专题05 方程、不等式、函数的应用问题（复习讲义）(广东专用)2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 方程、不等式、函数的应用问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 一次方程的实际应用 题型二 分式方程、一元二次方程的实际应用 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 题型四 一次函数的实际应用 题型五 二次函数的实际应用 必备知识 知识1 一次方程的建模与应用 知识2 分式方程、一元二次方程的建模与应用 知识3 一元一次不等式（组）的建模与应用 知识4 一次函数的建模与应用 知识5 二次函数的建模与应用 命题预测 预测1 一次方程的实际应用 [广东省卷2025年17题/深圳2025年16题] 预测2 分式方程的实际应用 [2024年省卷16题/广州高频] 预测3 一元二次方程的实际应用 [两年必考] 预测4 一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 预测5 一次函数的实际应用 [两年必考] 预测6 二次函数的实际应用 [深圳、广州高频] 预测7 一次函数与方程组 [广州2025年22题] 预测8 二次函数与不等式的综合应用 [常在压轴题中涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 方程（组）模型 2025：T7（一元二次方程——平均增长率） 2024：T6（一元一次方程——汽车交付） 2025：T22（分式方程——机器人采摘） 2024：T6（一元一次方程——汽车交付） 2025：T7（分式方程——植树问题） 2024：T7（二元一次方程组——住店问题） 不等式模型 2025：无 2024：T12（不等式组解集——数轴表示） 2025：T17（解不等式组——数轴表示） 2024：T4（不等式基本性质） 2025：T15（解一元一次不等式组）、T17（一元一次不等式——采购方案） 2024：T17（一元一次不等式——电梯运输方案） 一次函数模型 2025：T8（函数图象识别——电动车续航） 2024：无 2025：T23（一次函数拟合——身高脚长） 2024：无 2025：T17（一次函数——采购费用最值） 2024：T17（一次函数——购物车车身长度） 二次函数模型 2025：T18（抛物线型悬索桥）、T20（利润最值——荔枝销售） 2024：T20（利润最值——荔枝销售） 2025：T24（抛物线型隧道——限高问题） 2024：无 2025：T19（排队问题——二次函数最值） 2024：T19（抛物线开口大小测量） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“实际应用与数学建模”板块将继续以中档题为主，常出现在解答题的前半部分或选择题、填空题中。 · 方程模型：一元一次方程、分式方程、一元二次方程（增长率问题）是高频考点，题目背景贴近生活（如汽车交付、植树、机器人采摘等）。 · 不等式模型：主要考查一元一次不等式（组）的解法及其在实际问题中的应用（如采购方案、运输方案等）。 · 一次函数模型：常与方案选择、最值问题结合，有时也通过函数图象识别实际情境（如电动车续航）。 · 二次函数模型：是重中之重，主要考查利润最值、抛物线型隧道/拱桥、排队问题等，需要建立坐标系并利用待定系数法求解析式，或通过二次函数顶点式求最值。 2. 备考建议 · 熟练掌握各类方程（一元一次、分式、一元二次）的解法，并能根据实际问题中的等量关系正确列出方程。 · 理解不等式（组）的解集意义，能在实际问题中确定变量的取值范围，并据此进行方案选择或最值判断。 · 掌握一次函数和二次函数的建模方法，特别是利润最值问题（二次函数顶点式）和抛物线型实际问题（建立坐标系，待定系数法求解析式）。 · 培养数学建模意识，能从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学知识解决问题，同时注意答案的合理性和实际意义（如整数解、取值范围等）。 · 加强实际背景题的阅读训练，快速提取关键信息，排除干扰条件，准确建立方程或函数关系。 题型一 一次方程的实际应用 1. 找准题目中的等量关系，合理设未知数，列一元一次方程求解。 1. 解完后检验结果是否符合实际场景，如非负数、整数等要求。 1．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：， 故选：A． 2．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． (1)求A，B玩具的单价； (2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元； (2)最多购置100个A玩具． 【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元； 由题意得：； 解得：， 则B玩具单价为（元）； 答：A、B玩具的单价分别为50元、75元； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个， 由题意可得：， 解得：， ∴最多购置100个A玩具． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系． 题型二 分式方程、一元二次方程的实际应用 1. 分式方程求解后，既要检验是否为增根，又要验证是否符合实际。 2. 一元二次方程根据题意列式，计算后舍去负数、超出范围的不合理根。 1．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 3．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 抓住“至少、至多、不超过”等关键词，正确列出不等式。 2. 求出解集后，按实际要求取整数解，方案类问题逐一列举可行方案。 1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 2．（2024·广东深圳·中考真题） 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次，求：共有多少种运输方案？ 【答案】任务：；任务：一次性最多可以运输台购物车；任务：共有种方案 【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了辆购物车，是车身总长，即可作答； 任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答； 任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次”，列式，再解不等式，即可作答． 【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ 任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车， 令， 解得： ∴一次性最多可以运输辆购物车； 任务3：设次扶手电梯，则次直梯， 由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次 可列方程为：， 解得：， ∵为整数， ∴， 方案一：直梯次，扶梯次； 方案二：直梯次，扶梯次； 方案三：直梯次，扶梯次； 方案四：扶梯次． 答：共有四种方案. 3．（2023·广东清远·中考真题）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元. （1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？ （2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电.已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？ （3）电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）2500元；（2）方案一：购进A型号彩电7台、B型号彩电13台；方案二：购进A型号彩电8台、B型号彩电12台；方案三：购进A型号彩电9台、B型号彩电11台；方案四：购进A型号彩电10台、B型号彩电10台；（3）当购进A型号彩电7台、B型号彩电13台时，电器城获得的利润最大，最大利润为5300元 【分析】（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是a元，根据两年四月份卖出彩电的数量相同，列方程求解； （2）设A型号彩电购进x台，则B型号彩电购进（20-x）台，购进共需1800x+1500（20-x）元，根据购进的资金范围，列不等式组求解； （3）设A型号彩电购进x台，则B型号彩电购进（20-x）台，则利润w=（2000-1800）x+（1800-1500）（20-x），根据一次函数的增减性求最大利润． 【详解】解：（1）设去年四月份每台A型号彩电售价元，依题意： 解得：. 经检验，是原方程的解. ∴. 答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元.     （2）设电器城在此次进货中，购进A型号彩电台，则B型号彩电台，依题意： 解得：. 由于只取非负整数，所以，8，9，10. 所以电器城在此次进货中，共有4种进货方案，分别是： 方案一：购进A型号彩电7台、B型号彩电13台； 方案二：购进A型号彩电8台、B型号彩电12台； 方案三：购进A型号彩电9台、B型号彩电11台； 方案四：购进A型号彩电10台、B型号彩电10台.    （3）设电器城获得的利润为元，则与的函数关系式为： ∵，随的增大而减小，且，8，9，10. ∴当时，可取得最大值，. 因此，当购进A型号彩电7台、B型号彩电13台时，电器城获得的利润最大，最大利润为5300元 题型四 一次函数的实际应用 1. 先根据题意求出一次函数解析式，并确定自变量取值范围。 2. 利用k的正负判断增减性，以此求最值或选择最优方案。 1．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 2．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)选甲家商店能购买该水果更多一些 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【详解】（1）解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． 3．（2024·广东深圳·中考真题）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；（2）第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元． 【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据题意列方程组解答； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，列出函数关系式再根据函数的性质解答即可. 【详解】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得： . 解此方程组得：. 答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则 ， ∵k=2>0， ∴W随t的增大而增大， 由题意，解得， ∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润, 答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数解决实际问题，一次函数的性质，正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键. 题型五 二次函数的实际应用 1. 建立二次函数模型，一般化为顶点式更方便求最值。 2. 结合开口方向与自变量范围，在顶点或端点处取最值，结果要符合实际。 1．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 3．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；      (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 4．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 知识1 一次方程的建模与应用 适用类型：一元一次方程、二元一次方程组 解题步骤：审题找等量→设未知数→列方程→求解→检验合理性→作答 常考题型：和差倍分、行程问题、工程问题、配套问题、利润问题 核心：抓住相等关系列方程；方程组用代入/加减消元求解，结果需符合实际意义。 知识2 分式方程、一元二次方程的建模与应用 分式方程 常考题型：工程效率、行程速度、商品单价、浓度问题 步骤：列分式方程→化为整式方程求解→双重检验（分母≠0、符合实际） 关键：使分母为0的根是增根，必须舍去。 一元二次方程 常考题型：增长率问题、图形面积、商品利润、传播/握手问题 核心公式： 增长率：；利润：售价成本销量总利润 关键：求解后舍去负数、超出实际范围的根。 知识3 一元一次不等式（组）的建模与应用 关键词：至少、至多、不超过、不少于、不足、非负等→转化为不等关系 解题步骤：设未知数→列不等式（组）→求解集→确定符合实际的解（多为正整数） 常考题型：方案设计、物资分配、购物预算、生产限额 关键：乘除负数时不等号变向；结果取整数解，验证是否满足所有限制条件。 知识4 一次函数的建模与应用 模型：，先由已知点用待定系数法求解析式 常考题型：费用计费、行程距离、套餐选择、最优方案比较 核心规律： · ① 递增，递减； · ② 给定区间内，最值在端点处取得； · ③ 分段函数需分段讨论、比较取值。 关键：确定自变量的实际取值范围。 知识5 二次函数的建模与应用 模型：，常结合顶点式 求最值 常考题型：抛射运动高度、矩形最大面积、商品销售最大利润 核心规律： · ① ，顶点取最小值；，顶点取最大值； · ② 若对称轴不在自变量范围内，最值在区间端点取。 关键：结合实际限制条件确定范围，验证顶点最值是否有效。 命题预测1：一次方程的实际应用 [广东省卷2025年17题/深圳2025年16题] 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是______． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是______号． 【答案】 ，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的方框内的四个数分别为，，，，根据题意列出方程求出可得出这四个数；设个星期日对应的数分别为，，，，，根据题意列出方程求出进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设正方形的方框内的四个数分别为，，，， 由题意得，， 解得， ∴四个数分别为，，，， 设个星期日对应的数分别为，，，，， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个月中最后一个星期日是号， 故答案为：，，，；． 2．（2026·广东深圳·一模）氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（   ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据化合物化合价代数和为0的规则，先设未知数，再列方程求解，即可得到结果． 【详解】解：设氢元素的化合价为， ∵化合物中各元素正负化合价代数和为，且中钠、氧、氢各有个原子，钠元素化合价为，氧元素化合价为， ∴列方程得：， 解得：， 故氢元素化合价为， 3．（2026·广东佛山·一模）【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 【答案】(1)50名 (2)需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠 【分析】（1）设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元），根据“选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元”建立一元一次方程求解； （2）根据丙旅行社的优惠规则，需要先收集参加非遗宣讲的人数，再分情况计算丙的总费用，和甲乙的总费用比较后即可得到最优惠的选择方案． 【详解】（1）解：设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元） 由题意得： 整理得： 解得： 答：该班有50名同学． （2）解：当时， 甲旅行社总费用：（元）； 乙旅行社总费用：（元） 丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关， 因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数． 设参加非遗宣讲活动的人数为m，该班总人数为50，全班人数的半数为25， 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社； 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社． 答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠． 4．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 【答案】(1)温水和开水混合后共毫升水 (2)这杯水混合后的水温为；小康接开水的时间至少是秒． 【分析】（）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）设小康同学接了温水，则接了开水，根据题意得，解得，求出小康同学接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温； 设小康接开水的时间是秒，由题意列出不等式，即可． 【详解】（1）解：， 答：此时温水和开水混合后共毫升水； （2）解：设小康同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴小康同学接了温水，开水， ∴这杯水混合后的水温为； 设小康接开水的时间是秒，由题意得： ， 解得：， ∴接开水的时间至少是秒． 5．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 【答案】(1)；或； (2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可解答； （2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解； ②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解； ③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：反比例函数 ，， 函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，y的取值范围是； 当时，， 当时，x的取值范围是或； 故答案为：；或； （2）解：①设 将，代入， 得， 解得， ∴； ②设销售利润为，则 依题意得，， ∵， ∴在时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元． ③∵降雪量为毫米， ∴原售价为44元， ∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋； 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则 依题意得，， 解得， 答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 命题预测2：分式方程的实际应用 [2024年省卷16题/广州高频] 1．（2026·广东深圳·一模）某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总零件数和人数分别表示出原计划与实际的平均每人生产零件数，再根据题目给出的数量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划人数为y人，则实际人数是， 根据题意得． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 3．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1) 2.2元 (2) 购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元 【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可. 【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得： ， 解得 ， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 则第二批单株进价为（元）； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ； ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 ， （株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元. 4．（2026·广东茂名·一模）五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． (1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 【答案】(1)B种花卉的单价 (2)A种花卉单价24元，B种花卉单价30元 (3)共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝 【分析】（1）根据所给方程及题目条件可得答案； （2）设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，根据每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元列出分式方程求解； （3）设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝，根据学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买）列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍，可知代表B种花卉的单价； （2）解：设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 元，元， 所以A种花卉单价24元，B种花卉单价30元； （3）解：设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝（m，n均为正整数），根据题意得： ， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求． ∴共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝． 5．（2026·广东·一模）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元． (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ (2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】(1)A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； (2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设B型玩偶的单价为x元，则A型玩偶的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设小江购买A型玩偶a个，则B型玩偶个，购买费用为w元．根据题意得，解得，再求出关于的关系式，结合一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设B型玩偶的单价为x元，则A型玩偶的单价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根，且符合题意， ， 答：A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； （2）解：设小江购买A型玩偶a个，则B型玩偶个，购买费用为w元． 根据题意得 ， 由题意可得：， ， ∴w随a的增大而增大 又∵a为正整数， 时，w取最小值． 元． 答：小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 6．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 (2)道路宽度为 【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 27．（2026·广东深圳·一模）根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相．寓意喜气洋洋，其乐融融． 图片 素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元． 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同． 素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完． (1)“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ (2)若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值． 【答案】(1)每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”玩偶的进价为90元 (2)；2700 【分析】（1）设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元，根据用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同列，列分式方程求解即可； （2）根据题意列出，由一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元， 则 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元； （2）解：根据题意得：， 根据题意可得：， 解不等式得：， ∵， ∴W随着a的增大而减小， ∴当时，才能使总利润最大， 最少费用是（元）， 此时（套）， 答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元． 7．（2026·广东深圳·一模）2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品 (2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件 【分析】（1）设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，根据题意列出函数关系式，先求得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （件）． 答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件， 根据题意得：， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 最大取20， 当时，取得最大值，为（件）， 此时（天）． 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件． 命题预测3：一元二次方程的实际应用 [两年必考] 1．（2026·广东广州·模拟预测）某智能电桩充电公司2024年第一季度净利润为100万元，第三季度净利润增长到144万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该公司第二、三季度的季均增长率均为， 根据题意得，． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取数据列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意得 ． 3．（2026·广东佛山·一模）某校901班学生初一时有2人次获市级荣誉，之后逐年增加，到初三毕业时，三年累计获奖共23人次．若设该班在初二、初三年级获得市级荣誉人次的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出三年各年的获奖人次，再根据累计总人次列方程即可． 【详解】解：∵初一获奖人次为2，平均年增长率为x， ∴初二获奖人次为， ∴初三获奖人次为， ∵三年累计获奖共23人次，即三年获奖人次总和为23， ∴可列方程． 4．（2024·广东·模拟预测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【答案】(1)一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 (2)四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，读懂题意是解题的关键． （1）根据变化前数量变化后数量，列出方程求解即可． （2）根据（1）中月平均增长率，先求出四月份新建智能充电桩个数，再作差求出下半月新建智能充电桩个数，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得（负值已舍去）， 故一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：∵（个）， （个）， （个）， ∴四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个． 5．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 【答案】(1)这个花圃的长为10米，宽为8米 (2)购进A种树苗棵， B种树苗棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论． （2）设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据购进A，B两种树苗共17棵，刚好用去1220元列出二元一次方程组，求解方程组即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得：， 整理，得： 解得． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． （2）解：设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， 答：购进A种树苗棵， B种树苗棵． 6．（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【答案】(1)这两次技术改造日产量的平均增长率为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、几何体的三视图，掌握相关知识点是解题的关键． （1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，根据题意列出方程，求出x的值即可解答； （2）由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为，据此求出盲盒的表面积即可． 【详解】（1）解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为． （2）解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为， ∴盲盒的表面积， 答：此类盲盒的表面积为． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克． (1)如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？ (2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？ 【答案】(1)每千克售价为40元 (2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为44元 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，熟知二次函数的性质、一元二次方程的求解． （1）设每千克降价为x元，根据题意列出方程求解即可； （2）设每天的利润为，根据题意列出函数关系式求解即可； 【详解】（1）解：设每千克降价为x元， ， 解得：或， 售价为元或元， 又为使顾客得到更大的优惠， 每千克售价为40元． （2）解：设每天的利润为， 由题意，结合（1）可得，， ， 又， 当时，每天的利润取得最大值，最大值为49000元． 要使每天的利润取得最大值，每千克售价为元． 命题预测4：一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 1．（2026·广东深圳·一模）某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列出不等式，先找出气温与海拔高度的关系，再结合杜鹃花适宜生长的气温条件列出不等式即可． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，那么海拔上升了， 则气温下降的度数为，此时的气温为， 由于杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡， 因此，可列出的不等式为：． 2．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【分析】（）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 3．（2024·广东汕头·一模）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． (1)求每套《什么是数学》的价格； (2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 【答案】(1)50元 (2)《古今数学思想》最多能买20套 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套建立方程求解即可； （2）根据（1）所求可求出《古今数学思想》的价格，设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据购买费用不超过4000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元， 根据题意得：60， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格是50元； （2）解：由（1）可得：每套《古今数学思想》的价格是2．5×50＝125（元）， 设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》， 根据题意得：， 解得， ∴m的最大值为20． 答：《古今数学思想》最多能买20套． 4．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 【答案】(1)购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元 (2)至少买乙种快餐20份 【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元； （2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份， 依题意得：， 解得：． 答：至少买乙种快餐20份． 5．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元， 则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， （台）． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 命题预测5：一次函数的实际应用 [两年必考] 1．（2026·广东深圳·一模）如图，某饮水机在水温时开始通电加热，水温每分钟上升，当水温上升到时自动停止加热，此过程中水温与通电时间满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至时，饮水机再次自动加热，此过程中水温与通电时间成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据初始水温与升温速度，求出加热阶段的一次函数，代入算出停止加热的时间为分钟；再设降温阶段的反比例函数，代入点求出，确定降温函数；最后代入算出水温回到的时间为分钟，得出从通电加热到首次自动加热的总时长为分钟． 【详解】解：由图可得：初始水温为（通电时间时，），水温每分钟上升， ∴加热阶段的一次函数为， ∵当水温达到停止加热， ∴代入得：， 解得， 即停止加热时，通电时间为， ∴得到反比例阶段经过的点， 降温阶段与成反比例，设反比例函数为， 代入点得， 即反比例函数为， 当水温降到时，饮水机开始首次自动再次加热， 代入得：， 解得， 因此从通电加热到首次自动加热所经历的时间为． 2．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)①；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得； ②利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) 甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元 (2) 购买甲种奖品件，乙种奖品件时总费用最少，最少总费用为元 【分析】（）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可； （）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 先根据题意列出不等式，求出的取值范围，再求出总费用关于的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 故甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元； （2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 依题意可得：， 解得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵且m为正整数， ∴当时，， (元)， 答：当学校购买件甲种奖品，件乙种奖品时，花费最少，最小费用为元． 4．（2024·广东深圳·三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 (2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； （2）解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 5．（2024·广东·模拟预测）如图是某企业职工养老保险个人月缴费元，随个人月工资百元变化的图象． ‍ (1)张工程师月份工资元，这个月他应缴养老金多少元． (2)李师傅月份缴养老金元，他这个月工资多少元． 【答案】(1)张工程师五月份工资元， 这个月他个人应缴养老保险元 (2)李师傅五月份的个人工资是元 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、一次函数的应用． （1）直接利用函数图像解答即可； （2）设工资在和之间所交养老保险金的函数关系式为，列方程组解答即可．此题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用． 【详解】（1）解：根据图象可知当时，， 即张工程师五月份工资元， 这个月他个人应缴养老保险元． （2）设工资在和之间所交养老保险金的函数关系式为， 则， 解得：， ， 当时，， 解得， 所以李师傅五月份的个人工资是元． 命题预测6：二次函数的实际应用 [深圳、广州高频] 1．（2026·广东深圳·一模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，面积差的最大值为 (3)的值为或 【分析】（1）根据题意表示出，，然后利用矩形面积公式分别求解即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； （3）解：水池1与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 或， 解得，或． 2．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【答案】(1) (2)①，280元；②当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大 【分析】（1）由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，即可设销售额与销售单价之间的关系式为，再代入求解即可； （2）①利用即可求解销售数量与销售单价之间的关系式，再由每件利润乘以销售数量即可求解单价为18元/个时的销售利润； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，由①得，销售数量，由建立起二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为， 设销售额与销售单价之间的关系式为， 将代入得， 解，得， 销售额与销售单价之间的关系式为； （2）解：①由（1）得， 由题意得，， ， 销售数量与销售单价之间的关系式为， 当时，销售利润为（元）； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元， 由①得，销售数量， ， 此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数， ，且， 当时，取得最大值， 当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大． 3．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 4．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 隧道限高问题 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 工具 皮尺、标杆等 测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆． 测量数据 测量项目 数值 矩形的尺寸 长，宽； 标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为； 问题解决 (1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离； (2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过． 【答案】(1)，隧道最高点P到路面的距离为 (2)大货车可以安全通过，理由见解析 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，设函数表达式为，根据题意，得点的坐标为，，利用待定系数法求解即可； （2）隧道内设双向行车道，求出纵坐标与作比较即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图： 设函数表达式为， 根据题意，得点的坐标为，， 代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：， 当时，， ∴隧道最高点P到路面的距离为； （2）解：大货车可以安全通过，理由如下： 隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道， ∴当时，， ∴这辆大货车能安全通过这个隧道． 5．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2)这个小组的猜想是正确的，见解析 (3)或 【分析】（1）由题意得，，即抛物线表达式为，将代入即可求出； （2）由题意得，，将代入抛物线表达式得：，得到； （3）由题意得，则，，分两种情况进行讨论，当时，易得点不在轴下方，抛物线在对称轴处有最小值；当时，易得点在轴下方，当时，随的增大而减小，抛物线在处有最小值． 【详解】（1）解：由题意得，，顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）， 则，， 抛物线表达式为（其中为常数，）， ， 将代入，可得， 解得； （2）由题意得，， 将代入抛物线表达式得：， ， ， ， ， 这个小组的猜想是正确的； （3）由题意得，则，， ， 由（2）可知， （i）当时，可得，点不在轴下方， 抛物线在对称轴处有最小值， 即当时，， ， ； （ii）当时，可得，点在轴下方， ， 当时，随的增大而减小， 点在轴下方， 抛物线在处有最小值， 即当时，， ， 解得； 综上所述，或． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)无人机升至某高度时需向右移动 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入计算即可得出结果； （2）求出点的坐标为，由二次函数的平移规律可得向右移动后的表达式为，代入计算即可得出结果； （3）当时，，，求出，即可得出无人机升至某高度时需向右移动，设顶点向右平移米，则，，当时，，，表示出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为， 代入得， 解得：， ∴此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∵向右移动后的表达式为， ∴代入可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴信息3中移动距离的值为； （3）解：当时，，， ∵， ∴无人机升至某高度时需向右移动， 设顶点向右平移米，则，， 当时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴无人机升至某高度时需向右移动． 命题预测7：一次函数与方程组 [广州2025年22题] 1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 2．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意； B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象得：当时，，故本选项符合题意； D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（2024·广东·模拟预测）某校为培养学生劳动意识，将劳动课正式设为一门独立课程，其中日常生活劳动分为四类：A清洁与卫生，B整理与收纳，C烹饪与营养，D家用器具使用与维护．学校对学生最喜欢的劳动类型进行了调查，每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据：A B B B C A B D A B B D B C B B C B C C，将调查结果绘制成如图1所示的不完整的统计图．            请根据统计图解答下列问题： (1)在本次调查中，选择C类的女生有________名，选择D类的男生有________名；补全条形统计图． (2)如图2，学校从被调查的学生中选出2名同学去离学校的博览会作为志愿者，分别表示甲、乙两名同学离学校的距离与时间之间的函数关系，那么当甲、乙两人相遇时，他们距离学校多远？ 【答案】(1)2，1．补全的条形统计图见解析 (2)距离学校 【分析】本题考查了统计图表的解读与数据计算、一次函数的解析式求解及交点的实际应用。解题的关键是：（1）利用调查总人数与各类别已知人数的关系计算未知数据，补全条形统计图；（2）根据函数图象上的点坐标求一次函数解析式，通过联立解析式求交点，得出相遇时距离学校的距离。 （1）从条形统计图中直接读取选择C类的女生人数；根据总调查人数为20，用总人数依次减去A、B、C、D各类中已明确的男女生人数，计算出选择D类的男生人数，进而补全条形统计图； （2）先判断（甲的距离-时间函数）为一次函数、（乙的距离-时间函数）为正比例函数，分别利用图象上的点坐标求两者的解析式；联立两个解析式求解方程组，得到交点的纵坐标，即相遇时距离学校的距离。 【详解】（1）解：从图1可知，C类的女生有2名． ∵每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据， ∴被调查学生的总人数为20人， ∴D类的男生有（人）． 故答案为：2，1． 补全的条形统计图如下． （2）设的解析式为． 将点，代入，得 解得 ∴的解析式为． 设的解析式为．将点代入，得． ∴的解析式为 将与的解析式联立，得 解得 答：当甲、乙两人相遇时，他们距离学校． 4．（2024·广东清远·模拟预测） 与的图象交于点M，设点M的坐标为，求边长分别为 m、n的矩形面积． 【答案】8 【分析】本题考查了两直线的交点，矩形的面积．熟练掌握两直线的交点，矩形的面积是解题的关键． 联立得，可求，则点M的坐标为，即，进而可求矩形的面积． 【详解】解：联立得， 解得， ∴点M的坐标为，即， ∴， ∴边长分别为 m、n的矩形面积为8． 命题预测8：二次函数与不等式的综合应用 [常在压轴题中涉及] 1．（2025·广东广州·二模）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可． 【详解】解：函数和的大致位置如图： 根据图形可得函数和交点的横坐标， ∴的解， ∵a是方程的实数根， ∴， 故选：A ． 2．（2026·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值； (3)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线中，求出待定系数即可； （2）先证明，得到，将求的最大值转化为求的最大值．设点的坐标，根据轴得到点的坐标，进而用含的代数式表示出的长度，构造二次函数并求其最大值，从而得到的最大值； （3）先求出原抛物线沿轴翻折后的型函数解析式，再写出直线向上平移个单位后的直线解析式．通过分析直线过点、点的临界情况，以及直线与翻折后抛物线相切的临界情况，来确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，其中， ∵轴，点在直线上， ∴， ∴， ∵二次函数的开口向下，对称轴为， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为； （3）解：中， 取，得， 解得：，， ∴， ∵， ∴沿轴翻折后的解析式为， 设直线向上平移个单位得到直线为， 如图，当直线过点时， ， ∴； 当直线过点时，如图， ， ∴； 当直线与翻折后的抛物线相切时，如图， ， ∴， ∴， 解得：， ∴的取值范围为或． 【点睛】忽视点在第四象限，需注意在自变量的取值范围内求最值． 3．（2025·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线G：过点，顶点B不在第四象限． (1)用含a的式子表示b； (2)连接，求面积的最小值及此时点B的坐标； (3)经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当时，都成立，结合图象，求t的最大值． 【答案】(1) (2)面积的最小值为2，此时 (3)t的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， （1）将点代入关系式，整理得出答案； （2）根据顶点B不在第四象限可得a的取值范围，再作轴交于点H，接下来求出直线的解析式，可得点，进而表示出，然后根据，最后结合a的取值范围得出答案； （3）由（2）知,再分两种情况：①当，可得，进而得，然后根据a的取值范围可得，即可得出最大值； ②当，即时，结合得出最大值，最后比较得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴； （2）解：， ∴． ∵顶点B不在第四象限， ∴， 解得， 过点B作轴交于点H， 设直线的解析式为，代入点， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴面积的最小值为2，此时； （3）解：由（2）知； ①当，即时， ， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当时，； ②当，即时， ， 即当时，； ∵， ∴t的最大值为． 4．（2025·广东广州·二模）已知抛物线C：的最小值为． (1)求a的值； (2)已知直线l：，记，求的最小值（用k表示）； (3)如图，为抛物线C上一点，，直线过点，在抛物线上取一点P，使得，若，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】（1）由抛物线C的解析式可知对称轴为直线，进而可得时，从而可解得a； （2）先求出直线l：过定点，且在抛物线C：的图象上，令，可得，求出方程的另一个解为，故，再根据k的不同取值展开分类讨论求m（x）最小值即可； （3）连接，求出，则，，得到，易证，推出，进而得到，再求出，即可得到的最小值为5． 【详解】（1）解：∵抛物线C的解析式为， ∴抛物线C的图象与x轴的交点坐标为， ∴抛物线C图象的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴； （2）解：∵， 当时，则， ∴直线l：过定点， 将代入抛物线C：中，则， ∴在抛物线C：的图象上， 令，可得， 设方程的解为， ∴， ∵是方程的一个解， ∴方程的另一个解为； 故， 当时，一次函数的函数值y随x的增大而减小，即时，的最小值为6； 当时，，即； 当时，一次函数的函数值y随x的增大而增大，即时，的最小值为； ∵抛物线的对称轴为直线， 当时，直线， 故此时的最小值为在抛物线顶点处取得，即最小值为． 综上，； （3）解：如图所示，连接， 由题意可得， 则， 又， 故， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即的最小值为5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴，最值，一次函数的图象和性质，根系关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握以上内容综合分析是解题关键． 5．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． (1)求抛物线的对称轴； (2)当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； (3)已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 (3) 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求解； （2）设点坐标为，得到，根据旋转的性质得到点坐标为，，根据圆周角定理和切线的性质定理得到轴，得到，整理得到方程有两个相等的实数根，利用求出和的值，即可解答； （3）利用二次函数的性质得到，得出点旋转后的对应点，根据题意可知点与点重合，则有，代入得到抛物线的解析式为，设点坐标为，则有，点坐标为，结合点在点左侧求出的范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由题意得，点绕点顺时针旋转得到点， 点坐标为，， 以为直径的， 点在上，点是的中点， 点坐标为， 有且只有一个与轴相切， 轴， ，即， 有两个相等的实数根， 整理得：， ， 解得：，， 当，此时， 当，此时， 点坐标为或． （3）解：令，则， 点坐标为， 点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为， 在图象上， 点与点重合， ， 代入到，得， 解得：， 抛物线的解析式为， 设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由（2）得，点坐标为， 点在点左侧， ，即， 解得：， ， 当时，有最大值；当时，有最小值； ， 点的横坐标取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、旋转的性质、切线的性质定理、抛物线与坐标轴的交点、解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 方程、不等式、函数的应用问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 一次方程的实际应用 题型二 分式方程、一元二次方程的实际应用 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 题型四 一次函数的实际应用 题型五 二次函数的实际应用 必备知识 知识1 一次方程的建模与应用 知识2 分式方程、一元二次方程的建模与应用 知识3 一元一次不等式（组）的建模与应用 知识4 一次函数的建模与应用 知识5 二次函数的建模与应用 命题预测 预测1 一次方程的实际应用 [广东省卷2025年17题/深圳2025年16题] 预测2 分式方程的实际应用 [2024年省卷16题/广州高频] 预测3 一元二次方程的实际应用 [两年必考] 预测4 一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 预测5 一次函数的实际应用 [两年必考] 预测6 二次函数的实际应用 [深圳、广州高频] 预测7 一次函数与方程组 [广州2025年22题] 预测8 二次函数与不等式的综合应用 [常在压轴题中涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 方程（组）模型 2025：T7（一元二次方程——平均增长率） 2024：T6（一元一次方程——汽车交付） 2025：T22（分式方程——机器人采摘） 2024：T6（一元一次方程——汽车交付） 2025：T7（分式方程——植树问题） 2024：T7（二元一次方程组——住店问题） 不等式模型 2025：无 2024：T12（不等式组解集——数轴表示） 2025：T17（解不等式组——数轴表示） 2024：T4（不等式基本性质） 2025：T15（解一元一次不等式组）、T17（一元一次不等式——采购方案） 2024：T17（一元一次不等式——电梯运输方案） 一次函数模型 2025：T8（函数图象识别——电动车续航） 2024：无 2025：T23（一次函数拟合——身高脚长） 2024：无 2025：T17（一次函数——采购费用最值） 2024：T17（一次函数——购物车车身长度） 二次函数模型 2025：T18（抛物线型悬索桥）、T20（利润最值——荔枝销售） 2024：T20（利润最值——荔枝销售） 2025：T24（抛物线型隧道——限高问题） 2024：无 2025：T19（排队问题——二次函数最值） 2024：T19（抛物线开口大小测量） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“实际应用与数学建模”板块将继续以中档题为主，常出现在解答题的前半部分或选择题、填空题中。 · 方程模型：一元一次方程、分式方程、一元二次方程（增长率问题）是高频考点，题目背景贴近生活（如汽车交付、植树、机器人采摘等）。 · 不等式模型：主要考查一元一次不等式（组）的解法及其在实际问题中的应用（如采购方案、运输方案等）。 · 一次函数模型：常与方案选择、最值问题结合，有时也通过函数图象识别实际情境（如电动车续航）。 · 二次函数模型：是重中之重，主要考查利润最值、抛物线型隧道/拱桥、排队问题等，需要建立坐标系并利用待定系数法求解析式，或通过二次函数顶点式求最值。 2. 备考建议 · 熟练掌握各类方程（一元一次、分式、一元二次）的解法，并能根据实际问题中的等量关系正确列出方程。 · 理解不等式（组）的解集意义，能在实际问题中确定变量的取值范围，并据此进行方案选择或最值判断。 · 掌握一次函数和二次函数的建模方法，特别是利润最值问题（二次函数顶点式）和抛物线型实际问题（建立坐标系，待定系数法求解析式）。 · 培养数学建模意识，能从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学知识解决问题，同时注意答案的合理性和实际意义（如整数解、取值范围等）。 · 加强实际背景题的阅读训练，快速提取关键信息，排除干扰条件，准确建立方程或函数关系。 题型一 一次方程的实际应用 1. 找准题目中的等量关系，合理设未知数，列一元一次方程求解。 1. 解完后检验结果是否符合实际场景，如非负数、整数等要求。 1．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． (1)求A，B玩具的单价； (2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 题型二 分式方程、一元二次方程的实际应用 1. 分式方程求解后，既要检验是否为增根，又要验证是否符合实际。 2. 一元二次方程根据题意列式，计算后舍去负数、超出范围的不合理根。 1．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 题型三 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 抓住“至少、至多、不超过”等关键词，正确列出不等式。 2. 求出解集后，按实际要求取整数解，方案类问题逐一列举可行方案。 1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 2．（2024·广东深圳·中考真题） 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次，求：共有多少种运输方案？ 3．（2023·广东清远·中考真题）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元. （1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？ （2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电.已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？ （3）电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？ 题型四 一次函数的实际应用 1. 先根据题意求出一次函数解析式，并确定自变量取值范围。 2. 利用k的正负判断增减性，以此求最值或选择最优方案。 1．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 2．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 3．（2024·广东深圳·中考真题）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 题型五 二次函数的实际应用 1. 建立二次函数模型，一般化为顶点式更方便求最值。 2. 结合开口方向与自变量范围，在顶点或端点处取最值，结果要符合实际。 1．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 3．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；      (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．    4．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 知识1 一次方程的建模与应用 适用类型：一元一次方程、二元一次方程组 解题步骤：审题找等量→设未知数→列方程→求解→检验合理性→作答 常考题型：和差倍分、行程问题、工程问题、配套问题、利润问题 核心：抓住相等关系列方程；方程组用代入/加减消元求解，结果需符合实际意义。 知识2 分式方程、一元二次方程的建模与应用 分式方程 常考题型：工程效率、行程速度、商品单价、浓度问题 步骤：列分式方程→化为整式方程求解→双重检验（分母≠0、符合实际） 关键：使分母为0的根是增根，必须舍去。 一元二次方程 常考题型：增长率问题、图形面积、商品利润、传播/握手问题 核心公式： 增长率：；利润：售价成本销量总利润 关键：求解后舍去负数、超出实际范围的根。 知识3 一元一次不等式（组）的建模与应用 关键词：至少、至多、不超过、不少于、不足、非负等→转化为不等关系 解题步骤：设未知数→列不等式（组）→求解集→确定符合实际的解（多为正整数） 常考题型：方案设计、物资分配、购物预算、生产限额 关键：乘除负数时不等号变向；结果取整数解，验证是否满足所有限制条件。 知识4 一次函数的建模与应用 模型：，先由已知点用待定系数法求解析式 常考题型：费用计费、行程距离、套餐选择、最优方案比较 核心规律： · ① 递增，递减； · ② 给定区间内，最值在端点处取得； · ③ 分段函数需分段讨论、比较取值。 关键：确定自变量的实际取值范围。 知识5 二次函数的建模与应用 模型：，常结合顶点式 求最值 常考题型：抛射运动高度、矩形最大面积、商品销售最大利润 核心规律： · ① ，顶点取最小值；，顶点取最大值； · ② 若对称轴不在自变量范围内，最值在区间端点取。 关键：结合实际限制条件确定范围，验证顶点最值是否有效。 命题预测1：一次方程的实际应用 [广东省卷2025年17题/深圳2025年16题] 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是______． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是______号． 2．（2026·广东深圳·一模）氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（   ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A．0 B． C． D． 3．（2026·广东佛山·一模）【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 4．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 5．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 命题预测2：分式方程的实际应用 [2024年省卷16题/广州高频] 1．（2026·广东深圳·一模）某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 4．（2026·广东茂名·一模）五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． (1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 5．（2026·广东·一模）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元． (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ (2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 6．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 27．（2026·广东深圳·一模）根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相．寓意喜气洋洋，其乐融融． 图片 素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元． 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同． 素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完． (1)“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ (2)若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值． 7．（2026·广东深圳·一模）2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 命题预测3：一元二次方程的实际应用 [两年必考] 1．（2026·广东广州·模拟预测）某智能电桩充电公司2024年第一季度净利润为100万元，第三季度净利润增长到144万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·一模）某校901班学生初一时有2人次获市级荣誉，之后逐年增加，到初三毕业时，三年累计获奖共23人次．若设该班在初二、初三年级获得市级荣誉人次的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 5．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 6．（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克． (1)如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？ (2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？ 命题预测4：一元一次不等式（组）的实际应用 [常在综合题中涉及] 1．（2026·广东深圳·一模）某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 3．（2024·广东汕头·一模）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． (1)求每套《什么是数学》的价格； (2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 4．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 5．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 命题预测5：一次函数的实际应用 [两年必考] 1．（2026·广东深圳·一模）如图，某饮水机在水温时开始通电加热，水温每分钟上升，当水温上升到时自动停止加热，此过程中水温与通电时间满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至时，饮水机再次自动加热，此过程中水温与通电时间成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 3．（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 4．（2024·广东深圳·三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 5．（2024·广东·模拟预测）如图是某企业职工养老保险个人月缴费元，随个人月工资百元变化的图象． ‍ (1)张工程师月份工资元，这个月他应缴养老金多少元． (2)李师傅月份缴养老金元，他这个月工资多少元． 命题预测6：二次函数的实际应用 [深圳、广州高频] 1．（2026·广东深圳·一模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 2．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 3．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 4．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 隧道限高问题 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 工具 皮尺、标杆等 测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆． 测量数据 测量项目 数值 矩形的尺寸 长，宽； 标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为； 问题解决 (1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离； (2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过． 5．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 命题预测7：一次函数与方程组 [广州2025年22题] 1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 3．（2024·广东·模拟预测）某校为培养学生劳动意识，将劳动课正式设为一门独立课程，其中日常生活劳动分为四类：A清洁与卫生，B整理与收纳，C烹饪与营养，D家用器具使用与维护．学校对学生最喜欢的劳动类型进行了调查，每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据：A B B B C A B D A B B D B C B B C B C C，将调查结果绘制成如图1所示的不完整的统计图．            请根据统计图解答下列问题： (1)在本次调查中，选择C类的女生有________名，选择D类的男生有________名；补全条形统计图． (2)如图2，学校从被调查的学生中选出2名同学去离学校的博览会作为志愿者，分别表示甲、乙两名同学离学校的距离与时间之间的函数关系，那么当甲、乙两人相遇时，他们距离学校多远？ 4．（2024·广东清远·模拟预测） 与的图象交于点M，设点M的坐标为，求边长分别为 m、n的矩形面积． 命题预测8：二次函数与不等式的综合应用 [常在压轴题中涉及] 1．（2025·广东广州·二模）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（2026·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值； (3)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围． 3．（2025·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线G：过点，顶点B不在第四象限． (1)用含a的式子表示b； (2)连接，求面积的最小值及此时点B的坐标； (3)经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当时，都成立，结合图象，求t的最大值． 4．（2025·广东广州·二模）已知抛物线C：的最小值为． (1)求a的值； (2)已知直线l：，记，求的最小值（用k表示）； (3)如图，为抛物线C上一点，，直线过点，在抛物线上取一点P，使得，若，求的最小值． 5．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． (1)求抛物线的对称轴； (2)当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； (3)已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $