专题18.4 线段垂直平分线（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题18.4 线段垂直平分线 教学目标 · · 1.了解线段垂直平分线的定义； · 2.理解两个核心定理：线段垂直平分线的性质定理和判定定理； · 3.掌握用尺规画线段的垂直平分线、过直线外一点作已知直线的垂线等作图. 教学重难点 · · 1.重点 · 线段垂直平分线的性质定理和判定定理及其应用； · 2.难点 · 性质与判定的灵活应用. · 知识点01 线段垂直平分线的定义 定义：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 几何语言：如图，如果直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O,那么OA=OB,且CD⊥AB. 知识点02 线段垂直平分线的性质 定理：线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 几何语言：如图,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 则PA=PB. 知识点03 线段垂直平分线的判定 定理： 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：如图,已知：线段AB和一点Q,且QA=QB.则，点Q在线段AB的垂直平分线上. 【即学即练】 例1 求作已知线段的垂直平分线. 如图，已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 【分析】 根据线段垂直平分线的判定定理和直线公理,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 【作法】 (1)以点A为圆心、以大于AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以大于AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线. 【点睛】 ①以大于AB长为半径的目的是确保两弧有交点； ②连接EF与AB的交点C就是线段AB的中点. 例2 求作三角形的外心 如图，已知△ABC，求作其外形点O. 【作法】 1. 作线段AB的垂直平分线EM； 2. 作线段AC的垂直平分线FN; EM与FN的交点O就是△ABC的外心. 【证明】分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA （线段垂直平分线的性质定理）. ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上（与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 【点睛】本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 题型01 利用性质进行角度的计算和证明 【典例1】如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，然后在中利用三角形内角和定理求出的度数，最后利用即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 在中，， ， ∴． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 【变式2】如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分交于点F， ， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 (2)若，求的度数． 【答案】(1)点在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）因为，根据“等边对等角”得，， 则可得，由三角形内角和可得的度数． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，如图． ，分别是，的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质可得，，， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即． 【变式4】如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①15；②不变，100度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合已知条件证明点A在线段的垂直平分线上； （2）①根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求出四边形的周长； ②通过三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，求出的度数，判断其是否随点P的运动而变化． 【详解】（1）证明：∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D， ∴． ∴点A在线段的垂直平分线上； （2）解：①∵线段的垂直平分线分别与，交于点E，M， ∴． ∵线段的垂直平分线分别与，交于点F，N， ∴． ∴四边形的周长为． ∵，， ∴四边形的周长为； ②的度数不变．理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的度数不变，为． 题型02 利用性质进行有关线段的计算和证明 【典例1】如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E、F，连接，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 【变式1】如图，四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】B 【分析】由垂直平分线的性质，易得，又由，，即可得出的周长． 【详解】解：的垂直平分线交于， ， 的周长：． 【变式2】如图，在中，，，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，连接，则的周长等于（     ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形周长计算，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等，将周长转化为已知边长之和是解题的关键． 由作图知是的垂直平分线，得，将的周长转化为计算． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ 的周长为： ． 故选：A． 【变式3】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质，得到，结合，的周长为13，即可求出的长度． 【详解】解：根据题意， ∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为13， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式4】如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，由题意可判定是的垂直平分线，则，即可证明结论； （2）根据，得出，求出，再根据，得出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，D为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型03 线段垂直平分线的判定 【典例1】如图，在等边三角形中，D是三角形外一点，且，，点E、F分别在、上，，则下列结论错误的是（   ） A．垂直平分 B．点D在的平分线上 C． D．的周长为 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的判定可得A正确；延长到使，证明，可得，再证明，可得，可判断B，D正确． 【详解】解：如图，连接， 在等边三角形中，，， ， 垂直平分，故A正确； 如图，延长到使， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 即点D在的平分线上，故B正确； 的周长为，故D正确， 根据题意，无法判断，故C错误． 【典例2】求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】首先画图，然后由得到，然后由中线得到，然后证明出，得到，得到，然后推出，进而证明即可． 【详解】证明：如图所示，等腰中，，，分别为，边上的中线， ∵， ∴， 又∵，分别为，边上的中线， ∴， 在与中，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了等边对等角和等角对等边性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质； （1）由，由作图可得：，从而可得答案； （2）根据是线段的垂直平分线可得答案. 【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下： ∵，由作图可得：， ∴是线段的垂直平分线； ∴垂直平分线段； （2）解：，理由如下： 由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点， ∴.  【变式2】如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 【变式3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式4】如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（    ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】由三线合一即可判断A；利用等边对等角得，，则，即可判断B；证明且，即可证得是等边三角形；从而判断C；证明，则，，即可判断D选项． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴直线是线段的垂直平分线，故A正确； 如图所示，连接， ，， ， ， ， ，， ，故B正确， ， ， ， ， ， 是等边三角形．故C正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故D错误． 题型04 尺规作图 【典例1】如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则下列结论中正确的有（   ）个 （1）为等边三角形；（2）；（3）的大小为；（4）垂直平分； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据作图过程可得、，从而判断为等边三角形；利用证明；利用等腰三角形和等边三角形的性质计算角度；利用线段垂直平分线的判定定理判断与的关系；通过三角函数或角度关系判断线段数量关系． 【详解】解：由作图可知：、，连接、 (1) ， 为等边三角形，故说法正确； (2) 在和中， ， 故说法正确； (3) ， ， 、， ， 为等边三角形， ， ， 故说法正确； (4) ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， 故说法正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：C． 【变式1】如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【答案】A 【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可． 【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点， 线段是的中线． 【变式2】在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用得到，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作的垂直平分线即可． 【详解】解：， 而， ， 点为的垂直平分线与的交点． 故选：A． 【变式3】如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 【变式4】如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，尺规作线段等于已知线段，尺规作线段的垂直平分线， 对于（1），作射线，以点F为圆心，为半径画弧，再以点A为圆心，为半径画弧，再以点G为圆心，为半径画弧，两弧交于点H，作射线，然后在射线上截取，同理作，交于点C，可知即为所求作的三角形； 对于（2），以点A为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点I，J，再以点I，J为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线，交的延长线于点D，则即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，即为所求作． 题型05 最短路径问题 【典例1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，l为网格线所在的直线． (1)标出点A关于直线l的对称点； (2)在直线l上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹）； 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）根据对称的性质作图即可； （2）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点P，即可求解； 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如上图，连接交直线l于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 【变式1】如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点D，E，M是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】15 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得，当、、三点共线时取最小值，即可求解． 【详解】解：连接， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 即当、、三点共线时取最小值， 此时， 的最小值为． 【变式2】如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 【变式3】如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴， 即当取得最小值时，． 故答案为：． 【变式4】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （3）连接交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 1．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，灵活运用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一性质是解题的关键．根据该性质得出满足的点是三边垂直平分线的交点． 【详解】三条高线的交点（垂心）：主要与高线相关； 三条角平分线的交点（内心）：是三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等； 三条中线的交点（重心）：是三角形的重心，将每条中线分为的两段； 三边垂直平分线的交点（外心）：是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等（即）， 要使，集贸市场应建在三边垂直平分线的交点处． 故选：． 2.某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 3．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 4．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 【答案】/35度 【分析】由作图可知是的垂直平分线，可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ，， ， ∴． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E．若，的周长为28，则的周长等于_________ ． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于D，E，， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴， 则的周长等于 ． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为_________ ． 【答案】5 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点， ∴，， ∵的周长为32， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 7．请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 由作图可知垂直平分，即，根据等边对等角及三角形内角和定理求出，同理可得，即可求出的度数． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：． 9．如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作的垂直平分线交于点，即为所求． 【详解】解：如图， 即为所求． 10．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 11．如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接，作的垂直平分线，作，交于点，则点即为所作． 【详解】解：如图，点即为超市的位置． 12．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)的周长为 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 14．如图1，，与相交于点，． (1)如图1，求证：垂直平分； (2)如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定． （1）根据等角对等边可求，，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明垂直平分． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知，再通过平行线性质和直角三角形性质可求，利用三角形内角和求，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， 在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 即解得， ， 又， 是等边三角形． 15．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定； （1）证明，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分，即可解答． 【详解】解（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即是的平分线； （2）∵， ∴点A，C均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵是垂直的， ∴是水平的． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.4 线段垂直平分线 教学目标 · · 1.了解线段垂直平分线的定义； · 2.理解两个核心定理：线段垂直平分线的性质定理和判定定理； · 3.掌握用尺规画线段的垂直平分线、过直线外一点作已知直线的垂线等作图. 教学重难点 · · 1.重点 · 线段垂直平分线的性质定理和判定定理及其应用； · 2.难点 · 性质与判定的灵活应用. · 知识点01 线段垂直平分线的定义 定义：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的_____________，简称_____________. 几何语言：如图，如果直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O,那么OA=OB,且CD⊥AB. 知识点02 线段垂直平分线的性质 定理：线段的垂直平分线上的任意一点到__________________________相等. 几何语言：如图,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 则PA=PB. 知识点03 线段垂直平分线的判定 定理： 与一条线段的两个端点距离相等的点，在______________________________上. 几何语言：如图,已知：线段AB和一点Q,且QA=QB.则，点Q在______________上. 【即学即练】 例1 求作已知线段的垂直平分线. 如图，已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 【分析】 根据线段垂直平分线的判定定理和直线公理,只需要作出两个点，使每一个点到__________________________，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 【作法】 (1)以点A为圆心、以大于AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以大于AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线. 【点睛】 ①以大于AB长为半径的目的是确保两弧有交点； ②连接EF与AB的交点C就是线段AB的中点. 例2 求作三角形的外心 如图，已知△ABC，求作其外形点O. 【作法】 1. 作线段AB的垂直平分线EM； 2. 作线段AC的垂直平分线FN; EM与FN的交点O就是△ABC的外心. 【证明】分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA （线段垂直平分线的性质定理）. ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上（与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 【点睛】本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作_____________. 题型01 利用性质进行角度的计算和证明 【典例1】如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 (2)若，求的度数． 【变式4】如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 题型02 利用性质进行有关线段的计算和证明 【典例1】如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E、F，连接，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．不能确定 【变式1】如图，四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【变式2】如图，在中，，，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，连接，则的周长等于（     ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式3】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 【变式4】如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型03 线段垂直平分线的判定 【典例1】如图，在等边三角形中，D是三角形外一点，且，，点E、F分别在、上，，则下列结论错误的是（   ） A．垂直平分 B．点D在的平分线上 C． D．的周长为 【典例2】求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上． 【变式1】已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？   【变式2】如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【变式3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式4】如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（    ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 题型04 尺规作图 【典例1】如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则下列结论中正确的有（   ）个 （1）为等边三角形；（2）；（3）的大小为；（4）垂直平分； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【变式2】在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【变式4】如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 题型05 最短路径问题 【典例1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，l为网格线所在的直线． (1)标出点A关于直线l的对称点； (2)在直线l上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹）； 【变式1】如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点D，E，M是直线上的动点，则的最小值为______． 【变式2】如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【变式4】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 1．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2.某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 4．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E．若，的周长为28，则的周长等于_________ ． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为_________ ． 7．请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 9．如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 10．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 11．如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 12．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 14．如图1，，与相交于点，． (1)如图1，求证：垂直平分； (2)如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 15．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $