精品解析：山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一第三次质量检测数学试题

莱州一中2025级高一第三次质量检测数学试题 命题人：刘新杰 审核人：杨丽丽 薛秀 迟晓丽 答题时间：2026.4.7 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 对于平面向量，，，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与是单位向量，则 C. 若，则 D. 若，，则 2. 若，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 5. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知向量，，，设与方向相同的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 8. 在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若是关于的方程的一个根，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 已知是方程在复数域的一个根，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知平面向量，，若夹角为钝角，则实数的取值范围是． B. 已知，，则的最小值为6． C. 若，，，则面积为． D. 若，则为钝角三角形． 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若为的中点，，与交于点，则的长为 D. 若为的外心，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 是虚数单位，则，则的值为______． 13. 在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 14. 已知为锐角三角形，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，且，则______，边a的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）若复数（）为纯虚数，求m的值； （2）计算：． 16. 已知向量，且． （1）求的值； （2）若与反向，，求与的夹角． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，且． （1）求角； （2）若，，求边和的值． 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱州一中2025级高一第三次质量检测数学试题 命题人：刘新杰 审核人：杨丽丽 薛秀 迟晓丽 答题时间：2026.4.7 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 对于平面向量，，，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与是单位向量，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断A，C，D，利用平面向量数量积的定义判断B即可. 【详解】对于A，若，此时，而且，故A错误， 对于B，因为与是单位向量，， 所以，故B正确， 对于C，当时，若，则，故C错误， 对于D，当时，满足，，而不一定有，故D错误. 故选：B 2. 若，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算以及复数虚部的定义即可得出结论. 【详解】由，则， 所以z的虚部为. 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 5. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 6. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 7. 已知向量，，，设与方向相同的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过求出，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】， ，又， ， 向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 8. 在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义求得，然后由正弦定理和余弦定理解得，再由正弦定理求出外接圆半径，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】， ，即， 又，由正弦定理可知， ，即， 由余弦定理及，得，解得， 由得， . 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若是关于的方程的一个根，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 已知是方程在复数域的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的定义与运算法则计算即可. 【详解】对于A，设，则，对； 对于B，对于实系数方程存在复数根，则必为一对共轭复数，故，错； 对于C，令，由复数模的几何意义，可表示为， 即在圆心为，半径为1的圆上，数形结合易知的最大值为2，对； 对于D，，则有或， 所以为的一个根，即，且， 当时，，对. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知平面向量，，若夹角为钝角，则实数的取值范围是． B. 已知，，则的最小值为6． C. 若，，，则面积为． D. 若，则为钝角三角形． 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，根据向量夹角为钝角的条件列出不等式求解；对于选项B，利用向量数量积的运算律和三角函数的性质求解；对于选项C，根据正弦定理求出角，再分情况求出三角形面积；对于选项D，根据三角函数的平方关系和正弦定理判断三角形的形状. 【详解】选项A，夹角为钝角，则且与不共线，由，， 若与共线，则，即. 所以当夹角为钝角时，实数的取值范围是且.故A选项错误. 选项B，，当时，，B选项正确. 选项C，由题意，由正弦定理，， 又，或. 当时，，此时. 当时，，此时，故C选项错误. 选项D，，，由正弦定理可得：，即. 由余弦定理，又，为钝角，即为钝角三角形，D选项正确. 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若为的中点，，与交于点，则的长为 D. 若为的外心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用正弦定理得出三边关系，再结合余弦定理可判断；选项B，由三角形面积公式计算可得三边长，再计算周长；选项C，先求出的长度，再利用平面向量基本定理求出在的位置，进而求出的长度；选项D，作出的中点，结合外心性质和平面向量数量积的几何意义求解. 【详解】由题意，，不妨设. 由余弦定理可得，，，选项A正确. 又，.则. 的周长为，选项B正确. 如图所示，为的中点. ，. 设，. ，解得，，，选项C错误. 如图所示，取的中点，记为，是的外心. ，结合平面向量数量积的几何意义可知： . 选项D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 是虚数单位，则，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算，进而利用复数相等的意义可求得，进而可求的值. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：. 13. 在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 14. 已知为锐角三角形，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，且，则______，边a的取值范围是______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的值及的范围，再利用正弦定理结合两角和与差的正弦公式求得答案． 【详解】在锐角中，由， 得，即， 由正弦定理得，而， 则， 又，则有，得，， 由，解得， 由正弦定理得，而， 则， 由，得，即，于是， 所以，的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）若复数（）为纯虚数，求m的值； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）由题意得， 由z为纯虚数，则，解得或（舍去）， （2）由题意得，， 则原式. 16. 已知向量，且． （1）求的值； （2）若与反向，，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出、的坐标，由向量共线的坐标运算可得答案； （2）由与反向求出，再求出的坐标，由向量夹角的坐标运算可得答案. 【小问1详解】 根据题意得， ， 因为，所以， 解得或； 【小问2详解】 由（1）时，，，所以，则与同向，舍去； 当时，，，所以，则与反向， ， 因为， 因为， 所以与的夹角为． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，且． （1）求角； （2）若，，求边和的值． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积及余弦定理求解即可. （2）根据同角的三角函数关系求出，结合正弦定理即可求出，根据诱导公式求出，结合正弦定理即可求出. 【小问1详解】 因为，所以，即， 由余弦定理得，所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理得，所以，解得. 又， ． 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD的取值范围，从而求出的取值范围；解法二：由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案. 【小问1详解】 由余弦定理 结合可知，△ABC的面积 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理， 所以，① 由于， 带入①式可知： 【小问3详解】 解法1： 设BC中点为D，则 所以 如下图所示， 设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故 设，则，由余弦定理： 由于函数在时单调递减，， 所以 解法2： 由余弦定理② 由定义 所以 设， 则 由正弦定理： 其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知 注意到， 所以 所以，②式变形为，故 从而， 此时函数单调递减，而， 所以 【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三角函数恒等变换等知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $