专题06 解直角三角形的实际应用（复习讲义）(广东专用)2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06 解直角三角形的实际应用 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一仰角、俯角的实际测量应用 题型二坡度、坡角的实际应用 真题动向 题型三方位角的航行实际应用 题型四解直角三角形 题型五解直角三角形的综合应用 知识1锐角三角函数（正弦、余弦、正切)的定义 知识2特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值 知识3仰角、俯角的概念与图示识别 必备知识 知识4坡度、坡角的定义与数量关系 知识5方位角的概念与坐标系表示 知识6解直角三角形的建模与计算方法 预测1仰角、俯角的高度测量问题[广州2025年第24题/广东省卷2025 年第21题] 预测2方位角的航行、定位问题[深圳解答题常考] 预测3解直角三角形与四边形结合应用[广州、省卷高频 命题预测 预测4解直角三角形与其他三角形的结合[常考题] 预测5解直角三角形的其他问题[常考题] 预测6解直角三角形的相关计算[常考题] 预测7三角函数综合常考题] 01 析考情目标 命题形式： 命题 选择题、填空题及解答题 考察能力： 透视 运算能力、抽象能力、推理能力 1/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点 广东省卷 广州倦 深圳卷 2025:T22（俯角—下降 2025:无 时间) 2024:T8（仰角一电 仰角与俯角 2024:T22（俯角—下降 子厂高度) 时间) 2025:T24（涉水线—斜 坡度与坡角 坡坡角) 2024:无 2025:T4（正弦定义 热考 锐角三角函 -天桥) 角度 数的直接应 2024:T8（仰角解直角 用（正弦、余 三角形)、T11(矩形中 弦、正切) 扇形→解直角三角形) 2025:T21（正弦定理解 2025:T4（天桥—正 2025:T22（俯角—下降 三角形—两岛距离， 弦定义) 构造直角三 时间)、T24（涉水线—斜 也可视为解直角三角 角形解决实 坡距离) 2024:T8(仰角—电 形) 际问题 子厂高度)、11（矩形 2024:T22（俯角—下降 2024:T18（矩形充电站 中扇形→解直角三角 时间) 停车位尺寸) 形) 1.考情预测 。根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“解直角三角形的实际应用”板块 常以选择题、填空题或解答题的中档题出现，难度中等。 ·仰角与俯角：高频考点，常结合垂直下降、高度测量等实际问题，需要构造直角三角形， 利用正切或正弦求解。 坡度与坡角：偶有出现（如广州卷2025年涉水线问题），需要理解坡度概念（坡角的正 切值)，并利用三角函数求解距离。 ● 锐角三角函数的直接应用：深圳卷常在第4题左右直接考查正弦、余弦、正切的定义， 命题 需要熟记特殊角的三角函数值。 预测 构造直角三角形：常见题型包括：求物体高度、求水平距离、求斜坡长度、求时间等， 需要根据题意画出示意图，选择合适的三角函数列式求解。 2.备考建议 ·熟记特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值，并能熟练使用计算器求一般角的三角 函数值（或根据参考数据计算）。 ·理解仰角、俯角、坡度、方向角等概念，能在实际问题中准确识别并构造直角三角形。 ·掌握解直角三角形的基本方法：已知一边一角求其他边，或已知两边求角。 。对于实际问题，要养成画示意图的习惯，将实际问题转化为数学模型（直角三角形）。 2/32 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 注意单位的统一和结果的精确度要求（如精确到0.1米、0.01米等)。 加强实际背景题的阅读训练，快速提取关键数据（角度、距离、高度等），排除干扰信 息。 02 筑专题框架 锐角三角函数：sin、cos、tan 核心知识O 特殊角三角函数值 勾股定理 仰角、俯角 常用概念○ 坡度、坡角 方向角（方位角） 三、基本模型O 单直角三角形模型 双直角三角形（背靠背/母子型） 找直角三角形 选合适三角函数 四、解题步骤O 列关系式计算 检验并作答 测量高度 五、常见应用O 航海测距 坡面工程计算 03 攻•重难考点 题 动 向 题型一仰角、 俯角的实际测量应用 点方法 1.先画示意图，找准水平线，仰角向上看、俯角向下看，构造直角三角形。 2.利用正切函数列关系式，计算物体高度、水平距离。 3/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.结果结合实际保留精度，注意单位统一。 1.(2024·广东深圳·中考真题)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角 为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为()（参 4 3 4 考数据：sin53°*行，cos53°*亏，tam53°*行） 3 E. M FD B A.22.7m B.22.4m C.21.2m D.23.0m 2.(2024·广东广州·中考真题)2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合 体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中， 如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点 的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米. BK36.8末 (1)求CD的长； (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间.（参考数据： sin36.87°≈0.60，c0s36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75) 题型二坡度、坡角的实际应用 点方法 1.坡度i=竖直高度：水平宽度=tana(《为坡角)，坡角越大坡度越陡。 2.己知坡度求边长，结合勾股定理计算斜坡长度。 3.常与梯形、矩形组合，拆分图形分别求解。 1.(2025·广东深圳·中考真题)小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上； 4/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长 为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为() 777130 A.6+3米 B.12米 C.(4+25米 D.10米 2.(2024·广东深圳·中考真题)小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上 走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高() 60 12 A.(600-250√5)米 B.(600V3-250)米 C.(350+350√5)米 D.500√5米 ◆题型三方位角的航行实际应用 点方法 1.按上北下南左西右东作图，找准北偏东/西等方位角。 2.作垂直辅助线构造直角三角形，转化角度为三角形内角。 3.分步解直角三角形，求出航行距离、偏移长度。 1.(2024·广东深圳·中考真题)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q 两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长) 可以表示为() 5/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 →东 200 200 A.200tan70°米B. 米 C.200sin70°米 D.200米 tan70° sin70° 2.(2023·广东湛江·中考真题)如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30 的方向上，随后渔政船以80海里小时的速度向北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓 鱼岛A在渔政船 的北偏西60的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，√3≈1.732) 60 北 3030 西← 南 ◆题型四解直角三角形 皮方法 1.已知一边一角或两边，用勾股定理+锐角三角函数求剩余边角。 2.牢记正弦、余弦、正切定义，分清对边、邻边、斜边。 3.30°、45°、60°直接用特殊三角函数值快速计算。 1.(2025·广东广州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB,己知 c0s∠CAD=12 ,AB=26,则点B到AD的距离为 6/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 2.(2025·广东深圳·中考真题)综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形. 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此 时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在ABC中， AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，ABC是“伴随三角形”. D B B 图1 图2 图3 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC,求： ①AD与BC的位置关系为： ②AC2AD·BC.(填“>”，“<”或“=”) 【方法应用】①如图4，若AC=BC,将ABC绕点A逆时针旋转至ADE,点D恰好落在BC边上，求证： 四边形ABDE是双等四边形 3 ②如图5，在等腰三角形ABC中，4C=8C，cosB=号，AB=5,在平面内找一点D,使四边形ABCD是以 ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由 D 图4 图5 备用图 3.(2025·广东深圳·中考真题)如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD,AD=EC. D 图1 图2 7/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：四边形ADCE为菱形； (2)如图2，若点O为AC上一点，AC=4,且E,A,D三点均在⊙0上，连接0D,CD与⊙0相切于点 D, ①求∠ACD= ②求00的半径r: (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F,保留作图痕迹，不用写出作法和理由. 4,(2024·广东广州·中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠C=120°.点E在射线BC上运动（不与点B, 点C重合)，△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF. (1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由； (2)若AB=6+6√5，⊙0为△AEF的外接圆，设O0的半径为r, ①求r的取值范围； ②连接FD,直线FD能否与OO相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由 >题型五解直角三角形的综合应用 点方法 1.作高线、垂线，将不规则图形拆分为直角三角形与矩形。 2.设未知边长，利用三角函数列方程求解。 3.结合实际场景验证结果，舍去负数、超出范围的解。 1.(2025·广东广州·中考真题)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探 究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请 认真阅读，解决问题。 图1 发 涉水线设置 限高架设置 现 8/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问 题 确 定 目 标 数 学 隧道入口 《-限高架 抽 隧道 侧面 涉水线处 B M一斜坡 隧 图3为隧道 象 N 绘 图2 D 图3 制 道及斜坡的侧面示意图，可近似如 横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩 图 图2所示 形ADEB的三边构成. 形 信 息 收 当隧道内积水的水深为0.27米时， 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止 集 (即积水达到涉水线处)，车辆应避 压线)，且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB 资 免通行. 在竖直方向的空隙不小于0.3米. 料 整 理 实 地 考 斜坡的坡角a为10°，并查得： 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两 察 sin10°≈0.174， 侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10 数 c0s10°≈0.985， 米.车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略 据 tan10°≈0.176. 不计)与墙面的距离为1米. 采 集 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离MW(精确到0.01米)； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式； 9/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）. 2.(2025·广东·中考真题)综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则有a= b ,这是解三 sinA sinB sinC 角形的重要结论，可用于解决实际问题。 6 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部 平面示意图，现需要知道湖中A,B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小 组对这一问题进行了探究. 。W B 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）. 测角仪 测距仪 无人机 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C; 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m,AC≈388.5m. A B 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B两岛间的距离. (参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998) 10/32 专题06 解直角三角形的实际应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 仰角、俯角的实际测量应用 题型二 坡度、坡角的实际应用 题型三 方位角的航行实际应用 题型四 解直角三角形 题型五 解直角三角形的综合应用 必备知识 知识1 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 知识2 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 知识3 仰角、俯角的概念与图示识别 知识4 坡度、坡角的定义与数量关系 知识5 方位角的概念与坐标系表示 知识6 解直角三角形的建模与计算方法 命题预测 预测1 仰角、俯角的高度测量问题 [广州2025年第24题/广东省卷2025年第21题] 预测2 方位角的航行、定位问题 [深圳解答题常考] 预测3 解直角三角形与四边形结合应用 [广州、省卷高频] 预测4 解直角三角形与其他三角形的结合[常考题] 预测5 解直角三角形的其他问题[常考题] 预测6解直角三角形的相关计算[常考题] 预测7三角函数综合[常考题] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 仰角与俯角 / 2025：T22（俯角——下降时间） 2024：T22（俯角——下降时间） 2025：无 2024：T8（仰角——电子厂高度） 坡度与坡角 / 2025：T24（涉水线——斜坡坡角） 2024：无 / 锐角三角函数的直接应用（正弦、余弦、正切） / / 2025：T4（正弦定义——天桥） 2024：T8（仰角解直角三角形）、T11（矩形中扇形→解直角三角形） 构造直角三角形解决实际问题 2025：T21（正弦定理解三角形——两岛距离，也可视为解直角三角形） 2024：T18（矩形充电站——停车位尺寸） 2025：T22（俯角——下降时间）、T24（涉水线——斜坡距离） 2024：T22（俯角——下降时间） 2025：T4（天桥——正弦定义） 2024：T8（仰角——电子厂高度）、T11（矩形中扇形→解直角三角形） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“解直角三角形的实际应用”板块常以选择题、填空题或解答题的中档题出现，难度中等。 · 仰角与俯角：高频考点，常结合垂直下降、高度测量等实际问题，需要构造直角三角形，利用正切或正弦求解。 · 坡度与坡角：偶有出现（如广州卷2025年涉水线问题），需要理解坡度概念（坡角的正切值），并利用三角函数求解距离。 · 锐角三角函数的直接应用：深圳卷常在第4题左右直接考查正弦、余弦、正切的定义，需要熟记特殊角的三角函数值。 · 构造直角三角形：常见题型包括：求物体高度、求水平距离、求斜坡长度、求时间等，需要根据题意画出示意图，选择合适的三角函数列式求解。 2. 备考建议 · 熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能熟练使用计算器求一般角的三角函数值（或根据参考数据计算）。 · 理解仰角、俯角、坡度、方向角等概念，能在实际问题中准确识别并构造直角三角形。 · 掌握解直角三角形的基本方法：已知一边一角求其他边，或已知两边求角。 · 对于实际问题，要养成画示意图的习惯，将实际问题转化为数学模型（直角三角形）。 · 注意单位的统一和结果的精确度要求（如精确到0.1米、0.01米等）。 · 加强实际背景题的阅读训练，快速提取关键数据（角度、距离、高度等），排除干扰信息。 题型一 仰角、俯角的实际测量应用 1. 先画示意图，找准水平线，仰角向上看、俯角向下看，构造直角三角形。 1. 利用正切函数列关系式，计算物体高度、水平距离。 1. 结果结合实际保留精度，注意单位统一。 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 2．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为8米； (2)模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； （2）解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 题型二 坡度、坡角的实际应用 1. 坡度竖直高度:水平宽度（为坡角），坡角越大坡度越陡。 2. 已知坡度求边长，结合勾股定理计算斜坡长度。 3. 常与梯形、矩形组合，拆分图形分别求解。 1．（2025·广东深圳·中考真题）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（   ） A．米 B．12米 C．米 D．10米 【答案】A 【分析】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质． 【详解】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°． 作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4， ∴CE=2，EF=4cos30°=2， 在Rt△CED中，CE=2， ∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米， ∴DE=4． ∴BD=BF+EF+ED=12+2． ∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2， ∴在Rt△ABD中，AB=BD=． 故选：A． 2．（2024·广东深圳·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　    　) A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500米 【答案】B 【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k， ∵AB=1300米， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2， 即，解得k=100． ∴AE=1200米，BE=500米． 设EC=x米， ∵∠DBF=60°，∴DF=x米． 又∵∠DAC=30°，∴AC=CD． ∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250． ∴DF=x=600﹣750． ∴CD=DF+CF=600﹣250（米）． ∴山高CD为（600﹣250）米． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用． 题型三 方位角的航行实际应用 1. 按上北下南左西右东作图，找准北偏东/西等方位角。 2. 作垂直辅助线构造直角三角形，转化角度为三角形内角。 3. 分步解直角三角形，求出航行距离、偏移长度。 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（   ） A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米 【答案】B 【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长． 【详解】解：在Rt△PQT中， ∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°， ∴∠PTQ=70°， ∴， ∴， 即河宽米， 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 2．（2023·广东湛江·中考真题）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西300的方向上，随后渔政船以80海里小时的速度向北偏东300的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船 的北偏西60的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．（结果保留小数点后一位，） 【答案】6.9 【分析】由方向角判断出△ABC是直角三角形，由速度、时间求出BC的距离，从而应用正切函数求出AB的距离． 【详解】解：如图，延长EB至F，则∠CBF=300， ∴． 在Rt△ABC中，∠ACB=600，． ∵，∴． 答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB约为6.9海里． 题型四 解直角三角形 1. 已知一边一角或两边，用勾股定理+锐角三角函数求剩余边角。 2. 牢记正弦、余弦、正切定义，分清对边、邻边、斜边。 3. 30°、45°、60°直接用特殊三角函数值快速计算。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 3．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】(1)见解析 (2)①30°；② (3)见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可； （3）利用尺规作图作，即可． 【详解】（1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为． (1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由； (2)若，为的外接圆，设的半径为． ①求的取值范围； ②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①且；②能， 【分析】（1）由菱形的性质可得，，再结合轴对称的性质可得结论； （2）①如图，设的外接圆为，连接交于．连接，，，，证明为等边三角形，共圆，，在上，，过作于，当时，最小，则最小，再进一步可得答案；②如图，以为圆心，为半径画圆，可得在上，延长与交于，连接，证明，可得，为等边三角形，证明，可得：，，过作于，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：，；理由如下： ∵在菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由对折可得：， ∴； （2）解：①如图，设的外接圆为，连接交于．连接，，，， ∵四边形为菱形，， ∴， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴共圆，，在上， ∵， ∴， 过作于， ∴，， ∴， 当时，最小，则最小， ∵，， ∴， ∴； 点E不与B、C重合， ，且， ∴的取值范围为且； ②能为的切线，理由如下： 如图，以为圆心，为半径画圆， ∵， ∴在上， 延长与交于，连接， 同理可得为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对折可得：，， 过作于， ∴设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，切线的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型五 解直角三角形的综合应用 1. 作高线、垂线，将不规则图形拆分为直角三角形与矩形。 2. 设未知边长，利用三角函数列方程求解。 3. 结合实际场景验证结果，舍去负数、超出范围的解。 1．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 2．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 3．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴    （2）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 知识1 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 在直角三角形中，设锐角为，对边为，邻边为，斜边为： 正弦：对边斜边 余弦：邻边斜边 正切：对边邻边 知识2 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 角度 30° 45° 60° 1 知识3 仰角、俯角的概念 仰角：从水平线向上看目标，视线与水平线的夹角； 俯角：从水平线向下看目标，视线与水平线的夹角； 二者均以水平线为基准，角度相等（两直线平行，内错角相等）。 知识4 坡度、坡角的定义与数量关系 坡角：坡面与水平面的夹角； 坡度：坡面的垂直高度∶水平宽度，即； 坡度越大，坡角越大，坡面越陡。 知识5 方位角的概念与坐标系表示 以正北、正南为基准，描述方向： · 如：北偏东30°、南偏西45°（东南方向即南偏东45°）； 坐标系表示：结合直角坐标系，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，转化为直角三角形计算。 知识6 解直角三角形的建模与计算方法 已知条件：直角三角形中，除直角外，已知2个元素（至少1条边），可求其余所有边和角； 核心工具：勾股定理、两锐角互余、三角函数； 解题步骤： · 画示意图→构造直角三角形→选合适三角函数→列方程计算→检验结果； 无直角时：作高构造直角三角形，转化为可解模型。 命题预测1：仰角、俯角的高度测量问题 [广州2025年第24题/广东省卷2025年第21题] 1．（2026·广东深圳·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， 若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过． 2．（2026·广东深圳·一模）“综合与实践”活动小组的同学借助无人机要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长、分别于直线交于、，分别利用解三角形求出、、即可． 【详解】解：延长、分别交直线于、， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴楼与之间的距离的长约为． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为_________ m，楼房的高为 _________ m． 【答案】 30 20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 4．（2026·广东珠海·一模）开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点C处）看碉楼顶部A的仰角是，看碉楼底部B的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，结果保留一位小数）． 【答案】米 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米， 答：此碉楼的高度约为米． 5．（2026·广东东莞·一模）综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度 【实践背景】 黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力． 【实践器材】 测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平） 【实践过程】 如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为；然后他沿着坡度为的斜坡向后（远离灯笼方向）行走，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内． 【实践探究】 (1)求斜坡的垂直高度（即长度）和水平宽度（即长度）； (2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度（结果保留整数）． （参考数据：；．） 【答案】(1)斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米 (2)灯笼所在位置的高度为205米 【分析】（1）由题意可得，在中利用解直角三角形即可求解； （2）过点作于点，设米，在和中分别计算出，，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 在中，（米）， （米）， 答：斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米． （2）解：如图，过点作于点， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，米， 设米，则（米）， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴灯笼所在位置的高度为205米． 6．（2026·广东佛山·一模）某公园有一座古塔（如图1），数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度．图2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形． 步骤一：在点A处，测得塔尖C的仰角为； 步骤二：从点A出发，向前走15m到达点B处．此时在B处测得塔尖C的仰角为．点D是塔尖C在地平线上的正投影． (1)尺规作图：作出表示古塔高度的线段，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)根据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在直线下方取点，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于两点、，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在下方交于点，连接，交于点，则线段即为所求； （2）先由题意可知，，，，得出，再设，，最后根据正切的定义列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示： 线段即为所求； 作图原理： 如图，连接，，，， 由作图可知，，， 垂直平分， 即，满足正投影的定义． （2）解：设古塔的高度， ， ． 由题意可知，，，， ， ，， 在中， ， 解得，，（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 即． 答：古塔的高度为． 7．（2024·广东·二模）因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了仰角俯角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是正确的将仰角俯角问题转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识求解． 利用锐角三角函数分别求出和，利用两者的差等于3求得的长即可． 【详解】解：∵侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和， ∴，， ∵垂直于地面，立杆高度是， ∴()， ∴()， ∴指示牌的高度为()． 命题预测2：方位角的航行、定位问题 [深圳解答题常考] 1．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行____小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 4．（2025·广东广州·二模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑，处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上。 (1)______________________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)90，76 (2)点到道路的距离为4.0千米 (3)小李离点不超过 【分析】本题考查了正多边形的外角、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，掌握综合推理能力是解题的关键． （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作于点，如图所示，在中，求出；在中，求出即可得到答案； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点，如图所示，解，求出，证明，由相似性质列出比例式进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵正八边形， ∴外角， ∴， 故答案为：90，76； （2）解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ∴， 处有一座雕塑，在处测得雕塑在北偏东方向上，则， 在中，， 答：点到道路的距离为4.0千米； （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点，如图所示： ∵正八边形的外角均为， ∴在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，则， 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达. (1)在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）； (3)以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查作垂线、角平分线及解三角形，理解题意，掌握相应图形的作法及性质是解题关键. （1）作的垂直平分线交点A北偏东方向的射线于点C，即为所求； （2）连接，作的角平分线，即为所求； （3）根据题意得：，，然后解三角形即可. 【详解】（1）解：如图（a）所示，作的垂直平分线交点A北偏东方向的射线于点C，即为所求； （2）如图（b），连接，作的角平分线，即为所求； （3）如图（c）， 根据题意得：，， ∴ 答：乙船运动的最远距离长为． 6．（2025·广东云浮·一模）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里． (1)求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号） (2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】(1)海里 (2)时 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，得海里,解,求出即可得到答案； （2）证明是直角三角形，求出的长，根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∴， 根据题意得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵海里， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∴海里； （2）解：根据题意得，， ∴是直角三角形， 又， 在中，， ∴海里， ∴该船到达海岛D处所用的时间时． 7．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】(1)海里 (2)最短 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 8．（2024·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算； (2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 【答案】(1) (2)码头与海岛之间的距离为海里 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据公式得即可； （2）作于点，设，则，，利用（1）的结论解直角三角形即可． 【详解】（1）解： = = （2）如图，作于点 ∵，， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形 设，， 在中 ∴ 解得： ∴． 答：码头与海岛之间的距离为海里． 命题预测3：解直角三角形与四边形结合应用 [广州、省卷高频] 1．（2026·广东广州·模拟预测）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，由勾股定理，，证明，可解得，故可求出的值． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 根据题意，令，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（2026·广东珠海·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边的中点处．若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出，通过同角的余角相等，证得，最后在中计算即可求解． 【详解】解：连接，    ∵矩形，， ∴设，， ∵是中点， ∴， ∴ ∵，， 又∵折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·广东深圳·一模）在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为_________． 【答案】/2.5 【分析】在平行四边形中，由，可得出，根据是等边三角形，可得，，连接，作的平分线交于点，证明点在上运动，由，可得当取最大值时，的面积最大，由，，可得，可得，则可得，，则与重合时，最大，再证明是等边三角形，可得，则，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接，作的平分线交于点， ∵在平行四边形中，，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴平分， ∵平分， ∴与重合，即点在上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴当取最大值时，的面积最大， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴最大时，最大， ∵点在四边形的内部或边上， ∴当与重合时，最大， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴． 4．（2026·广东佛山·模拟预测）四边形如图所示． (1)尺规作图：分别在，，边上作点E，F，G，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线，再作线段的垂直平分线，分别交于、于、于，顺次连接A、E、F、G，由垂直平分线性质得四边相等，故四边形为所求菱形； （2）在菱形中，平分，故，再利用三角函数求出和，进而即可得，则可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵四边形是菱形，， ，， ， 又， ， ， 又，， ∴， 在中，， 同理可计算得：， ， ． 【点睛】本题融合尺规作菱形、菱形性质与解直角三角形，以四边形为载体，通过角平分线、垂直平分线构造菱形，结合直角三角形计算面积，考查几何作图与计算能力，体现转化与化归、数形结合的数学思想． 命题预测4：解直角三角形与其他三角形的结合 [常考题] 1．（2026·广东东莞·一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角． 【概念理解】 (1)根据概念，完成下列问题： ①如图1，是正度三角形，是正度角．若，则________； ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为________． 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是正度三角形，是钝角，是正度角时，存在的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点、是圆上的两点，弦与交于点．连接，，和都是正度三角形，且、分别为正度角时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据新定义进行列式计算，即可作答． ②根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）作，根据新定义可得，再证明，利用相似三角形的性质和锐角的正切的比例关系证明即可； （3）设，结合、分别为正度角，得出，，运用三角形内角和性质，得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵是正度三角形，是正度角，， ∴， 则， ②设正度角的度数为x． 根据题意可得：， 解得：， ∴正度角的度数为； （2）证明：如图1，作交于D， ∴， ∵是正度三角形，是钝角，是正度角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示： 设， ∵是正度角， 则 ∵是直径， ∴， 则， ∵是正度角， ∴在中，， ∵， ∴， 由内角和可得， 解得， ∴． 2．如图1，和是有公共顶点的两个三角形，在线段上，，． (1)【问题发现】如图2，若，，连接，则、的关系是 (请直接写出结果)． (2)【解决问题】如图3，如果，，，，且满足，连接，求的长．小明经过思考发现可以构造如图所示的图形解决问题，过点作，交的延长线于点，证明，从而求出的长．请你按照小明的思路求出长． (3)【拓展探究】如图4，在中，是直径，点为直径上方半圆上一点，，，若点也在上，且满足，直线与直线交于点，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）证明，得出，，进而可得，即可得出结论； （2）过点作于，根据，得出，则，证明，进而得出，，根据勾股定理，即可求解； （3）分两种情况讨论，当点与点在同侧时，如图，过点作于，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质可得，即可求得；当点与点在的异侧时，如图4-1，过点作于，同理可求，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 又，， ， ，， ， ， 综上所述，，； （2）如图，过点作于， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， （3）当点与点在同侧时，如图，过点作于， 是直径， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 或不合题意舍去， ，， ， ∴ ， ， ， ， 当点与点在的异侧时，如图4-1，过点作于， 同理可求， ， ， ∴ ， ， ， ， 综上所述：为或． 3．（2026·广东东莞·模拟预测）折叠凳是一种常见的便携式坐具，其支撑结构利用几何原理保持稳定．图1展示了一种折叠凳的实物图，图2是其结构示意图．已知，，，为凳面，处连接凳子靠背，凳脚为点和点，且．请求出靠背连接处点距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得，继而得到，，进一步得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴靠背连接处点距地面的高度为． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)的中点为； (2)①见解析；②的长为或或． (3)的值为． 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【详解】（1）解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （2）解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． （3）解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 5．（2026·广东·一模）根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．    素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如右图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，，．    素材二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面． 问题解决 (1)任务一 计算角度 当等于时，________． (2)任务二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围． (3)任务三 方案选择（从右侧的两种方案中选择一个作答即可） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即）为多少． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（答案可不用化简）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点F作，，由题意得，由此即可得出结果； （2）作于点N，延长交于点Q，分别求出当时，当时，的长度即可得出结果； （3）若选择方案一作答：当时，，要充分利用斜坡，则最后一排恰好落在B处，设电池板之间的最大间距为，则，求解即可； 若选择方案二作答：设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点E，则，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， 由题意得：， ； （2）解：作于点N，延长交于点Q， ①当时，则， ， ， ， ， ， ， ， ∴． ②当时，， 同理可得：，． （3）解：若选择方案一作答： ∵H在任意时刻均不能落在内， ∴最大，结合任务二中知：当时，， ∵要充分利用斜坡， ∴最后一排恰好落在B处， 设电池板之间的最大间距为，则， 解得：， ∴， 故在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即）为； 若选择方案二作答：如图，设新电池板的长度， 过点作水平线的垂线，交于点E，则 ∵H在任意时刻均不能落在内， ∴最大，即当时，最大， 同任务二可得：， ∵电池板与坡面保持不变， ， ∴，即， 解得， 由题意得：， 解得， 故原来长的电池板最大可以定制． 6．（2026·广东深圳·一模）综合与探究：菱形 中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度； (3)如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）证明，得，可证出，即可证明； （2）根据线段长度比较，可得，对等腰三角形的相等边进行分类讨论，结合相似三角形和三角函数求得对应的的长度； （3）由于的面积与的面积相等，得，通过相似三角形面积比为相似比得平方，可得出的临界值，得出最终结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ， 又∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，下面作分类讨论： ①， ∵， ， ∴， ∴， 此时， 连接，交于点，如下图所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②， 此时， ∴， ∴， 综上所述，或． （3）解：由菱形的对称性得：， 的面积与的面积相等， ∴， 当与，重合时，取得最大值， 所以， 当时，取得最小值， 所以， 综上所述． 命题预测5：解直角三角形的其他问题 [常考题] 1．（2026·广东佛山·模拟预测）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)放书后整个书架占地的宽约为 (3)会影响通行 【分析】（1）在中，由三角函数（正切）进行求解即可； （2）过点F作，交于点M，过点I作于点N，分别在和中，运用三角函数求出和，进而即可求解； （3）先算单个置物架突出桌面宽度：，两个共突出，剩余通行宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴在中， ； （2）解：如图，过点F作，交于点M，过点I作于点N． ∵，， ∴， 故 在中，，， 则． 在中，，， 则， ∴， ∴放书后整个书架占地的宽约为； （3）解：∵，，1米， ∴． ∴会影响通行． 【点睛】本题以桌边置物架为实际背景，融合解直角三角形的应用，通过构造直角三角形、分段计算求解实际尺寸，考查数学建模与运算能力，体现数形结合与转化化归的核心数学思想． 2．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处． 3．（2026·广东佛山·一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中，都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知，平分． (1)求证：． (2)现测得，坐垫点E在中管的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为．当时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)证明见详解 (2)车座点E到地面的距离为 【分析】（1）根据已知条件利用平行线的性质得出，再由角平分线定理推出，从而得出，进而证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，先根据已知条件证明是等边三角形，再由等边三角形的性质和角平分线定理得出，结合已知条件求出的长，再通过解30度直角三角形和勾股定理求出的长，从而得出结果． 【详解】（1）证明：∵，点M、C、D在同一直线上， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图，过点E作交于点F， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵后车轮圆心点D到地面的距离为， ∴车座点E到地面的距离为． 4．（2026·广东中山·模拟预测）综合与实践： 左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题： (1)点P与圆O的位置关系是： ； (2)求的长以及扇形的面积；（结果保留） (3)当时，求此时点P到直线的距离： (4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值． 【答案】(1)点P在圆O上 (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意判断即可得出结果； （2）由勾股定理可得，由垂径定理可得．再证明为等边三角形，得出，再由弧长公式和扇形面积公式计算即可得出结果； （3）连接，过点P作，垂足为D，由题意得，解直角三角形得出，求出， 再解直角三角形得出， 最后再由计算即可得出结果； （4）延长交于点C，则点C为最高点，由题意可得当点P在上，此时点P是切点，连接，则， 解直角三角形得出，，求出， ，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：点P与圆O的位置关系是：点P在圆O上， 故答案为：点P在圆O上； （2）解：∵在中， ， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为，扇形的面积； （3）解：连接，过点P作，垂足为D， 由题意得：， 在中， ，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴5秒后，点P到直线的距离是； （4）解：延长交于点C，则点C为最高点， ∵点P在上，且与相切， ∴当点P在上，此时点P是切点， 连接，则， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由知：， ∴， ， ∴， ∴当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，t的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、切线的性质、垂径定理、解直角三角形、弧长公式、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 5．（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时操作人员取盘手势不自然 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意连接，结合图形，分别在和中，求出、的度数，从而得到结果； （2）连接，过A点作于点H，在中，求出的度数，从而得到的度数，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合， ． （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中， ， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 6．（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，先求解，，再进一步求解即可. 【详解】解：由题意可得：，，米， ∴， ∵由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 7．（2024·广东·模拟预测）如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据： 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点，分别求出，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：如图，过点C作于点， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：可调节活动点 C到水平面的距离为． 命题预测6：解直角三角形的相关计算 [常考题] 1．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 2．（2026·广东深圳·一模）如图1，在锐角中，． (1)在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，如图2，连接的外接圆交于点，连接，若，求E的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）解法一：作的平分线得到，再作交AC于点；解法二：过点作的垂线交于点；解法三：作的平分线交于中点，再以为直径作圆交于点． （2）先证明则是的外接圆的直径．根据，设，则，由解得，得出,进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】（1）解法一：作的平分线得到，再作交AC于点． 如图，点即为所求．     解法二：过点作的垂线交于点． 如图，点即为所求．   解法三：作的平分线交于中点，再以为直径作圆交于点． 如图，点即为所求． （2）解：， ． ， ， ，     是的外接圆的直径． 连接， ， 是中点．    由， 设，则， 由解得，   ． ． 3．（2026·广东深圳·一模）定义：在平行四边形中，是平行四边形的对角线，点是平行四边形边上一点，分别连接，若满足，则称点为平行四边形的“共轭连接点”． (1)如图1，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，则___________； (2)如图2，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，，，求的长； (3)如图3，已知在矩形中，矩形的两邻边的之比为，点是矩形的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出___________． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②或． 【分析】（1）先解出，再证为等边三角形即可求解； （2）同（1）解出，再过作交于，可证得，求得，即，解出即可求解； （3）①延长，使得，再作的垂直平分线，以为直径作圆即可；②设，再分别在中，利用勾股定理，构建方程求解． 【详解】（1）解：， ， 在平行四边形中，, ，， ， ， ， ， ， 又， ，则为等边三角形， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）， ，， 又， ， 过作交于， ， 为中点，， 在中，， ， ， ； （3）解：①如图即为所求， 延长，使得， 在和中， ， ， ， 又为直角三角形， 则以为直径作，与交于点， 又圆的内接四边形对角互补， ， 即, 故即为所求； ②如图，不妨设，则，， ， 当在处时，连接， 设，则， 为直径， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， 此时， 同理可得， 综上，或． 4．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图像经过定点，定点坐标是 (2)①；②见解析 (3)t的取值范围为或或 【分析】（1）将二次函数整理为，令含的系数，解得，代入得，故函数恒过定点，即可判断； （2）①由为直径得，由相似三角形的性质可得，即，得，即可求出解析式；②由角度推导得全等条件，即可证明； （3）由半径为，，可得圆心到三边的最小距离为，分别计算到、的距离，结合到距离已满足，得的取值范围． 【详解】（1）解：此二次函数图像经过定点，定点坐标是． 理由如下：由题意得，， 当，即时，的值与无关， 此时，即图像经过定点； （2）解：①令，即， ， 是圆的直径， ， 又， ， ， ， ， ， 依题意，， ， 二次函数的表达式为； ②点是的中点，， ， ， ， ， ，， ， ∵， ， ，， ； （3）解：令， 解得，， ，， 令得， ； 的圆心为，半径为， 点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即； 设圆心到三边的最短距离为， ，即圆上到的最小距离为， 又∵的半径为，即， ∴圆心到、、三边的最小距离为， 当到的最小距离为时，过作于，设直线交于，则， ， ， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 当时，， 解得， ， ， ， ， 解得， 同理求得当到的最小距离为时，， 当，的取值范围为或或． 5．（2026·广东深圳·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． (1)【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．求： ①四边形_____（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为_____．的度数为_____． (2)【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线，过点作直线的垂线，垂足为点，连结，若，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)①是；②， (2) (3)或 【分析】（1）①点是的中点，可知，即可证明；②根据三角形的外角定理可求解； （2）由题可知，可得，根据勾股定理可得，进而可得面积； （3）分类讨论，①当,由平行线可知，根据锐角三角函数可知，，②当,设，则， 根据锐角三角函数即可求解 【详解】（1）解：①∵,点是的中点， ∴, ∵,点是的中点， ∴, ∴ ∴四边形是腰分双等四边形； ②由题可知，， ∴,, , , , ∴, （2）解：连接，过点作, 由题可知，, 设，, ∴， ∴,, ∴ ∵, ∴, , ∴, ∴ ∵, ∴, ∵， ∴, ∴ ∴, , ∴, （3）解：①当, 过点作, ∴， ∵ ∴, , ∵ ， ∴, ， ∴, 由（2）同理可得，, , ∴， ∴, , ∴, ②当, 过点作,, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵ ∴, ∴ ∴ ∴, ∴, ∵ ∴, 设，则， ∴， , ∴， 解得： ∴． 6．（2025·广东韶关·二模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式 (2)当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为 (3)当时，正方形的最小面积为0.9，此时点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，图形的旋转； （1）根据题意得到点的坐标，设直线的解析式为；把点的坐标代入解析式计算即可；求出点的坐标为；设抛物线的解析式为；把点的坐标代入解析式，解得即可求出； （2）根据勾股定理求出，当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出，得到，得到，当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出；得到；得到；即可求出结果； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为；得到，得到；根据三角函数得到，；求出，，得到；结合勾股定理表示出，结合面积公式得到，得到当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9；根据，；即可求出结果． 【详解】（1）解：∵矩形的边， 且绕原点顺时针方向旋转，得到矩形； ∴点的坐标分别为；    设直线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：    解得： ∴直线的解析式为；           ∵点是直线与轴的交点，令； 解得：； ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于两点； ∴设抛物线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：； 解得：； ∴抛物线的解析式为； 即； （2）解：∵点的坐标为； ∴； ∴，； ∴在中，， 在中，；   当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                       ∴； ∴；                               当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                      ∴； ∴；                            ∴当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为； （3）解：由题意得：，其中； 过点分别作的垂线，垂足分别为； ∵； ∴； ∴； ∴， ； ∴，； ∴，； ∴；        ∴在中，； ∴；          ∵，且； ∴当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9； 此时，，；即点坐标为． ∴当时，正方形最小面积为0.9，此时点坐标为 7．（2025·广东韶关·二模）【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当在直线上运动，时，或 【分析】（1）根据对称得到垂直平分；得到，证出；得到，根据菱形性质得到，根据；得到；求出；即可证出结论． （2）结合（1）得到四点共圆，得到；结合菱形性质；证出，得到，得到；即可证出结论； （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理求出；②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理，再证出，求出即可． 【详解】解：（1）证明：∵点关于直线对称； ∴垂直平分； ∴；          又∵； ∴； ∴；             ∵四边形为菱形； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴              （2）证明：∵； 由（1）得：； ∴； ∴四点共圆；   ∵和是同弧所对圆周角； ∴； ∵在四边形中， ，且； ∴； ∵四边形为菱形； ∴，； ∴，； ∴； 又∵； ∴；     ∴，即；   ∵，； ∴； ∴； ∴                      （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点； ∵； ∴； ∴，； ∴； ∴在中，； 由（2）得：，即； ∴；                        ②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；如图所示： ∵； ∴，； ∴； ∴在中，； 同（1）可证：，且和都是同侧所对； ∴四点共圆； ∵和是同弧所对圆周角，和是同弧所对圆周角； ∴，； ∴； ∴；              ∴，即； ∴； 综上所得，当在直线上运动，时，或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握四点共圆及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 命题预测7：三角函数综合 [三地高频] 1．（2025·广东江门·一模）综合运用 如图，直线分别交x轴，y轴于点点分别在直线轴负半轴上运动，且始终满足.连接，交y轴于点E.以为斜边构造等腰直角三角形，且点按顺时针方向排列，连接点C的横坐标为． (1)分别求的长． (2)若点在线段上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据直线分别交x轴，y轴于点得到，继而求得，． （2）过点C作于点G，作于点H，得四边形是矩形，再证明，借助，，分三种情况，列出等式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于点 当时，；当时，； ∴，， ∴，． （2）解：过点C作于点G，作于点H， 四边形是矩形， ∴，，， ∵点在线段上，且横坐标为，直线解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ∵点在线段上， ∴， ∴舍去， ∴， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵点在线段上， ∴， ∵在的内部，且是锐角， ∴小于， ∴是锐角， ∴此时不符合题意， 综上所述，符合题意的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握性质，勾股定理，三角函数的应用，相似是解题的关键． 2．（2024·广东中山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点，过点F作轴于点N，交于点． ①当时，求点F的坐标； ②试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1) (2)①；②正方形，证明见解析 【分析】（1）根据题意，得，确定a，c的值即可求该抛物线的表达式； （2）①过点作轴于点，则轴，，根据，利用三角函数，建立等式构造方程解答即可． ②根据即，且，得到，列出等式计算即可． 本题考查了待定系数法，三角函数，比例性质，熟练掌握待定系数法，灵活应用三角函数是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）如图过点作轴于点，则轴，， ， ， ， 由， 解得 设点 ， ， ， 解得， ， ． ②四边形为矩形， 轴， ∴即，且， ， 即， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当，即时，， 时，矩形为正方形． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，在矩形中，，，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点Q运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接，设点P运动的时间为ts． (1)如图1，在点P、Q运动过程中． ①点P与点D的最短距离为_________；②当时，t的值为_________； (2)作，与边相交于点E，连接，延长交边于点F． ①求的正切值（用含t的代数式表示）； ②如图2，当时，试探究线段、、三者之间的等量关系，并加以证明； ③如图3，连接，若平分，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)①；②，证明见解析；③ 【分析】（1）①根据垂线段最短，得到当时，最短，根据勾股定理得到，利用直角三角形的面积公式解答即可； ②根据题意，得，则，结合，得到，列出比例式解答即可． （2）①过点Q作于点M，计算，，计算，，结合解答即可； ②连接，当时，根据题意，得，则， 得，证明，得，利用勾股定理解得即可； ③设与的交点为O，证明，结合， 解得，利用三角形相似的判定和性质解答即可． 【详解】（1）①根据垂线段最短，得到当时，最短， ∵矩形， ∴，，, ∴， ∴， 故答案为：； ②根据题意，得，则，∵， ∴， ∴， 解得； 故答案为：． （2）①过点Q作于点M， ∵矩形， ∴，，, ∴， ∴，， 根据题意，得，则 ∴，， ∴， ∴； ②线段、、三者之间的等量关系为，理由如下： 连接，当时，根据题意，得，则， ∴， ∵矩形中， ∴，，, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ③设与的交点为O， 根据题意，得，则， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， ∵, ∴， ∴， ∴的值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键． 4．（2024·广东江门·二模）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得到，，结合垂直平分，得到，根据，计算，根据三角形的面积公式，计算即可． （2）根据在中，，为边上的高，得，作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E，计算即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，线段的垂直平分线，熟练掌握勾股定，三角函数是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在中， ∵，为边上的高， ∴， 作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， ∴，， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $