专题18.3 等边三角形（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦“等边三角形”核心知识点，以等腰三角形为基础延伸，系统梳理定义（三条边都相等的三角形）、性质（三边相等、三角均为60°、三线合一、3条对称轴）、判定（定义法、三角相等、等腰三角形含60°角）及旋转、手拉手等几何模型，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”结合例题解析（如例4分情况证明等腰三角形含60°角为等边三角形）培养推理意识，几何模型（如手拉手模型证线段相等）发展空间观念，题型分层适配不同学习需求，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题18.2 等边三角形 教学目标 · · 1.理解等边三角形的定义（三条边都相等的三角形），明确它是特殊的等腰三角形； · 2.掌握等边三角形的性质：三边相等；三个内角都等于60°；每条边上的中线、高、角平分线“三线合一”；是轴对称图形(3条对称轴)； · 3.掌握等边三角形的判定,能运用性质与判定进行简单的计算、推理、证明. 教学重难点 · · 1.重点 · 等边三角形的性质定理与判定定理的理解和应用； · 2.难点 · 性质与判定的灵活应用. · 知识点01 等边三角形的定义 1.定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 2.说明：等边三角形是一种特殊的等腰三角形 【即学即练】 例1 已知等边的一边长为4，则它的周长是12. 例2 关于等边三角形，下列说法不正确的是（C） A. 三边都相等； B. 属于等腰三角形; C. 三角形可以分为等边三角形和三边都不等的三角形; D. 属于轴对称图形 解析：三角形可以分为等腰三角形和三边都不等的三角形; 知识点02 等边三角形的性质 1.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 2.对称性：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴； 3.三线合一：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质包括三线合一. 【即学即练】 例3 如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交于点O,则∠BOC的度数为__________ 【解析】∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60°(等边三角形的每个角都等于60°) ∵BD,CE是角平分线 ∴∠OBC=∠OCB=30° ∴∠BOC=120° 知识点03 等边三角形的判定 1. 定义：三边都相等的三角形是等边三角形. 2. 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练】 例4 求证：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 分析 如图，设AB=AC,对于有一个内角等于60°的各种情况进行讨论，其中∠B=60°和∠C=60°是类似的，故只要分两种情况讨论（底角等于60°和顶角等于60°）. 如图已，知：在△ABC中，AB=AC. (1)当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形； (2)当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形. 证明(1)∵ AB=AC,∠B=60°, ∴ ∠C=∠B=60°(等边对等角). 又∵∠A=180°-∠C-∠B=60°(三角形的内角和等于180°), ∴ ∠A=∠B=∠C. ∴ △ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). (2)∵ AB=AC, ∴∠C=∠B(等边对等角). 又∵ ∠A+∠C+∠B=180°(三角形的内角和等于180),∠A=60°, ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴△ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). 【点睛】证明等边三角形的步骤可以分两步，先证三角形是等腰三角形，再证有一个角等于60° 2. 下列推理中，错误的是(    ) A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 【解析】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确； B条件重复且条件不足，故不正确； C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确； D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确. 故选B. 04 常见的几何模型 类型 图例 结论 旋转模型 条件:等边△ABC中 △ABP绕点A逆时针旋转60 结论: △ABP≌△ACE △APE是等边三角形 ∠BQC=60 旋转模型 条件:等边△ABC中 △ABP绕点O顺时针旋转120 结论: △ABP≌△CAE ∠BQE=60 手拉手模型 条件:等边△PBC和△PAE手拉手 AC,BE叫作手拉线 结论: △BPE≌△CPA BE=AC ∠AQE=60 【即学即练】 例5如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． 求证：； 证明：∵与是正三角形， ∴，，( 等边三角形的三条边都相等,三个角都等于60゜) ∴=120゜， 在与中 ， ∴ 题型01 概念辨析(含三角形的分类) 【典例1】关于等边三角形,下列说法不正确的是（    ）. A．等边三角形是等腰三角形 B．等边三角形锐角三角形 C．等边三角形的对称轴是它的三条高 D．三角形可以分为等腰三角形和三边都不等的三角形 【答案】C 【分析】根据等边三角形的分类判断即可. 【解析】等边三角形是锐角三角形，是特殊的等腰三角形,等边三角形的对称轴是它的高所在的直线. 故选：C 【变式1】等边三角形有____条对称轴,它的对称轴是_______________________________ 【答案】3,对称轴是它的三条边的中垂线. 【变式2】已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB长为（3x+1）厘米，BD长为（x+2）厘米，则△ABC的周长为_______厘米. 【解析】由题意得,3x+1=2(x=2) 解之得,x=1 所以三角形的边长为4厘米,周长为12厘米. 【变式3】已知等边三角形的边长如图所示，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二元一次方程组的解法，根据等边三角形的性质可得，再进一步求解即可． 【详解】解：等边三角形， ， ， ，， 故答案为：4． 【变式4】“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为6，则该“莱洛三角形”的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及弧长公式的应用．关键在于理解“莱洛三角形”周长的构成，即由三段圆心角为，半径为等边三角形边长的弧组成，通过弧长公式计算出一段弧长，再乘以即可得到周长． 【详解】解：∵等边三角形的边长为6，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故答案为：． 题型02 等边三角形的性质 【典例1】如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 由等边三角形的性质，可得和，根据三角形的内角和定理，可得，由对顶角相等，即可得的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，，是的中线， ∴，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．先利用等边三角形的性质证明，证明是等腰三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，过A作，得到，推出，，由等边三角形的性质推出，求出，即可得到． 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4】如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】设．用x表示出，求出，再利用三角形内角和定理求出∠DBC，可得结论． 【详解】解：设． ∵是等边三角形， ∴，， ∵． ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 题型03 等边三角形的判定 【典例1】在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解析】解：在中，， 如果添加条件，可判定为等边三角形．故A选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故B选项不符合题意； 如果添加条件，不能判定为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形． 故C选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的判定判断． 【解析】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确； ④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确． 所以都正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．  【变式2】如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【解析】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【变式3】如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求证:△EFC是等腰三角形 (2)求证:AF=FC 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等腰三角形，等边三角形的判定； 【解析】（1）证明：∵，△ABC是等边三角形 ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴EF=FC ∴△EFC是等腰三角形 （2）∵∠A=， ∴是等边三角形． ∴AF=EF ∴AF=FC 【变式4】如图，是等边三角形，绕点B旋转后能与重合．连接，是什么三角形？请说明理由． 【答案】等边三角形．见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，旋转的性质．根据旋转角和对应边相等可判断是等边三角形． 【详解】解：等边三角形． ∵旋转后能与重合， ∴旋转角为，即，， ∴等边三角形． 题型04 等边三角形性质和判定的综合应用 【典例1】在中，，点D、E在上，且．判断的形状，并说明理由．    【答案】的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】由，可得，由，可得，则， ，进而可得是等边三角形． 【详解】解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1】如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 【变式2】如图，等边由绕点A逆时针旋转得到，其中与相交于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据“等边由绕点A逆时针旋转得到，”可以推知的内角；然后由等边的性质知；最后根据三角形内角和定理来求的度数即可． 【详解】解：∵等边由绕点A逆时针旋转得到， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【变式3】如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可得证； （2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答． 【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形； （2）解：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是的外角， ． 【变式4】如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等可得，，由角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）由等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质可得，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 题型04 旋转模型 【典例1】如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【解析】∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由等边三角形的性质，得到，，根据证出即可； 【解析】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴． 【变式2】如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 【变式3】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 【变式4】如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【解析】（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 题型05 手拉手模型 【典例1】如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：为等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． （1）利用等边三角形的性质得出，进而即可得证； （2）由三角形的外角性质和全等三角形的性质即可得解； （3）由平角的性质和等边三角形的性质得出，再由得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ． （3）证明：，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式1】如图，和是等边三角形，且． (1)填空：可以看成__________以点__________为旋转中心，__________时针旋转__________度得到； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，逆， (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质得，然后根据旋转的性质即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， 故：可以看成以点为旋转中心，逆时针旋转度得到， 故答案为：，，逆，； （2）解：∵， ∴，， ∴． 【变式2】如图，三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与交于点，如下结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形，其中正确结论的是（　　） A．①②④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】由手拉手图形就可得、，，再说明，即可证明，即可判断①；然后可得，再分别表示出和，即可判定②正确；求出，证明可判定③；由可得，然后结合可得，可判定④；可得，再说明即可判定⑤． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， ∴， 又∵， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即③错误； ∵， ∴， ∴，即，则④正确； ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，即⑤正确． 综上，正确结论的是①②④⑤． 故选D． 【变式3】如图，已知，以为边作等边，连接，将绕点A逆时针旋转得到，相交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识． （1）由旋转得，，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形； （2）由是等边三角形，得，而，可推导出，则． 【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， 由旋转的性质得，， ． 【变式4】已知与都为等边三角形， ①如图1，当点D在上时，E在BC上，与的数量关系是______； ②如图2，当点D不在上时，且∠BEC＝120゜,求证:AD//EC． 【答案】见解析； 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线段的和差即可求解； ②利用证明，由三角形全等的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵与都为等边三角形， ∴．∠BAC=∠EDC=∠ACB=∠ECD=∠DCE=60゜ ，， ； ②AD//EC，理由如下： ，， ， 在和中，， ， ∴∠BEC=∠ADC=120゜ ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=60゜ ∴∠ADE=∠EDC ∴AD//EC 题型06 等腰三角形性质和判定的综合 【典例1】如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【变式1】如下图，已知点D，E在的边BC上，，，F为DE的中点．试说明：． 【变式2】如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 【变式3】如图，在与中，，，，求证：． 【变式4】图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． 求证：（1）EF⊥AB； （2）△ACF为等腰三角形．        题型07 三角形中边角关系的综合以及用方程思想计算角度 【典例1】如图，在△ABC中，BA=BC,点D在边CB上，且DB=DA=AC.求∠B、∠C的度数. 【变式1】如图，△ABC中，D为BC上一点，且AB=AC=BD，∠1=70，求∠2 【变式2】如图，已知：DC//AB,AC与BD相交于点O,且OA<OB.求证：OC<OD. 【变式3】已知：在△ABC中，AB=AC,D是边BC延长线上一点，E是边AB上一点，DE交边AC于点F.求证：AE<AF. 【变式4】实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 如图，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 一、单选题 1．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质以及轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线翻折与原图形能够完全重合的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【解析】解：等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有3条， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的定义以及等边三角形的性质，题目比较简单． 2．如图，在等边中，交于点，若，则（  ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由条件可知D为BC的中点，可求得BC，然后求得AC． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC =BC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2BD=4， ∴AC=BC=4， 故选：D. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线，这三条线段是同一条线段是解题的关键． 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得是等边三角形，即可得到． 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质与判定，由旋转得到等边三角形是解题的关键． 4．如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，再利用即可求解． 【详解】解：如图， 直线， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 5．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由旋转的性质及可得是等边三角形，从而得出，再根据求解即可． 【详解】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE 是等边三角形 AB＝5 BC＝8 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 7．在中，，，则 ． 【答案】6 【分析】判定是等边三角形，继而可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：6． 【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理． 8.一个等腰三角形的腰长是5cm，一个外角是120°，则它的底边长是 cm． 【答案】5 【分析】先求出与已知外角相邻的内角为，从而判定出该三角形是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解． 【解析】解：∵等腰三角形一个外角等于120°， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴该等腰三角形是等边三角形， 腰长为5cm， 该三角形的底边长5cm． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，求出与外角相邻的内角恰好是60°是解题的关键． 13．如图，是等边三角形，于D，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据等边三角的性质，即可求解． 【解析】解：∵是等边三角形，， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，熟练掌握等边三角的性质是解题的关键． 9．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解． 【解析】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶14． 10．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AＤ、BE交于点F，则 ． 【答案】60° 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解． 【解析】解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ∵， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°， 即∠AFE=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键． 三、解答题 11．货船在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货船在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货船到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货船到达C处时与灯塔A的距离． 【答案】3海里 【分析】由平行线的性质可得∠EBC＝∠1＝40°，可证△ABC是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵CDBE， ∴∠EBC＝∠1＝40°， ∴∠BCA＝∠1+∠DCA＝60° 又∵∠ABC＝180°﹣40°﹣80°＝60° ∴△ABC是等边三角形 （海里） 答：货船到达C处时与灯塔A的距离为3海里． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形判定和性质，利用方向角得出△ABC是等边三角形是解题关键． 12. 如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】证明：， 又， 是等边三角形． 13. 如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： (1)为等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：依题意得，， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14. 如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 15. 如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 16. 如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 【答案】等边三角形，见解析 【分析】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．由折叠的性质可得出、，根据角的计算可得出，再根据中线的定义即可得出，由此即可证出是等边三角形． 【详解】证明：由折叠的性质可知：，， ∵是边的中线， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 17. 已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上，求证：． (2)在（1）的情况下，是不是等边三角形？请说明理由． (3)如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，然后利用折叠的性质可得答案； （2）利用平行线的性质得出，再得出，即可得出结论； （3）由折叠的性质得出，得出，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形的外角性质得出，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）， ． 由折叠，得， ． （2）是等边三角形． 理由：，， ，． 在中，， 故为等边三角形． （3）沿折叠，点对应点为点， ． ， ． 设，则 ， ． 在中，，即， 解得， ． 18．阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析；，理由见解析． 【分析】（）根据图，结合阅读材料填写即可； （）连接，根据 得到，即可可得结论； 连接，根据，得到，同理可得结论； 本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线运用类比方法构建三个三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵, ∴， 故答案为：，，； （2）解：． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.2 等边三角形 教学目标 · · 1.理解等边三角形的定义（三条边都相等的三角形），明确它是特殊的等腰三角形； · 2.掌握等边三角形的性质：三边相等；三个内角都等于60°；每条边上的中线、高、角平分线“三线合一”；是轴对称图形(3条对称轴)； · 3.掌握等边三角形的判定,能运用性质与判定进行简单的计算、推理、证明. 教学重难点 · · 1.重点 · 等边三角形的性质定理与判定定理的理解和应用； · 2.难点 · 性质与判定的灵活应用. · 知识点01 等边三角形的定义 1.定义：______________的三角形叫等边三角形. 2.说明：等边三角形是一种特殊的等腰三角形 【即学即练】 例1 已知等边的一边长为4，则它的周长是_____. 例2 关于等边三角形，下列说法正确的是（ ） A. 三边都相等； B. 属于等腰三角形; C. 三角形可以分为等边三角形和三边都不等的三角形; D. 属于轴对称图形 知识点02 等边三角形的性质 1.定理：等边三角形的每一个角都等于_______. 2.对称性：等边三角形是轴对称图形，它有______对称轴； 3.三线合一：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质包括“三线合一”. 【即学即练】 例3 如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交于点O,则∠BOC的度数为__________ 【解析】∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60°(__________________________________) ∵BD,CE是角平分线 ∴∠OBC=∠OCB=30° ∴∠BOC=120°(__________________________________) 知识点03 等边三角形的判定 1. 定义：_______都相等的三角形是等边三角形. 2. 定理：_______都相等的三角形是等边三角形. 3. 有一个角是60°的_______三角形是等边三角形. 【即学即练】 例4 求证：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 分析 如图，设AB=AC,对于有一个内角等于60°的各种情况进行讨论，其中∠B=60°和∠C=60°是类似的，故只要分两种情况讨论（底角等于60°和顶角等于60°）. 如图已，知：在△ABC中，AB=AC. (1)当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形； (2)当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形. 证明(1)∵ AB=AC,∠B=60°, ∴ ∠B =∠_____=60°(_____________________). 又∵∠A=180°-∠C-∠B=60°(_____________________), ∴ ∠A=∠B=∠C. ∴ △ABC是等边三角形(___________________________________). (2)∵ AB=AC, ∴∠C=∠B(等边对等角). 又∵ ∠A+∠C+∠B=180°(三角形的内角和等于180),∠A=60° ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴△ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). 【点睛】证明等边三角形的步骤可以分两步:先证三角形是_______三角形，再证有一个角______________. 例5 下列推理中，错误的是(    ) A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 知识点04 常见的几何模型 类型 图例 结论 旋转模型 条件:等边△ABC中 △ABP绕点A逆时针旋转60 结论: △ABP≌△ACE △APE是等边三角形 ∠BQC=60 旋转模型 条件:等边△ABC中 △ABP绕点O顺时针旋转120 结论: △ABP≌△CAE ∠BQE=60 手拉手模型 条件:等边△PBC和△PAE手拉手 AC,BE叫作手拉线 结论: △BPE≌△CPA BE=AC ∠AQE=60 【即学即练】 例5如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． 求证：； 证明：∵与是正三角形， ∴，，( ___________________________________________________) ∴=120゜， 在与中 ， ∴ 题型01 概念辨析(含三角形的分类) 【典例1】关于等边三角形,下列说法不正确的是（    ）. A．等边三角形是等腰三角形 B．等边三角形锐角三角形 C．等边三角形的对称轴是它的三条高 D．三角形可以分为等腰三角形和三边都不等的三角形 【变式1】等边三角形有____条对称轴,它的对称轴是_______________________________ 【变式2】已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB长为（3x+1）厘米，BD长为（x+2）厘米，则△ABC的周长为_______厘米. 【变式3】已知等边三角形的边长如图所示，那么 ． 【变式4】“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为6，则该“莱洛三角形”的周长等于________. 题型02 等边三角形的性质 【典例1】如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 【变式1】如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 【变式2】如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为 ． 【变式3】如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为 ． 题型03 等边三角形的判定 【典例1】在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A．； B．； C．,垂足为D； D． 【变式1】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有 （填序号）．  【变式2】如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【变式3】如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求证:△EFC是等腰三角形 (2)求证:AF=FC 【变式4】如图，是等边三角形，绕点B旋转后能与重合．连接，是什么三角形？请说明理由． 题型04 等边三角形性质和判定的综合应用 【典例1】在中，，点D、E在上，且．判断的形状，并说明理由．    【变式1】如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【变式2】如图，等边由绕点A逆时针旋转得到，其中与相交于点，求的度数． 【变式3】如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的度数． 【变式4】如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 题型05 旋转模型 【典例1】如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ． 【变式1】如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【变式2】如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【变式4】如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 题型06 手拉手模型 【典例1】如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：为等边三角形． 【变式1】如图，和是等边三角形，且． (1)填空：可以看成__________以点__________为旋转中心，__________时针旋转__________度得到； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与交于点，如下结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形，其中正确结论的是（　　） A．①②④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤ 【变式3】如图，已知，以为边作等边，连接，将绕点A逆时针旋转得到，相交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求的度数． 【变式4】已知与都为等边三角形， ①如图1，当点D在上时，E在BC上，与的数量关系是______； ②如图2，当点D不在上时，且∠BEC＝120゜,求证:AD//EC． 一、单选题 1．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 2．如图，在等边中，交于点，若，则（  ） A．2 B．3 C． D．4 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 6．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．在中，，，则 ． 8.一个等腰三角形的腰长是5cm，一个外角是120°，则它的底边长是 cm． 13．如图，是等边三角形，于D，若，则 ． 9．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 10．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AＤ、BE交于点F，则 ． 三、解答题 11．货船在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货船在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货船到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货船到达C处时与灯塔A的距离． 12. 如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 13. 如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： (1)为等边三角形； (2)． 14. 如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 15. 如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 16. 如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 17. 已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上，求证：． (2)在（1）的情况下，是不是等边三角形？请说明理由． (3)如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小． 18．阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $