课时30 平面向量的概念及线性运算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习数学 =5(3+V3)·sin45 sin 105 5(3+√3)·sin45 sin45°cos60°+cos45sin60 5(5+1)=105(海里). 3+1 2 (2)在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+ (90°一60°)=60°，BC=203(海里)，由余弦定理得 CD=BD十BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1200 -2X105×205×2=900,所以CD=30(海里)，则 需要的时间1=碧=1（小时）.因此教接搬到达D点需 要1小时. 课时冲关30平面向量的概念及线性运算 1.A[由题图知真风对应向量为(-2,2)，模长为2√2≈ 2.828,等级上属于轻风，选A.] 2.A[如图所示，由题意可知 C i+底G记 G 2 B 故AB=GC-2BG=b-2a.] 3.B[思路一：根据向量共线的判定条件即可解出入.思路 二：由共线向量基本定理即可得解. 方法一：由已知有1·2=入·λ，A>0,解得入=√2 方法二：设(a十b)=(a十2b),∈R,由题意 {公级0解得区.】 4.C[如图，延长CD和BE交于点 F,由题得∠A=∠F=∠FCA= ∠FBA=90°，所以四边形ABFC为 矩形，又因为AB=AC,所以四边形 ABFC为正方形，又因为BC=2DE, 所以D,E分别是CF,BF中点，所以 C龙-CF+FE=2cA+2ci.] 5.B [BF-BC+CF-BC+3EA-BC+3 (EB+BA)-BC +(成+函)即亦=成+是（子亦+函： 解件成+成，p示-碧+是0] 6.D[由0-0成+店，#0亦-O耐- 一，所以 AB AB AP=」·AB,所以，点P在射线AB上.] AB 7.ACD[对于A,-(CB+MC)-(DA+BMD=-(CB MC+DA+BM) =-(CB+BM+MC+DA)=-DA=AD,故A正确： 对于B,-BM-DA+MB=MB-DA+MB=AD+ 2MB,故B错误； 对于C,(AB-DC)-CB=AB-DC-CB=AB+CD+ BC=AD,故C正确； 对于D,AD-(CD十DC)=AD-0=AD,故D正确.] ·50 8.ACD[若AM=合A店+合AC,则点M是边BC的中 点，故A正确；若AM=2AB-AC,即有AM-AB=AB 一AC,即BM=CB,则，点M在边CB的延长线上，故B错 误；若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,则点M 是△ABC的重心，故C正确；如图， 若AM=xAB十yAC,且x十y= 合可得2AM=2zA店+2A亡，设 AV=2AM,则B,C,N三点共线， N 且M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的 合故D正璃门 9.解析：：A,B,D三点共线，AB∥BD.AB=2a十b, BD=8C+CD=a-2b=合(2a-4b∴k=-4 答案：一4 10.解析：当单位向量e1,e2,…,e2o25方向相同时， e1十e2十…十e2o2取得最大值， e1十e2十…十e2gs=e1|十e2+…+e2o2s=2025; 当单位向量e1,e2,,e202首尾相连时， e1十e2十…十e2o25=0. 所以e1十e2十…十e2o2s的最小值为0. 答案：20250 11.解：(1)在△ABC中，因为AB=a,AC=b,所以BC=AC A店=baAD=AB+BD=A店+BC=a+子b-a)= 是0b丽-脑+应=i+衣-a古a 2)证明：周为庇=-a十子6，B萨-BA+A正 =-成+号0=-a+号（停+）=-a时 名=(a十b）所以B=B成，所以B与B成 共线，且有公共点B,所以B,E,F三点共线. 12.解：(1)GA+GB=2GM,又因为2GM=-G0, ∴.GA+GB+G0=-G0+G0=0. (2)证明：显然0i=合（a十b. 因为G是△AB0的重心，所以G云=号OM=号a+b, 由P,G,Q三，点共线，得PG∥GQ, 所以，有且只有一个实数入，使PG=λGQ, 而P元=0-0°-号(a+b1-m =(兮-m归+号. Gd-店=0合a+)=-言a+(a-号)b, 又因为a,b不共线， 1 所以 ,消去A, 整理得3mn=m十n,故 11=3. m n 0女 13.AB[由题意作图，如图所示，易 知BC的中，点D与A,G共线. 对于A,由题意得，AG=2GD, OD⊥BC,AH⊥BC,所以OD∥ B AH,所以GH=2OG,所以A正 D 确；对于B,由题意得，GB十GC=2GD=-GA,所以GA 十GB十GC=0,所以B正确；对于C,由题意知AG= 2GD,又因为GH=2OG,∠AGH=∠DGO,所以 △AGH△DGO,所以AH=2OD,故C错误；对于D, 向量OA,OB,OC的模相等，方向不同，故D错误.] 14.解析：由题意得AM-AB=名(AC-AB),即BM= 5 名记，则点M在边BC上，且BM=号BC,所以 S△ABM= BMI S△AC 号，所以△ABM与△ABC的面积之 BC 2 比为 答案：号 课时冲关31平面向量基本定理及坐标表示 1.A[设N(x,y),由MN=-3a,可得(x-5,y十6)= (-3,6),.x=2,y=0,即V(2,0).] 2.B[计算出bcos(a,b)=2,从而得到bcos(a,b〉· 吕-1得到室 由题意得6c03a,b=a:b-E=2>0, a √3 2 :b在a上的投影向量为bcos(a,b〉·a= 0=2 2 43 3a.] 3.A[设点D(x,y),求出AB,DC,再列出方程，即可 得解. 设点D(x,y), 则AB=(1,2),DC=(3-x,4-y), 又AB=DC,所以=3-x→x=2 12=4-y1y=2'” 所以点D的坐标为(2,2).] 4.A[在□ABCD中，EC=2 D BE,DF=2 FC,AB=a,AD =b, 所以-苏-花=号市 号C店=-3a+号b.] 5.B[如图，记正六边形ABCDEF 的中心为点O,连接OB,OD易证 四边形OBCD为菱形，且P恰为 共中心，于是P=是0=A 0 ,因北-萨+市 A+A点，因为AP=xAB十 A正，所以子y=,故中y=子] ·5 参考答案 6.A[以B为原点，BC,BA所在直线 M 分别为x轴、y轴建立如图所示的平 面直角坐标系. 则A(0,1),C(1,0),AC=√2， 设D为AC的中点，则以AC为直径的 国的国心为AC的中点D(合·)） 则以AC为直径的圈的方程为（一合）广十（一合）》 = 2, 设M(x,y), 则BM=(x,y),BC=(1,0),BA=(0,1), BM=ABC+√3ABA=(A,√5A), 所以=A, {y=√3x, 由M在周(-)广+()=合上， 可得(-)+(a-)广=合， 即4λ2-(1十V5)λ=0， 解得X=5中或A=0(舍去).] 4 7.ABD[易知AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), AC=OC-OA=(m十1，m-2)-(1,-3)=(m,m+1). 假设A,B,C三点共线，则1×(m十1)一21=0，即m= 1,所以只要m≠1，A,B,C三点就能构成三角形.门 8.ABC[建立如图所示的平 ↑y 面直角坐标系，不妨设正方 D 形的边长为2， 设Q(x,0),则根据题意可得 A(0,2),D(2,2),C(2,0), (号)r(告) B(0,0), B 则萨=（停） AC=(2,-2).AQ=(,-2),A正=（号-专） AB=(0,-2),AD=(2,0), 由于AE∥AQ, x=-2×号，解得x=1,故Q1,0), 所以一4 对于A正-正=（号吉）十（侍·号），-2 AC故A正确：对于B号B+号AD=号×0，一2)十司 ×20)=(号，-号)=A正，故B正确：时于C,专AB 号0=号×0.-2)+号×2,0)=（传-号） A正，故C正确：对于D,号AB+日AD=号×(0，一2)+ ×20 (合青)0-（合-号）故D 错误.] 9.解析：向量a=(-1,4),b=(3,一2λ)， 则2a十b=(1,8-2λ)， 由a∥(2a+b),得4=-8十2λ， 解得λ=6. 答案：6 05高考总复习数学 课时冲关30平面向量的概念及线性运算 [基础巩固练] BCDE为等腰梯形，且BC=2DE,AB= 一、单选题 AC,∠CDE=3π，则CE= () 1.(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可 4 借助风力计测定风速的大小和方向，测出 A.CA+2CD 的结果在航海学中称为视风风速.视风风 3 .CA+SCD 速对应的向量是真风风速对应的向量与船 行风速对应的向量之和，其中船行风速对 C.CA+2CD D.CA+3CD 应的向量与船速对应的向量大小相等、方 5.我国东汉末数学家赵爽在 向相反.图1给出了部分风力等级、名称与 《周髀算经》中利用一副 风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在 “弦图”给出了勾股定理的 某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对 证明，后人称其为“赵爽弦 应的向量如图2（线段长度代表速度大小，单 图”，它是由四个全等的直 位：m/s),则该时刻的真风为 角三角形与一个小正方形 拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽 等级 名称 风速大小（单位：m/s) 弦图”中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,则 2 轻风 1.6≈3.3 BF= 12 16 3 微风 3.4~5.4 a+2是 4 和风 5.5≈7.9 C. 5 劲风 8.010.7 6.已知O,A,B三点不共线，点P为该平面 图1 内一点，且OP=OA+AB ，则 ) 3 视风风速一 AB J A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 船速 D.点P在射线AB上 2 3 图2 二、多选题 A.轻风 B.微风 7.下列各式中能化简为AD的是 C.和风 D.劲风 A.-(CB+MC)-(DA+BM) 2.点G为△ABC的重心，设BG=a,GC=b, B.-BM-DA+MB 则AB等于 ( ) C.(AB-DC)-CB A.b-2a 3 D.AD-(CD+DC) 8.设点M是△ABC所在平面内一点，则下 C.ja+ib D.2a+b 列说法正确的是 3.已知不共线的平面向量a,b满足(a+b) A若Ai-号A店+号AC.则点M是边BC ∥(a+2b),则正数入= ( 的中点 A.1 B.2 C.3 D.2 4.衡量钻石价值的4C标准 B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的 之一是切工.理想切工是 延长线上 一种高雅且杰出的切工， C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC 它使钻石几乎反射了所 的重心 有进入钻石的光线.现有 一理想切工的钻石，其横截面如图示，其 D.若AM-xAB+yAC,且x十y-则 中△ABC为等腰直角三角形，四边形 △MBC的面积是△ABC面积的号 ·290· 第五章平面向量与复数 三、填空题 12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边[答题栏] 9.设a和b是两个不共线的向量，若AB=2a 的中点， 1 (1)求GA+GB+GO; +kb,CB=a+b,CD=2a-b,HA,B,D 2- 三点共线，则实数的值等于 3- 10.已知单位向量e,e2,…,e22s,则|e,十e2十… 4. 十e2o2s|的最大值是 ,最小值是 5-- 四、解答题 6.-- 11.如图，在△ABC中，D 为BC的四等分点，且 8.-- 靠近B点，E,F分别为 B (2)若PQ过△AB0的重心G,且OA=a,13 AC,AD的三等分点，且 0丽-b.0-m,0=,求证：+月 分别靠近A,D两点，设AB=a,AC=b. =3. (1)试用a,b表示BC,AD,BE; [能力提升练] 13.[多选]瑞士数学家欧拉在1765年发表的 《三角形的几何学》一书中有这样一个定 理：三角形的外心、垂心和重心都在同一 (2)证明：B,E,F三点共线. 直线上，而且外心和重心间的距离是垂心 和重心间的距离之半.这个定理就是著名 的欧拉线定理.设△ABC中，点O,H,G 分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选 项中结论正确的是 () A.GH=2 OG B.GA+GB+GC-0 C.设BC边的中点为D,则有AH=3OD D.OA-OB=OC 14.若点M是△ABC所在平面内一点，且满 足Ai=号A店+号AC,则△ABM与 △ABC的面积之比为 ·291·