第九章 解三角形（单元自测·提升卷）数学人教B版必修第四册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第九章 解三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 2．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知在中， 角的对边分别为，若的面积为， 且， 则（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 6．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（    ） A． h B． h C． h D． h 7．第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图． 世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中（，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于C，，若米，米，，，，，则的长约为（    ） A．27米 B．28米 C．29米 D．30米 8．已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，下列结论正确的是（    ） A．若，，则A可以是 B．若，，，则b只能是1 C．若△ABC是锐角三角形，，，则边长c的取值范围是 D．若，则角A的取值范围是 10．已知的角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为等腰非等边三角形 D．为等边三角形 11．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（    ） A．为定值 B． C． D．的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为_________m． 13．在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为___________. 14．某中学组队到某村参加社会实践活动，村主任让学生测量河流两岸与两点间的距离．同学们各抒己见，但李明想到一种测量方法，同学们一致认为很好．其方法是：在点处垂直底面竖立一根竹竿，在竹竿上取一点，使米，在处测得从看的俯角为． ①当和在同一水平面上时（如图1）．测得______米； ②当和不在同一水平面上（和，在同一水平面上）时（如图2），利用测角仪测得，此时，可测得______米． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确地计算出地月距离.他们的测量方案是：拉卡伊和拉朗德分别来到观测地德国柏林（A点）和非洲南端的好望角（点），这两个地方经度相近，可看做在同一经度线上，纬度分别是北纬度和南纬度，他们同一时间分别在这两个地方进行观测.如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即是平面四边形时，在A点（柏林）测出月亮的天顶距（即离开头顶方向的角度），在点（好望角）测出月亮的天顶距.在中求出，和，在此基础上，解，求出地月距离的近似值或.设地球的半径为，利用测量方案中提供的数据（，，，，），求： (1)和； (2). 16．（15分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上． （1）求此山的高度（单位：km）； （2）设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为，求． 17．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且． (1)当，时，求，的值； (2)若角为锐角，求的取值范围． 18．（17分）中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 19．（17分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第九章 解三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 2．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知在中， 角的对边分别为，若的面积为， 且， 则（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 6．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（    ） A． h B． h C． h D． h 7．第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图． 世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中（，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于C，，若米，米，，，，，则的长约为（    ） A．27米 B．28米 C．29米 D．30米 8．已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，下列结论正确的是（    ） A．若，，则A可以是 B．若，，，则b只能是1 C．若△ABC是锐角三角形，，，则边长c的取值范围是 D．若，则角A的取值范围是 10．已知的角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为等腰非等边三角形 D．为等边三角形 11．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（    ） A．为定值 B． C． D．的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为_________m． 13．在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为___________. 14．某中学组队到某村参加社会实践活动，村主任让学生测量河流两岸与两点间的距离．同学们各抒己见，但李明想到一种测量方法，同学们一致认为很好．其方法是：在点处垂直底面竖立一根竹竿，在竹竿上取一点，使米，在处测得从看的俯角为． ①当和在同一水平面上时（如图1）．测得______米； ②当和不在同一水平面上（和，在同一水平面上）时（如图2），利用测角仪测得，此时，可测得______米． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确地计算出地月距离.他们的测量方案是：拉卡伊和拉朗德分别来到观测地德国柏林（A点）和非洲南端的好望角（点），这两个地方经度相近，可看做在同一经度线上，纬度分别是北纬度和南纬度，他们同一时间分别在这两个地方进行观测.如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即是平面四边形时，在A点（柏林）测出月亮的天顶距（即离开头顶方向的角度），在点（好望角）测出月亮的天顶距.在中求出，和，在此基础上，解，求出地月距离的近似值或.设地球的半径为，利用测量方案中提供的数据（，，，，），求： (1)和； (2). 16．（15分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上． （1）求此山的高度（单位：km）； （2）设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为，求． 17．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且． (1)当，时，求，的值； (2)若角为锐角，求的取值范围． 18．（17分）中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 19．（17分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第九章解三角形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 6 1 B B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9.CD 10.ABD 11.ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.153 2 13.4+2V2. acosa 14. tan a cos a B 四、解答题（共5小题，共77分） 15.【详解】(1)由题意可得：∠AOE=B1,∠BOE=B2,∠CAO=T-C1,∠CBO=T-Q2, AO=BO=R,则△AOB为等腰三角形，顶角∠AOB=B1+B2, 所以LOAB n-B+B2) 2 3分 由余弦定理得：AB=A02+BO2-2A0·B0 cos AOB=2R.1-C0sB1+B2 即AB=2R2,1-cosB,+B2月 5分 a1= ZCBA-22 2 d-ai 1/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 π+B+B2 ∠C=π -2=a+a2-B1+B2 .0 2 分 由正弦定理解△ABC可得： π+β1+β2 sin -Q BC AB 2 BC= π+B1+β2 sinC sin((a+a2)-(B:+B2) V2R2.1-cosB1+B2.13分 sin 2 -Q1 h 16.【详解】解：(1)设此山高h(km),则AC= tan30° 在△ABC中，∠ABC=120°，∠BCA=60°-45°=15°，AB=4. AB 根据正弦定理得 AC sin∠ABC sin∠BCAi h 4 即 in120°.tan30°sin159 5分 解得h=2(保6+2)(km).… 7分 (2)由题意可知，当点C到公路距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，9分 所以过C作CE⊥AB,垂足为E,连接DE. 则∠DEC=0,CE=AC·sin45°，DC=AC·tan30° 913分 所以tan8=DC=V6 CE 3 15分 D B 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.【详解】(1)由题设及由正弦定理，由sinA+sinC=psin B,得a+c=pb,.a+c= 5 4 ，3分 由心，解得礼，或就7分 (2)由余弦定理， b=+e-2accosB-(a+cP-2ac-2acc0sB=pb-jb-bcosB. 即p=t号cosB 12分 0csBs1.÷pe22 由题设知p>0.· 6 <p<V2 15分 18.【详解】(1)因为cos2B-cos2C=2 sin A sin C-sinA, 解法一：因为 cosB+C+B-C-cos B+C-B-C)=-2sin(B+C)sin B-C=-2sin Asin (B-C)' 可得-2 sin AsinB-C到=2 sinA(sinC-sinA,2分 且A∈0，π，则sinA≠0，可得-sinB-C=sinC-sinA=sinC-sinB+C, -sin B cos C+cos BsinC=sin C-sin Bcos C-cos Bsin C, 可得2C0 s BsinC=SinC,… 4分 且C∈0，，则sinC≠0，可得cosB=) 又因为0<B<π，所以B= .5分 解法=：可得1-2sin2B-1-2sin2C=2 sin Asin C-2sin2A 整理得sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C, 由正弦定理可得a2+c2-b2=ac, 由余弦定理可得c0sB=》 又因为0<B<π，所以B=T 若A:C=13,C=3A,且A+C=红，可得A52C=7 6 2 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以△ABC为直角三角形， 、1 2)因为B=3,b=2,则SAABC三)acsin B:三3，解得QC三4,7分 由余弦定理可得)=a+c2-2 accos B=a+c2-2ac-2 accos B' 即4=a+c-8-4可 a+c=4' f所以☑=C=210分 (3)因为sinA+sinB+sinC=sinA+sin sin A+sin 2T Cos A-cos- 3 2Tt sin A+- 3 3 3 COSA+- 2 V3sin A+ . 62 13分 因为B=,且三角形是锐角三角形，则 0<A< 2 ,解得π<A<,15 3 2-A<号 6 2 、3 分 A+<，可袋<smA+1， 3 63 6 3.333sin A+ 则2+2 333 62 2 所以sinA+sinB+sinC的取值范围为 3.333 2’2 17分 19.【详解】(1)：cosA 如c青- 2cos B 2sinc、1 CosC. .cos A=3cos Bsin C-cos Bcos C, ∴.cos[π-(B+C)]=V3 cos Bsin C-cos Bcos C, .-cos BcosC-sin BsinC)=V3cos Bsin C-cos BcosC,............... 分 4/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin C>0,.'sin B=3cos B, tanB=3,B∈0，π，∴B= 3 4分 (2)cosB=0+c2-b-1 2ac -2 .a+c2-6=ac'又b2-(a-c}=b2-a2+c2+2ac=6 .C=6,6分 设就PAVix,iPBV元y,iPCViz, ,B=60°，∴.三角形ABC的三个角均小于120， .根据题意可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，8分 SAAPB+SABPC+SAAPC=SAABC y.3+z3+z.31c3 2+2yz22 2w2+2 +XZ· QC· 22 2 .'xy+yz+Xz=ac=6, ∴.pA·pB+PB·PC+PA·PC w(-2》+z(+z(-2》 i-w+z*a=-3 .10分 B a (3)由S△APB+SABPC+S△APC=S△ABC: 5N3+z+5z=5c9.w+z+a=c, 2w+2 22也 22 2 由余弦定理可得b2=x2+z2-2xzc0s120°=x2+z2+Xz, 同理可得c2=x2+y2+Xy,a2=z2+y2+yz, 相加可得a2+C2+b2=2x2+2y2+2z2+Xy+y2+zx=2x2+2y2+2z2+aC,12分 又a2+c2-b2=ac, 所以x2+y2+z2=1, 由于B=60°，∠APB=120°，∴.∠ABP+∠CBP=60°，∠ABP+∠BAP=60°， 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以∠BAP=∠CBP,又∠APB=∠BPC=120°， 故△ABP~△BCP,所以X=Y=y2=ZX, yZ 故2+2x+z2-=1-x+z-Xa=1=a=+z2-1≤x+z ， 且xz=Vx+z2-1 故x+z≤ 3 当且仅当X=z时等号成立， 又x+z>b=1,所以1<x+z<生 学刑网原创精司 PAV+iPCV-VPBVix+z-y=x+z-xz=x+z-x+z2-1 )15分 令x+z=t, 则1<t≤ 所以PAV+iPCV-VPBVit-P-1=1 t+t2-1 由于函数y=t,y=t-1均为1<t≤ 上的单调递增函数，故y=+-1为1<t≤的单调递增函数， V3 故y=t+P-1∈1,3，进而iPAV+iPCV-VPBVi-1 「3 原创 t+t2-1 ,1 3 17分 令学利网原创有品 。学利回创精品 6/6 2025-2026学年高一数学单元自测 第九章 解三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设边长分别为3，2的两边夹角为，另一条边为， 则由余弦定理得， ，． 由，得． ． 故选：B. 2．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，在中，，，则，； 在中，，，则; 又中，，则 . 故塔尖之间的距离为. 故选：B. 3．已知在中， 角的对边分别为，若的面积为， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵的面积 ∴，而， 又由余弦定理得： 即，解得：， 故选：A． 4．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 5．在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【详解】因为，所以由余弦定理可得， 所以， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即， 则的外接圆面积为. 故选：C 6．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（    ） A． h B． h C． h D． h 【答案】B 【详解】 设航行h时，甲船在处，乙船在处，甲、乙两船相距km， 如图所示，在中，由余弦定理，知， 即， 所以当时，最小，即最小. 故选:. 7．第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图． 世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中（，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于C，，若米，米，，，，，则的长约为（    ） A．27米 B．28米 C．29米 D．30米 【答案】B 【详解】 ，，， 又，，所以，则，则半圆半径为， ，，， 又，所以，， ， 在中，由正弦定理可得，即， 解得米. 故选：B. 8．已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由边化角可得，. 因为，所以. 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 由可得，. 因为 ， 又， 所以，， 所以，. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，下列结论正确的是（    ） A．若，，则A可以是 B．若，，，则b只能是1 C．若△ABC是锐角三角形，，，则边长c的取值范围是 D．若，则角A的取值范围是 【答案】CD 【详解】对于A，当 时，根据正弦定理 ，得到 ，故A错误； 对于B，由余弦定理 ，得到 ， 或 ，故B错误， 对于C， ，要使 是锐角三角形，需满足 ， ， ，故C正确； 对于D，由正弦定理角化边得： ， ， ， ，故D正确 故选：CD 10．已知的角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为等腰非等边三角形 D．为等边三角形 【答案】ABD 【详解】A. 因为，所以，则，解得，故正确； B. 因为，，所以，即，则，所以是正三角形，所以，故正确； C. 由B知：为等边三角形，故错误； D. 由B知：为等边三角形，故正确. 故选：ABD 11．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（    ） A．为定值 B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，为定值，A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，， 解得，故C错误； 对于D，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以，又，所以的最大值，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为_________m． 【答案】 【详解】在中，，，， 故， 故， ， 在中，， 故答案为： 13．在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为___________. 【答案】 【详解】由知：，而， ∴， ∴是的直角三角形，故，即，而， ∴的周长，当且仅当等号成立. 故答案为： 14．某中学组队到某村参加社会实践活动，村主任让学生测量河流两岸与两点间的距离．同学们各抒己见，但李明想到一种测量方法，同学们一致认为很好．其方法是：在点处垂直底面竖立一根竹竿，在竹竿上取一点，使米，在处测得从看的俯角为． ①当和在同一水平面上时（如图1）．测得______米； ②当和不在同一水平面上（和，在同一水平面上）时（如图2），利用测角仪测得，此时，可测得______米． 【答案】 【详解】①，由，得； ②，， 在中由正弦定理，得，解得． 故答案为：；. 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确地计算出地月距离.他们的测量方案是：拉卡伊和拉朗德分别来到观测地德国柏林（A点）和非洲南端的好望角（点），这两个地方经度相近，可看做在同一经度线上，纬度分别是北纬度和南纬度，他们同一时间分别在这两个地方进行观测.如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即是平面四边形时，在A点（柏林）测出月亮的天顶距（即离开头顶方向的角度），在点（好望角）测出月亮的天顶距.在中求出，和，在此基础上，解，求出地月距离的近似值或.设地球的半径为，利用测量方案中提供的数据（，，，，），求： (1)和； (2). 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）由题意可得： ，则为等腰三角形，顶角， 所以， 由余弦定理得： 即； （2）由上可得：，， 由正弦定理解可得： 16．（15分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上． （1）求此山的高度（单位：km）； （2）设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为，求． 【答案】（1）km．（2） 【详解】解：（1）设此山高,则, 在中,,,． 根据正弦定理得, 即, 解得（km）． （2）由题意可知,当点C到公路距离最小时,仰望山顶D的仰角达到最大, 所以过C作,垂足为E,连接DE． 则,,, 所以． 17．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且． (1)当，时，求，的值； (2)若角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）由题设及由正弦定理，由，得，． 由，解得，或 （2）由余弦定理， ， 即． ，， 由题设知，． 18．（17分）中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为， 解法一：因为， 可得， 且，则，可得， 则， 可得， 且，则，可得， 又因为，所以； 解法二：可得 整理得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，所以； 若，即，且，可得，， 所以为直角三角形. （2）因为，则，解得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以. （3）因为 . 因为，且三角形是锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 19．（17分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ， ， ， ， 又，， ，,， （2）， ，又， ， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ， ． （3）由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $