精品解析：青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025～2026学年第二学期第一次教学质量检测高二数学

大通县第二中学2025~2026学年第二学期第一次教学质量检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 函数在处的导数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的最大值为2，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 6. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，若线段取得最小值n时，P点横坐标为m，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 1是函数的极大值点 C. 当时， D. 不等式的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是的导函数，且，则______. 13. 已知函数满足在处导数为__________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 16. 已知函数，． （1）证明：在上单调递增； （2）判断与的大小关系，并加以证明． 17. 将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 18. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图像； （3）求出方程的解的个数． 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． （1）已知函数，求曲线在处的曲率的值； （2）已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值； （3）对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县第二中学2025~2026学年第二学期第一次教学质量检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到，由导数的物理意义得到瞬时速度. 【详解】由题意得，所以， 即该质点在时的瞬时速度为． 故选：A． 2. 函数在处的导数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由，得. 3. 在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 当时，． 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求函数单调递减区间. 【详解】，函数定义域为，， 令，得，所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 5. 函数在上的最大值为2，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导数不等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可． 【详解】解：． 令，解得：，令，解得：， 故在，递减，在，递增， 故的最大值是或， 而， 故， 故选：． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题． 6. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即可做出判断. 【详解】因为的图像经过与两点，即，， 由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故选项AD错误； 由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增， 又在上越来越大，在上越来越小， 所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故选项C错误，因此选项B正确. 故选：B. 7. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题 【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得. 故选：D 8. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的求导公式及求导法则判断ABC，根据复合函数的求导公式判断D. 【详解】因为， ， ， ， 所以ACD错误，B正确. 故选：ACD. 10. 已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，若线段取得最小值n时，P点横坐标为m，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据在点处的切线与直线平行，求出点坐标，求得，再由点到直线的距离公式求解. 【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行， 因为，于是．所以，，此时，即， 点P到直线的距离为，即. 故选：BD. 11. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 1是函数的极大值点 C. 当时， D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，进而可得A正确；利用导数求的函数的最值即可得到B错误；由在上单调递减，利用单调性即可判断C选项；D选项，根据B选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】由题意得曲线是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，故曲线的对称中心为，故A正确； ，易得在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点，故B错误； 因为在上单调递减，当时，，所以，故C正确； 由上知，易求， 所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是的导函数，且，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】由题意，得， 所以. 故答案为：18. 13. 已知函数满足在处导数为__________. 【答案】# 【解析】 【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值. 【详解】, ， ， . 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，结合，可得，利用二次函数性质可求结论. 【详解】由，得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即，又在上的最小值为， 所以，即实数的取值范围是． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导即可代入求解， （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【小问1详解】 由，得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 由，得，所以，即切点为， 又切线的斜率为， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即. 16. 已知函数，． （1）证明：在上单调递增； （2）判断与的大小关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，确定即可证明； （2）构造函数，求导确定单调性即可证明. 【小问1详解】 证明：， 所以， 所以． 当时，因为，所以． 所以在上单调递增． 【小问2详解】 ． 证明如下：设，，则． 由（1）知在上单调递增，所以， 所以，即在上单调递增． 所以，即． 17. 将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 【答案】两段铁丝的长度均为. 【解析】 【分析】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积，利用导数求它的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长)即可. 【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， ∴两个正方形的面积和，则， ∴时， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 18. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图像； （3）求出方程的解的个数． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值； （2）作图见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出函数的极值. （2）结合（1）分析函数的特性，作出函数图象. （3）结合（2）中的图象，数形结合求出方程解的个数. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值， 所以函数的递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，又，因此函数的图象过点，，， 当时，恒成立，当时，，而函数在的取值集合为， 于是函数在的值域为， 在坐标平面内作出函数的图象，如图： 【小问3详解】 方程的解，即为直线与函数图象交点的横坐标， 由（2）知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有2个交点； 当或时，直线与函数图象有1个交点， 所以当时，没有解；当时有两个解； 当或时，有一个解. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． （1）已知函数，求曲线在处的曲率的值； （2）已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值； （3）对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据题设的定义求； （2）根据定义可得，应用换元法及导数求右侧的最大值； （3）由题设有，应用分类讨论研究其符号，进而确定对应区间的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数，即可证结论. 【小问1详解】 由题设， 所以． 【小问2详解】 ， 所以， 所以， 令，则， 设，则， 显然当时，单调递减， 所以，即的最大值为1， 所以的最大值． 【小问3详解】 由，所以， ①当时，因为，则， 所以在上单调递增，又， 所以在上仅有1个零点． ②设，则， 当时，单调递增，所以， 故当时，，，所以， 所以在上恒成立，在上无零点． ③当时，， 所以在上单调递减，又， 所以在上仅有1个零点． 综上所示，在区间上有且仅有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $