精品解析：青海海南州高级中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年海南州高级中学第二学期高二数学月考考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 45 B. 20 C. 135 D. 120 4. 要从件不同的礼物中选出件，不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 5 B. 120 C. 625 D. 1024 6. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 14. 在的展开式中，含有项的系数为_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 已知函数. （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值. 16. 已知函数，数列满足，且，设． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 17. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? （1）两个女生必须相邻而站； （2）4名男生互不相邻； （3）老师不站中间，女生甲不站左端. 18. 某校“反诈宣传志愿服务队”共有7人，其中3名女生，4名男生.现要从中随机选出3人组成一支“反诈先锋小分队”，深入社区开展宣讲活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ （3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 19. 某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务． （1）如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答） （2）如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答） （3）如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年海南州高级中学第二学期高二数学月考考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】D 【解析】 【分析】甲、乙各有4种报名选择，根据分步计数原理，总方法数为两者选择数的乘积。 【详解】甲有4种报名选择，乙也有4种报名选择，根据分步计数原理(乘法原理)，总方法数为种. 故选：D. 2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. 45 B. 20 C. 135 D. 120 【答案】D 【解析】 【详解】若，则或， 当时，（舍去）； 当时，. 所以. 所以. 4. 要从件不同的礼物中选出件，不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据组合数的定义可知，选法种数为：. 5. 用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 5 B. 120 C. 625 D. 1024 【答案】B 【解析】 【详解】用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数为. 6. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，令，有，可得. 8. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由导数的运算公式，得，故A错误，BCD正确. 10. 公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断个选项. 【详解】由已知等比数列的公比为，且，， 则，解得， 所以，， 故选：ABD. 11. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的前  项和  与通项  的关系计算. 【详解】当  时，； 当  时，. , 代入通项公式：, 验证  时：若直接代入 ，得 ，与  矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数再求切线的斜率最后写出切线方程即可. 【详解】，所以，根据导数的几何意义可知切线的斜率为， 由点斜式写出切线方程为：，整理得：. 14. 在的展开式中，含有项的系数为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】根据二项式展开得，含有项的系数为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 已知函数. （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，无单调递减区间 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， ； 【小问2详解】 将导数通分整理得： ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ，， 因此在上的最大值为，最小值为. 16. 已知函数，数列满足，且，设． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）由题意得， ， ， 是首项为，公差为的等差数列． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，即， ， ． 17. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? （1）两个女生必须相邻而站； （2）4名男生互不相邻； （3）老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】（1）1440种 （2）144种 （3）3720种 【解析】 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. 【小问1详解】 两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． 【小问2详解】 ∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． 【小问3详解】 当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 18. 某校“反诈宣传志愿服务队”共有7人，其中3名女生，4名男生.现要从中随机选出3人组成一支“反诈先锋小分队”，深入社区开展宣讲活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ （3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）35 （2）31 （3）30 【解析】 【分析】（1）根据组合数的含义求解即得； （2）根据“至少有位女生”的反面情况为“没有女生”，运用间接法即得． （3）根据“既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生”，运用间接法即得． 【小问1详解】 从位女生，位男生中选出人参加“反诈先锋小分队”的选择方法数为； 【小问2详解】 “至少有位女生”的反面情况为“没有女生” 又没有女生人选的选择方法数为， 由（1）可得，至少有1位女生人选的选择方法数为． 【小问3详解】 “既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生” 又因为都是女生人选的选择方法数为，都是男生人选的选择方法数为， 由（1）可得，既有男生又有女生人选的选择方法数为． 19. 某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务． （1）如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答） （2）如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答） （3）如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 【答案】（1） 91 （2） 120 （3） 720 【解析】 【分析】（1）先算出总选法数，减去甲乙都不在的选法数即可； （2）先算出总选法数，减去全为男医生或全为女医生的选法数即可； （3）先选后排，结合捆绑法处理相邻排列问题. 【小问1详解】 从9名医生中任选4人的总选法为， 男医生甲和女医生乙都不在内的选法为从剩余7名医生中选4人的， 因此符合条件的选法为. 【小问2详解】 从9名医生中任选4人的总选法为， 不符合“既有男医生又有女医生”的情况为4人全为男医生或全为女医生， 其中全为男医生选法，全为女医生选法， 因此符合条件的选法为. 【小问3详解】 选2名男医生的选法为，选2名女医生的选法为， 将2名男医生捆绑为1个整体，与2名女医生共3个元素全排列，排法为， 其中捆绑的2名男医生内部排列为， 总安排方法为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $