专题18.2 等腰三角形的判定（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦等腰三角形的判定核心知识点，系统梳理定义判定、“等角对等边”定理，明确性质与判定的互逆关系，构建“角平分线+平行⇒等腰”基本模型，结合三线合一逆命题应用及“大角对大边”边角关系，形成从基础到综合的学习支架。 该资料通过“角平分线+平行”模型培养几何直观（数学眼光），借助定理证明的多种思路（如倍长中线、构造平行）发展推理能力（数学思维），设计数等腰三角形、找点构造等腰等题型强化应用意识（数学语言）。课中例题变式助力分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，提升知识综合运用能力。

专题18.2 等腰三角形的判定 教学目标 · · 1.掌握等腰三角形的判定方法： · “等角对等边”：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等； · 2.能够运用判定定理判定等腰三角形； · 3.综合运用等腰三角形的性质与判定进行推理和证明. · 教学重难点 · 1.重点 · 等腰三角形的判定定理的理解与应用； · 2.难点 · 理解“性质”与“判定”的区别与联系，运用判定定理识别、构造等腰三角形解决几何问题. 知识点01 等腰三角形的判定 1.判定方法 (1)定义：有__________的三角形是等腰三角形； (2)判定定理：如果一个三角形有________相等，那么___________________也相等.(简称“_________”). 2.性质和判定的区别 性质和判定是互逆命题; 性质是已知三角形_________相等，从而可知它的________相等，简称“_________”； 判定是已知三角形_________相等，从而判断它的________相等.把判定改成“如果……那么……”时不能叙述为：“如果一个三角形有两个底角相等，那么它是两腰等腰三角形”。因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些“专属概念”. 3.一个基本模型：“角平分线+平行等腰” 知识点02 判定定理的证明和应用 1.定理的证明 求证： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 如图, 已知：在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC. 【分析】在学习等腰三角形之前证明两条线段相等最基本的思路是证明三角形全等，所以本题要作辅助线构造全等三角形. 【证明】 作∠BAC的平分线AD，有∠1=∠2. 又因为∠B= ∠C，AD是公共边，所以由“角角边”得△ABD≌△ACD，从而AB＝AC. 2. “三线合一”的逆命题 （1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合. （2）它的逆命题：在△ABC中①AB=AC，②AD⏊BC，③AD平分∠BAC，④BD=DC，已知其中任意两个条件都能推出另外两个结论. （三线合一） （判 定） 四选二共有六种组合，其中属于等腰三角形判定的有三个。 【即学即练】 例1 如图，已知：在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2.求证：AB＝AC. （已知AD是中线、角平分线，判定△ABC是等腰三角形） 【分析】 在△ABD和△ACD 中，虽然有∠1=∠2, AD＝AD，BD＝CD这三个条件，但不能直接推出△ABD和△ACD全等. 思路一：遇到中点倍长中线 证明： 如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. 在△ABD和△ECD中， ∵BD=DC,∠______=∠_______ ∴ △ABD≌△ECD(_______). ∴ AB=_____,∠1=_____(___________________________________). 又∵∠1=∠2, ∴ ∠2=_____. ∴ AC=_____(____________________). ∴ AB=AC. 思路二：角平分线+平行⇒等腰 过点C分别作AB的平行线，交AD延长线于点E（也可以过点B作AC的平行线） 证明： 过点C分别作AB的平行线，交AD延长线于点E. ∵AB//CE ∴∠1=_____ ∵∠1=∠2 ∴∠_____=∠2 ∴AC=EC（____________________） 在△ABD和△ECD中， ∵BD=DC,_______________,_______________ ∴ △ABD≌△ECD(________). ∴ AB=EC(_____________________________________). ∴ AB=AC. 【点睛】三线合一的逆命题都是真命题，但不是定理，所以在应用时不能作为定理直接用，往往需要借助全等的来推理证明，但是给予我们解题思路——遇到“二线合一”想等腰（证全等）. 知识点03 三角形边角关系的综合——等角对等边，大角对大边 三角形边角关系有：等边对_______，等角对_______； 大边对_______，大角对_______。 【即学即练】 如图，在△ABC中，∠C>∠B.求证：AB>AC. 分析：如图,由∠ACB>∠B,在∠ACB内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D.根据“等角对等边”,有DB=DC. 在△ACD中，根据三角不等式，有AD+DC>AC,所以AB=AD+DB=AD+DC>AC. 总结：上述结论可以简述为：在三角形中，大角对大边. 知识点04 等腰三角形性质和判定的综合 性质 判定 定理 等边对等角 等角对等边 三线合一 等腰⇒三线合一 两线合一⇒等腰 推广 大边对大角 大角对大边 题型01 等腰三角形的判定 【典例1】在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70° C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14 【变式2】在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°，则△ABC是 三角形． 【变式3】如图，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ) A． ∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD C．BD=AD=CD D．AD⏊BC，BD=CD 【变式4】如图，在△ABC中，BC=8，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，PD//AB， PE//AC，那么△PDE的周长是( ) A.2 B.4 C.8 D.16 题型02 数等腰三角形 【典例1】如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=108，∠DAE=36，则∠BAD=_____，∠EAC=________，图中的等腰三角形有 个． 【变式1】如图，在中，AB=AC，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2】如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4】如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 题型03 已知两点找等腰 【典例1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个  【变式2】已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，用两种不同的分割方法画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）    【变式3】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式4】如图，在中，，点P为所在平面内一点，且点P与的任意两个顶点构成，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为 个．    题型04 角平分线+平行⇒等腰 【典例1】如图，平分，且，求证：为等腰三角形．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：， （ ）① 平分 （ ）② （ ）③ 为等腰三角形． 为等腰三角形． 【变式1】如图，已知中，BD平分，说明的理由． 【变式2】 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F．求证：△EBO为等腰三角形； 【变式3】如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 【变式4】如图，交于点，EF平分∠AEC，求证：△BEC是等腰三角形． 题型05 等腰三角形判定的应用 【典例1】如图，在中，，，平分交于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明． 【变式1】如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【变式2】如图，在中，，，平分交于点E，于点D．求证：平分． 【变式3】如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 【变式4】如图，在中，，D为中点，点E是延长线上一点，点F是上一点，连接并延长交于点G，且． (1)若．求的度数； (2)求证：． 题型06 等腰三角形性质和判定的综合 【典例1】如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【变式1】如下图，已知点D，E在的边BC上，，，F为DE的中点．试说明：． 【变式2】如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 【变式3】如图，在与中，，，，求证：． 【变式4】图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． 求证：（1）EF⊥AB； （2）△ACF为等腰三角形．        题型07 三角形中边角关系的综合以及用方程思想计算角度 【典例1】如图，在△ABC中，BA=BC,点D在边CB上，且DB=DA=AC.求∠B、∠C的度数. 【变式1】如图，△ABC中，D为BC上一点，且AB=AC=BD，∠1=70，求∠2 【变式2】如图，已知：DC//AB,AC与BD相交于点O,且OA<OB.求证：OC<OD. 【变式3】已知：在△ABC中，AB=AC,D是边BC延长线上一点，E是边AB上一点，DE交边AC于点F.求证：AE<AF. 【变式4】实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 如图，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 一、单选题 1．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 2．下列命题中，不正确的是（   ） A．两个外角相等的三角形是等腰三角形 B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形 C．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形 3．如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 二、填空题 4．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 5．一个三角形三个内角的比是3：3：6，且最短边长为10厘米，则该三角形的面积是 平方厘米． 6．如图，和相交于点，且，，，则 ． 7．如图，在中，，平分，，，则的周长为 ． 8．如图，中，，，、分别为与的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有 个 9．如图，一条船从海岛处出发，向正北方向航行8海里到达海岛处．从望海岛，在的南偏东方向上；从望灯塔，在的北偏西方向上．则海岛到灯塔的距离是 海里． 10．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    三、解答题 11. 如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 12.如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 13．已知：如图，的高、相交于点O且，求证：是等腰三角形． 14.如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 15.如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 16.如图，和是等腰三角形，，，，在上截取，连接，，延长交于点P． (1)吗？请说明理由； (2)试说明平分． 17．如图，在中，，点分别在边上，连结，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，平分．试说明： (1)△ABC是等腰三角形 (2)DE=DF 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.2 等腰三角形的判定 教学目标 · · 1.掌握等腰三角形的判定方法： · “等角对等边”：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等； · 2.能够运用判定定理判定等腰三角形； · 3.运用等腰三角形的性质与判定进行推理和证明. · 教学重难点 · 1.重点 · 等腰三角形的判定定理的理解与应用； · 2.难点 · 理解“性质”与“判定”的区别与联系，运用判定定理识别或构造等腰三角形解决几何问题. 知识点01 等腰三角形的判定 1.判定方法 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”). 2.性质和判定的区别 性质和判定是互逆命题; 性质是已知三角形是等腰三角形（有两边相等），从而可知它的两个底角相等； 判定是已知一个三角形有两角相等，从而得出它是等腰三角形.但是“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等。因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些“专属概念”. 3.一个常见模型：“角平分线+平行等腰” 知识点02 定理的证明和应用 1.定理的证明 求证： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 如图18 -2 -1 , 已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC. 证明（法一） 如图 18-2-2 , 作上BAC的平分线AD，有∠1=∠2. 又由于∠B= ∠C，AD是公共边，由“角角边”，得△ABD≌△ACD，从而AB＝AC. 其他证明上述定理的方法： 法二：作底边的中线AD，由“边边边”可证 法三：作底边的高AD，由“角角边”可证 2. “三线合一”的逆命题 （1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合. （2）逆命题 在△ABC中①AB=AC,②AD⏊BC，③AD平分∠BAC，④BD=DC,已知其中任意两个条件都能推出另外两个结论. （三线合一） （判定） 三线合一的逆命题共有六个，其中能用于判定的有三个。 【即学即练】 例1 如图，已知：在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2.求证：AB＝AC. 分析 在△ABD和△ACD 中，虽然有∠1=∠2, AD＝AD，BD＝CD这三个条件，但不能直接推出△ABD和△ACD全等. 思路一：遇到中点倍长中线 证明： 如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. 在△ABD和△ECD中， ∵BD=DC,∠BDA=∠CDE ∴ △ABD≌△ECD(SAS). ∴ AB=EC,∠1=∠E(全等三角形的对应边相等，对应角相等). 又∵∠1=∠2, ∴ ∠2=∠E. ∴ AC=EC(等角对等边). ∴ AB=AC. 思路二：角平分线+平行⇒等腰 过点C分别作AB的平行线，交AD延长线于点E（也可以过点B作AC的平行线） 证明： 过点C分别作AB的平行线，交AD延长线于点E. ∵AB//CE ∴∠E=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠E=∠2 ∴AC=EC（等角对等边） 在△ABD和△ECD中， ∵BD=DC,∠BDA=∠CDE ∴ △ABD≌△ECD(AAS). ∴ AB=EC(全等三角形的对应边相等，对应角相等). ∴ AB=AC. 【点睛】三线合一的逆命题都是真命题，但不是定理，所以在应用时不能直接用于等腰三角形的判定，往往需要借助全等的判定来推理. 知识点03 大角对大边 如图在△ABC中，∠C>∠B.求证：AB>AC. 分析：如图,由∠ACB>∠B,在∠ACB内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D.根据“等角对等边”,有DB=DC. 在△ACD中，根据三角不等式，有AD+DC>AC,所以AB=AD+DB=AD+DC>AC. 上述结论可以简述为：在三角形中，大角对大边. 知识点04 等腰三角形性质和判定的综合 性质 判定 定理 等边对等角 等角对等边 三线合一 等腰⇒三线合一 两线合一⇒等腰 推广 大边对大角 大角对大边 题型01 等腰三角形的判定 【典例1】在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【解析】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70° C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14 【答案】C 【分析】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断. 【解析】A. ∠C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； B、∵∠A=2∠B=70°， ∴∠B=35°， ∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； C、∠C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； D、∵AB=3，BC=6，周长为14， ∴AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 故选C． 【变式2】在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断． 【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°， ∴∠B=180°－∠A－∠C=65° ∴∠B=∠C ∴△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰． 【变式3】如图，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ) A．∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD C．BD=AD=CD D．AD⏊BCB,BD=CD 【变式4】如图，在△ABC中，BC=8，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，PD/AB， PE//AC，那么△PDE的周长是( ) A.2 B.4 C.8 D.16 题型02 数等腰三角形 【典例1】如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=108,∠DAE=36，则∠BAD=______,∠EAC=________，图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】(1)∵，是等腰三角形． ∴∠B=∠C=36, ∴，是等腰三角形． ∴∠ADE=∠AEC=72 ∵， ∴∠ACE=∠AED-∠CAE=36, 同理∠BAD=∠ABD=36 ∴∠BAE=∠CAD=72, ∴AB=AE=AC=CD BD=AD=AE=EC ∴图中等腰三角形有6个:△ABC,△ABD,△AEC,△ABE,△ADE,△ACD. 【变式1】如图，在中，AB=AC，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的概念和性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由AC=BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定△BAD与△CAD也是等腰三角形． 【解析】解：由图可知， ∵AC=BC，∠C=36°， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC=∠ABC=72°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD=∠C=36° ∴△CAD为等腰三角形， ∵∠BDA=∠C+∠CAD=72°=∠B， ∴△BAD为等腰三角形， ∴则图中等腰三角形由3个； 故选：C． 【变式3】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理定义得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【变式4】如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】逐个画出图形，即可得到答案． 【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°， 以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形， 而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°， ∴∠ACB=∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， 故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意； 图③中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°， 过A作AE⊥BC于E，如图： 则△ABE和△ACE是等腰直角三角形， 故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意； 图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°， 以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图： 则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意； 图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形， 故②不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形． 题型03 已知两点找等腰 【典例1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【解析】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 【变式1】在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【解析】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D．  【变式2】已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，用两种不同的分割方法画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）    【答案】见解析 【分析】因为°，°，所以∠C=22．5°，而67．5°+22．5°=90°，45°+22．5°=67．5°，所以可以把∠A分成一个67．5°角和22．5°角，然后分割成一个底角是67．5°的等腰三角形和一个底角是22．5°的等腰三角形，也可以分割成一个底角是45°的等腰三角形和一个底角是22．5°的等腰三角形． 【详解】解：如图（共有2种不同的分割方法），    【变式3】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 【变式4】如图，在中，，点P为所在平面内一点，且点P与的任意两个顶点构成，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为 个．    【答案】6 【分析】作出的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和圆的半径相等即可得解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线， ①作的垂直平分线交的垂直平分线于点，为满足条件的点， ②以点C为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点、，、为满足条件的点， ③分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点，为满足条件的点， ④分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，交的垂直平分线于点、，、为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点P的个数为6． 故答案为6．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键． 题型04 角平分线+平行⇒等腰 【典例1】如图，平分，且，求证：为等腰三角形．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：， （ ）① 平分 （ ）② （ ）③ 为等腰三角形． 【答案】 【分析】等腰三角形的判定，熟练掌握相关运算法则，等角对等边，是解题的关键： （根据平行线的性质，等量代换，等角对等边，进行作答即可． 【解析】证明：， （两直线平行，内错角相等） 平分 （等量代换） （等角对等边） 为等腰三角形． 【点睛】外角平分线+平行⇒等腰 【变式1】如图，已知中，BD平分，说明的理由． 解：因为BD平分（①） 所以（②） 因为（③） 所以（④） 所以（⑤） 所以（⑥） 【答案】①已知；②角平分线的定义；③已知；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥等角对等边 【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据等角对等边即可得． 【解析】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等量代换）， 所以（等角对等边）． 故答案为:已知；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；等角对等边. 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 【点睛】内角平分线+平行⇒等腰 【变式2】 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F．求证：△EBO为等腰三角形； 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义可证∠ABO＝∠OBC，根据平行线的性质可证∠OBC＝∠EOB，从而可得∠ABO＝∠EOB，然后根据等角对等边可证结论成立． 【解析】证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EF//BC， ∴∠OBC＝∠EOB， ∴∠ABO＝∠EOB， ∴EB＝EO， ∴△EBO为等腰三角形． 【点睛】双角平分线+平行⇒双等腰 【变式3】如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则． 【解析】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，交于点，EF平分∠AEC，求证：△BEC是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边证明等腰三角形，根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】证明：∵EF平分∠AEC ∴∠AEF=∠FEC． ∵， ∴，∠AEF=∠B ∴， ∴EB=EC， ∴△BEC是等腰三角形． 题型05 等腰三角形判定的应用 【典例1】如图，在中，，，平分交于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定． 根据题目中的已知条件，结合三角形的内角和定理及角平分线的概念，可求出及各内角的度数．若同一个三角形中有两个相等的角，即可判定该三角形是等腰三角形． 【详解】解：图中有 3 个等腰三角形，分别为． ， ， ， （等角对等边）， 是等腰三角形， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰三角形． 【变式1】如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的判定． （1）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案； （2）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，得出，证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【变式2】如图，在中，，，平分交于点E，于点D．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三线合一，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线得出角的度数，根据等角对等边得出，然后根据三线合一即可得出结论． 【详解】证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【变式3】如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 【答案】理由见解析 【分析】由角平分线的定义得∠ABF＝∠DBF，再根据三角形内角和与三角形的外角，可得∠AEF＝∠AFE，进而可判定△AEF是等腰三角形． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠DBF， 又∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴， ∴∠AFE＝∠DEB， 又∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和，三角形的外角，等腰三角形的判定等知识，解题的关键在于明确角度的数量关系． 【变式4】如图，在中，，D为中点，点E是延长线上一点，点F是上一点，连接并延长交于点G，且． (1)若．求的度数； (2)求证：． 题型06 等腰三角形性质和判定的综合 【典例1】如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则； （2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵是的两条高线， ∴． ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：设点到边的距离为， ∵是的两条高线 ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点到边的距离为． 【变式1】如下图，已知点D，E在的边BC上，，，F为DE的中点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】先利用F是DE中点得到线段相等，结合已知的，推导出；再结合，利用等腰三角形三线合一的性质，说明． 【详解】解：∵F为DE的中点， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形中，底边的中线同时也是底边的高是解题的关键． 【变式2】如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 【答案】见解答过程 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 由，根据“等边对等角”得，所以，则，由“等角对等边”证明，进而根据““证明≌，再根据全等三角形的对应角相等推导出，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明，于是得到问题的答案． 【详解】解：已知， 所以等边对等角， 又已知， 等式性质， 即， 等角对等边， 在与中， ， ≌， 全等三角形的对应角相等， 又已知， 等腰三角形的“三线合一”． 【变式3】如图，在与中，，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，结合，运用证明，则，最后运用等角对等边，即可作答． 【解析】证明：， ， ， 【变式4】图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． 求证：（1）EF⊥AB； （2）△ACF为等腰三角形．        【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB； （2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF． 【解析】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ABC ＝72°． 又∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝36°． ∴∠BAD＝∠ABD． ∴AD＝BD． 又∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，即EF⊥AB． （2）∵EF⊥AB，AE＝BE， ∴△AEF≌△BEF ∴AF＝BF． ∴∠BAF＝∠ABF． 又∵∠ABD＝∠BAD， ∴∠FAD＝∠FBD＝36°． 又∵∠ACB＝72°， ∴∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°． ∴∠CAF＝∠AFC＝36°． ∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握并能综合运用等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质． 题型07 三角形中边角关系的综合以及用方程思想计算角度 【典例1】如图，在△ABC中，BA=BC,点D在边CB上，且DB=DA=AC.求∠B、∠C的度数. 【答案】见解析 【分析】本题重点考查等腰三角形的边角的关系，以及通过列方程计算角度. 【详解】∵DB=DC ∴设∠B=∠BAD=x ∵DA=DC ∴∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x ∵BA=BC ∴∠BAC=∠C=2x 所以由三角形的内角和定理得，x+2x+2x=180 ∴x=36 ∴∠B=36,∠C=72. 【变式1】如图，△ABC中，D为BC上一点，且AB=AC=BD，∠1=70，求∠2 【答案】见解析 【分析】本题重点考查等腰三角形的边角的关系，以及通过列方程计算角度. 【详解】∵AB=AC ∴设∠B=∠C=x ∵AB=BD ∴∠BAD=∠1=70 ∴∠2=∠1-∠C=70-x 由三角形的内角和定理得，x+70+（70-x）+x=180 ∴x=40 ∴∠2=30 【变式2】如图，已知：DC//AB,AC与BD相交于点O,且OA<OB.求证：OC<OD. 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质，熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在△AOB中， ∵OA<OB， ∠A>B， ∵DC//AB ∴∠A=∠C,∠B=∠D ∴∠C>∠D ∴OC<OD 【变式3】已知：在△ABC中，AB=AC,D是边BC延长线上一点，E是边AB上一点，DE交边AC于点F.求证：AE<AF. 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质，熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠4 ∵∠4>∠3,∠1>∠2 ∴∠1>∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1>∠2 ∴AE<AF 【变式4】实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 如图，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的边角关系.在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 一、单选题 1．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【详解】解：A、， ， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、 ，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 2．下列命题中，不正确的是（   ） A．两个外角相等的三角形是等腰三角形 B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形 C．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定；根据两边相等的三角形是等腰三角形或“等角对等边”判定即可． 【解析】解：因为两个外角相等的三角形的两个内角也相等，根据“等角对等边”可知这个三角形是等腰三角形，所以A正确； 如图所示，∵，可知， ∵平分，可得， ∴， ∴，则这个三角形是等腰三角形，所以B正确； 因为两个内角分别是和，另一个内角为，根据等角对等边，可知这个三角形是等腰三角形，所以D正确，C不正确． 故选：C． 3．如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质得，进而得，同理，则，由此可求出的周长． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， ， 同理：， ， ． 故选：A． 二、填空题 4．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是分类讨论． 已知等腰三角形的一个外角是，则等腰三角形的一个内角是，但题中没有说明这个角是顶角还是底角，所以分两种情况进行讨论． 【详解】等腰三角形的一个外角是， 等腰三角形的一个内角是， 当为顶角时，其他两个角都是底角且等于， 当为底角时，其他两个角为、， 等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 5．一个三角形三个内角的比是3：3：6，且最短边长为10厘米，则该三角形的面积是 平方厘米． 【答案】50 【分析】首先根据题意和三角形的内角和确定三角形的形状，然后根据确定的形状求解面积即可． 【详解】解：∵，三角形的内角和为180°， ∴，， 该三角形的三个内角分别为45°，45°，90°， ∴该三角形为等腰直角三角形， ∵该三角形最短边长为10厘米， ∴等腰三角形的腰长为10厘米， ∴该三角形面积为：平方厘米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，理解并熟记三角形的内角和是解题关键． 6．如图，和相交于点，且，，，则 ． 【答案】3 【分析】首先根据求得，然后根据得出，可证明出，即可求出的长度． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质． 7．如图，在中，，平分，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，由等角对等边得出，再由等腰三角形的性质得出，最后由周长公式计算即可得解． 【解析】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴的周长为， 故答案为：． 8．如图，中，，，、分别为与的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有 个 【答案】8 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用． 由在中，，，根据等边对等角，即可求得与的度数，又由、分别为与的角平分线，即可求得，然后利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，即可求得，由等角对等边，即可求得答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ， 、分别为与的角平分线， ， ，，， ，，，是等腰三角形， ，，， ， ，，， ，，，是等腰三角形． 图中的等腰三角形有8个． 故答案为：8． 9．如图，一条船从海岛处出发，向正北方向航行8海里到达海岛处．从望海岛，在的南偏东方向上；从望灯塔，在的北偏西方向上．则海岛到灯塔的距离是 海里． 【答案】8 【分析】根据题意，由平行线的性质可求得∠BCA=∠BAC=42°，再由等角对等边可得BC=AB=8，即可解答． 【解析】由题意，AB=8，∠A=42°，∠BCA=84°-42°=42°， ∴∠A=∠BCA， ∴BC=AB=8， 即海岛到灯塔的距离是8海里． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了方位角问题、等腰三角形的判定、平行线的性质，利用等角对等边证得BC=AB是解答的关键． 10．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】75°或120°或15° 【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【解析】解：如图，有三种情形：    ①当AC=AD时，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°， ∴∠CAB=30°， ∵AC=AD， ∴∠ADC=∠DCA=（180°-∠CAB）=75°； ②当CD′=AD′时， ∵∠CAB=30°， ∴∠D′CA=∠CAB=30°， ∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°． ③当AC=AD″时，则∠AD″C=∠ACD″， ∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB， ∴∠AD″C=15°， 故答案为：75°或120°或15°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题 11. 如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质，等量代换得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 12.如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 ． 13．已知：如图，的高、相交于点O且，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形高的应用，熟练掌握三角形面积公式的应用是解题的关键． 由三角形面积公式得，结合，可得，即可证出是等腰三角形． 【详解】解：∵与是的高， ∴， ∵， ∴， 故是等腰三角形． 14.如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质． （1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可； （2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ，， 平分交于点N， ， 为等腰直角三角形． 15.如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 16.如图，和是等腰三角形，，，，在上截取，连接，，延长交于点P． (1)吗？请说明理由； (2)试说明平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再证明，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，再证明，结合等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴为的平分线，即：平分． 17．如图，在中，，点分别在边上，连结，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴． 18．如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，平分．试说明： (1)△ABC是等腰三角形 (2)DE=DF 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】由两直线平行内错角相等可得，由平分可得，进而可得，由等角对等边可得，由三线合一可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可得出结论； 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， 又是的角平分线， ， 在和中， ， ， ； 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $