精品解析：河北石家庄市第一中学2025-2026学年高一下学期学情检测反馈考试一数学试题

石家庄市第一中学高一下学期学情检测反馈考试一 数学 命题人：马焕新 审核人：马玉菲 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，成立， 无意义，不成立， 所以. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，求出，即可得出结果. 【详解】由题意得，虚部是. 故选：C. 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点， 则. 故选：C. 4. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 5. 已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 6. 在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为为钝角三角形，则， 所以， 由正弦定理得，又，则， 又因为，由余弦定理得. 故选：A. 7. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数单调性结合中间值，可得，再结合指数函数单调性可得，即可比较大小. 【详解】因为，即，可得； 又因为，即，可得； 所以， 且，即，可得； 且，所以. 故选：D. 8. 已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，得到，结合复数的运算法则和复数模的计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】设，则 对于A中，， 所以与不能恒成立，所以A符合题意； 对于B中，由， 所以恒成立，所以B不符合题意； 对于C中，由， ， 因为与不一定相等，所以不恒成立，符合题意； 对于D中，由， 所以恒成立，所以D不符合题意. 故选：AC. 10. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断A； 利用消元法结合二次函数的性质即可判断B；利用基本不等式结合对数运算即可判断C；利用基本不等式结合指数运算即可判断 D. 【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则A错误； , ，，，, 当时，的最小值为，则B正确； 因为，且，所以，所以， ,当且仅当时，等号成立，则C正确； ,当且仅当时，等号成立，则D正确； 故选：BCD. 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量的线性运算判断A；由数量积的定义判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质判断C；将目标式子转换为三角函数判断 D． 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，设， 则，当时，取得最大值为5，C错误； 对于D，,， ，则 ， 由，得， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】复数乘方运算化简复数，进而求模即可. 【详解】，故. 故答案为： 13. 已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 【答案】13 【解析】 【分析】运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m可得结果. 【详解】因为A，B，C三点共线，所以设， 即：， 所以，消去m得：. 故答案为：13 14. 的内角的对边分别为，若，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，将边转化为角的正弦形式，利用内角和，统一变量，展开正弦差，化简表达式，辅助角公式求最大值. 【详解】根据正弦定理：， 已知， 因此：， 由此可得：， 三角形内角和为，因此，即， 将目标式代入边的表达式：， 利用两角差的正弦公式，展开： 代入原式化简：， 利用辅助角公式，对化简后的式子变形： ，其中（为锐角）， 由于，因此可以取到，此时，取得最大值； 因此的最大值为. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为， （1）请用数学语言叙述正弦定理： （2）用向量方法证明您的叙述（非向量方法不得分！） 【答案】（1）已知的内角的对边分别为，则． （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 已知的内角的对边分别为，则． 【小问2详解】 ①当为直角三角形时， 在中，若，则，， 所以，，又，所以． ②当为锐角三角形时， 在锐角中，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为， 所以， 因为，，， 所以，所以， 同理，过点作与垂直的单位向量，可得， 所以 ③当为钝角三角形时， 在钝角中，若为钝角，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为， 根据锐角中的证明方法，同样可得， 综上所述，的内角的对边分别为，则． 16. 已知复数为虚数单位． （1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； （3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据复数实部与虚部的定义列出方程即可求解； （2）根据复数的几何意义，列出方程组求解即可； （3）将复数代入方程，结合复数的运算列出方程组求解即可． 【小问1详解】 由题意得，解得． 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得，． 17. 已知向量； （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量的坐标运算和模长的计算公式，即可求解； （2）根据向量平行列方程，由此求得，即可求解； （3）利用向量数量积的坐标运算及模长公式，先求出，，，再根据向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 则． 【小问2详解】 ， 则， 因为，所以， 即，解得． 【小问3详解】 由题知， 则，又， 所以， 又，， 所以． 18. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. 【小问2详解】 由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得. 【小问3详解】 因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为. 19. 在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． （1）若，，，求； （2）若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）16. 【解析】 【分析】（1）根据题意得是的重心，再根据余弦定理求解； （2）设，根据余弦定理得出，及，，再求出三角形的面积，根据三角恒等变换和均值定理求解即可. 【小问1详解】 由题意知是的重心， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，设，则. 在中，由余弦定理可得， 即，得 又，， 所以 记，则， 则， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学高一下学期学情检测反馈考试一 数学 命题人：马焕新 审核人：马玉菲 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）． A. B. C. D. 4. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_________. 13. 已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 14. 的内角的对边分别为，若，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为， （1）请用数学语言叙述正弦定理： （2）用向量方法证明您的叙述（非向量方法不得分！） 16. 已知复数为虚数单位． （1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； （3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 17. 已知向量； （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 18. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 19. 在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． （1）若，，，求； （2）若，，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $