精品解析：广东省佛山市顺德区罗定邦中学2025-2026学年高二第二学期第一次月考数学试题

罗定邦中学高二第二学期第一次月考试卷 班级：___________姓名：___________小组：___________学号：___________ 一、单选题 1. 在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 若函数满足，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 4. 等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 5. 已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（ ） A. 45 B. 50 C. 54 D. 60 6. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 按如下方式构造等腰直角三角形：令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，…，依次类推，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，则数列的前n项积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求导运算错误的是（） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，且满足，，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为 B. 取最小值时， C. D. ，，构成等差数列，且公差为 11. 已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列中存在最小项 三、填空题 12. 若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 13. 已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 14. 已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为_________. 四、解答题 15. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的值； （3）求曲线在点处的切线方程. 17. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 18. 为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． （1）当时，求二面角的正弦值； （2）当的面积最大时，求． 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗定邦中学高二第二学期第一次月考试卷 班级：___________姓名：___________小组：___________学号：___________ 一、单选题 1. 在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，得到， 所以. 2. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 3. 若函数满足，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义合理变形即可. 【详解】. 故选：C. 4. 等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算和等差中项概念列方程组，求得的值，再代入前n项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，则① 由与的等差中项为可得②， 将①代入②，可得，解得，回代入①，解得， 则. 故选：C. 5. 已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（ ） A. 45 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首先，最后根据等差数列的通项公式计算可得； 【详解】等差数列2，6，10，，190，…的公差为4， 2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12， 两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为，． 故选：B. 6. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的四个根为，利用等差数列的性质求解. 【详解】解：设方程的四个根为， 则，， 又因为方程的四个根组成一个首项为的等差数列， 设，所以， 设等差数列的公差为，则， 解得，则等差数列为， 所以， 则， 故选：C 7. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 8. 按如下方式构造等腰直角三角形：令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，…，依次类推，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，则数列的前n项积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先推理得到时，，利用等比数列的定义求出通项，再利用等差数列的前项和的公式计算即可. 【详解】由题意可知，当时，， 则是以2为公比的等比数列，又，故， 则数列的前n项积为． 故选：D. 二、多选题 9. 下列求导运算错误的是（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数运算法则及基本函数的导数公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BC 10. 已知等差数列的前项和为，且满足，，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为 B. 取最小值时， C. D. ，，构成等差数列，且公差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质直接判断各选项. 【详解】A选项，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，A选项正确； B选项：，， 则当时，取得最小值为，B选项正确； C选项：，，C选项错误； D选项：，， 即， 同理，D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列中存在最小项 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，利用构造法可得，从而数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式利用分组求和法得，可判断ABC；利用数列的单调性判断D. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 由B选项分析可得，所以， 所以 ， 故C正确； 由C选项分析可得，所以， 所以恒成立， 所以数列为单调递减数列，所以数列中不存在最小项，故D错误． 三、填空题 12. 若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 【答案】211 【解析】 【分析】根据图形得出递推数列，求出通项公式可得答案. 【详解】记 “拐角数”构成的数列为，观察数字特征可得， 累加可得， 所以. 13. 已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而， 因此当时，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式. 故答案为： 14. 已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，可得是偶函数，则关于轴对称，C在轴上，设，不妨设点在轴右侧，利用导数的几何意义求出，根据直线与直线垂直，可求得，再求出切线的方程得点坐标，求出. 【详解】由，， 又，所以函数是偶函数. 如图，由对称性可得直线与图象的交点关于轴对称，曲线在点A和点B的两条切线的交点C在轴上， 设，不妨设点在轴右侧，则，即，得， 又，所以曲线在点处切线的斜率为，由对称性得， ，解得，即. 所以切线的方程为，令，解得， ，. 故答案为：1. 【点睛】思路点睛：先证明函数是偶函数，由对称性可得关于轴对称，C在轴上，设出，根据，求出，再求出切线的方程求得点坐标，进而求出三角形的面积. 四、解答题 15. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列可得，再由等比数列的基本公式计算可得公比的值，从而得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法直接求数列的前项和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公差为，则， 由，，成等差数列可得，即， 又，所以，即，解得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 所以. 16. 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的值； （3）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 则，即. 【小问2详解】 由，得，则， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为， 则. 【小问3详解】 由（1）知，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 17. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 18. 为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． （1）当时，求二面角的正弦值； （2）当的面积最大时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用三棱锥体积的最大值求出的半径，建系后，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （2）利用（1）的坐标系，设，表示出相关点和向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式求出点到直线的距离的表达式，利用二次函数的性质求出其最大值即得的面积的最大值，以及此时的值. 【小问1详解】 设的半径为，则，， 因平面，故当三棱锥体积取得最大值时，中边上的高最大，即为半径长， 故有，解得. 如图以点为原点，所在直线分别为轴，以平面上过点的的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 因，易得，则， 又， 设平面的法向量为， 则，令，取， 易得平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为； 【小问2详解】 由（1）可得，设，则，， ，则， 所以，则与同方向的单位向量为， 于是点到直线的距离为 ， 因的面积为，， 故当且仅当 时，的面积最大，此时. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. 【小问2详解】 ①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $