， ， 当时，的面积最大为，此时，． （3）， 或， ，， 设，， ①当为对角线时， ， 在抛物线上， ， 解得， ，； ②当为对角线时， ， 在抛物线上， ， 解得， ，，． 综上所述，，；或，，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键． 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论； （2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论； （3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC（m）2，即可得出结论． 【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3）， ∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3， ∵点B（3，0）在二次函数图象上， ∴9+3b﹣3＝0， ∴b＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在，理由：如图1， 连接PP'交y轴于E， ∵四边形POP'C为菱形， ∴PP'⊥OC，OE＝CEOC， ∵点C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴OE， ∴E（0，）， ∴点P的纵坐标为， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴x2﹣2x﹣3，∴x或x， ∵点P在直线BC下方的抛物线上，∴0＜x＜3， ∴点P（，）； （3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0）， ∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）， ∴F（m，0）， ∴S四边形ABPC＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFBOA•OC（OC+PF）•OFPF•BF 1×3（3﹣m2+2m+3）•m（﹣m2+2m+3）•（3﹣m） （m）2， ∴当m时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时，P（，）， 即点P运动到点（，）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为． 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有面积最大值，此时点的坐标为； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． ( 第 1 页 共 28 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 第 28 页 共 28 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 铅垂法求三角形面积最值 铅垂法求三角形面积最值（简称 “铅垂法面积模型”），由平面直角坐标系与三角形面积公式推导得出，是解决平面直角坐标系中三角形面积及最值问题的核心方法，可快速转化图形面积表达式、锁定最值求解路径，中考常以代几综合、动点轨迹、二次函数压轴题型出现，题目兼具综合性与实用性，思路简洁、可操作性强，是几何与代数融合思想的典型应用。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析铅垂法求三角形面积最值的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 模型讲解 ) 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积． 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样： 构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： 此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离． 由题意得：AE+BF=6． 下求CD： 根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为： 由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4， 将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2， 故D点坐标为（4,2），CD=5, ． 【方法总结】 作以下定义： A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”． 如图可得： 【解题步骤】 （1）求A、B两点水平距离，即水平宽； （2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C； （3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标； （4）根据C、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？ 铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． （2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． 甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高． （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD． （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． ( 例题分析 ) 例1．在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线交抛物线于，两点，如图2所示． ①求面积的最小值． ②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 例2.如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求抛物线的解析式． （2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值． 例3．已知二次函数和一次函数的图象都经过点，且二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． （1）分别求、和、的值； （2）点是二次函数的图象上一动点，且点在轴上方，写出的面积关于点的横坐标 的函数表达式，并求的最大值． ( 课堂随练 ) 练1．如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上有一动点，使得的面积最大，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 练2．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标及面积的最大值； （3）在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 巩固提高 ) 1．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线过点和，顶点为，直线与抛物线的对称轴的交点为，，平行于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，点的横坐标为，四边形为平行四边形． （1）求点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点，同时在抛物线上取一点，使以为一边且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点和点的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． ( 第 28 页 共 28 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $