第十七章 三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第十七章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．2，3，5 C．5，5，11 D．7，8，15 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A.由4、5、6可得，，故能组成三角形； B.由2、3、5可得，，故不能组成三角形； C.由5、5、11可得，，故不能组成三角形； D.由7、8、15可得，，故不能组成三角形； 故选：A． 2．在中，作边上的高，以下作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义，即可求解． 【详解】解：解：在中，画出边上的高，即是过点A作边的垂线段，正确的是A． 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高． 3．如图，AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，BE、AD 相交于点 F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD 的 度数为（ ） A．24° B．34° C．66° D．76° 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABF，根据三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝42°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠ABD＝24°， ∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟记概念与定理并准确识图． 4．如图，将纸片沿DE折叠使点A落在点处，且平分，平分，若，则的大小为（　　） A．66° B．48° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，连接，首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解： 连接， ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴， ∴. 故选：C. 5．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 6．如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：在和中， ，， 当时，满足“”判定定理，可证明； 当时，属于“”，不能证明； 当时，，即，满足“”判定定理，可证明； 当时，满足“”判定定理，可证明． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 【答案】4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 8．如图，是的一个外角，若，，则的度数为______． 【答案】/134度 【分析】本题考查了外角的性质，由外角的性质得，即可求解；掌握外角的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案为：． 9．已知a，b，c是的三边长，化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，化简绝对值，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．如图，和相交于点，则等于__________．    【答案】/65度 【分析】由三角形的内角和定理可得，再结合平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解本题的关键． 11．如图，的面积为24，是边上的中线，E为的中点，则的面积为______．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线与三角形的面积的关系；本题利用中线的含义可得，再利用中点的含义，从而可得答案，理解三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为， ∴， 又∵E是中点， ∴， 故答案为：6． 12．在锐角中，，分别是，边上的高，且，交于点，若，则的度数是______度． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算即可． 【详解】解：∵，分别是，边上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，其三角形外角的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键． 13．如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是______．（只需填一种情况） 【答案】AB＝AD（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加AE＝AD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， 故答案为AE＝AD（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 14．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，则______． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，正确证明是关键． 连接，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点，   在和中，， ， ． 故答案为：． 16．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 17．如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 【答案】45 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．只需要利用证明得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 18．如图，在四边形中，，分别是上的点，连接，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】通过延长线段构造全等三角形，将所求的线段转化到与已知线段、相关的线段上，进而求出的长度． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）如图，已知线段a、b和，用尺规作一个三角形，使．（要求：不写已知、求作、作法、只画图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】先作，再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，即可． 【详解】解：先作， 再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，连接，即为所求，如图所示： 【点睛】本题考查了复杂作图，利用了作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，是基本作图，需熟练掌握．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 20．（本小题6分）如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的度数是． (2)能，见解析 【分析】（1）先求得，根据角平分线的定义得出，由于，则，根据三角形外角性质得，所以，然后利用进行计算； （2）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，结合，然后利用角的和差得，即的度数等于与差的一半． 【详解】（1）解：在中，，， ， ，平分， ，， ， ， ， 的度数是． （2）解：能，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 21．（本小题6分）如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先证明，再证明，证明即可； （2）根据平行线的判定，证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． （2）解：，理由： 由（1）知：， ． 在和中， ， ， ， ． 22．（本小题8分）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论； （2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，即． 在和中， 。 ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 23．（本小题8分）在中，点、分别在、边上，设与相交于点．设，、分别平分、，    (1)求∠BFC的度数． (2)求证：DF=EF． 【答案】(1)120 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， ∵，、分别平分、， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；    24．（本小题8分）综合与实践 已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，． (1)如图，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明． (2)如图，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）利用角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：．证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（本小题10分）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．2，3，5 C．5，5，11 D．7，8，15 2．在中，作边上的高，以下作图正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，BE、AD 相交于点 F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD 的 度数为（ ） A．24° B．34° C．66° D．76° 4．如图，将纸片沿DE折叠使点A落在点处，且平分，平分，若，则的大小为（　　） A．66° B．48° C．96° D．132° 5．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 6．如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 8．如图，是的一个外角，若，，则的度数为______． 9．已知a，b，c是的三边长，化简______． 10．如图，和相交于点，则等于__________．    11．如图，的面积为24，是边上的中线，E为的中点，则的面积为______．    12．在锐角中，，分别是，边上的高，且，交于点，若，则的度数是______度． 13．如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是______．（只需填一种情况） 14．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 15．如图，则______． 16．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 17．如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 18．如图，在四边形中，，分别是上的点，连接，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）如图，已知线段a、b和，用尺规作一个三角形，使．（要求：不写已知、求作、作法、只画图，保留作图痕迹） 20．（本小题6分）如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 21．（本小题6分）如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 22．（本小题8分）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 23．（本小题8分）在中，点、分别在、边上，设与相交于点．设，、分别平分、，    (1)求∠BFC的度数． (2)求证：DF=EF． 24．（本小题8分）综合与实践 已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，． (1)如图，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明． (2)如图，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示） 25．（本小题10分）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $