课时28 解三角形中的最值与范围问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习数学 课时冲关28解三角形中的最值与范围问题 [基础巩固练] 2.如图，在平面内，四边形 D 1.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的 ABCD满足B,D两点在 边分别是abc,且c=2,2sin2C-写 AC的两侧，AB=1,BC=2, △ACD为正三角形，设 B =3. ∠ABC=a. (1)若a=2√2，求角A; (1)当a=时，求AC: (2)求△ABC面积的最大值， (2)当α变化时，求四边形ABCD面积的 最大值 ·286· 第四章三角函数与解三角形 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 [能力提升练] a,b,c.已知2 sin Ccos A=sinA+2sinB. 4.在△ABC中，锐角A,B,C的对边分别为 (1)求角C的大小； a,b,c,已知(b-c)sinB=bsin(A-C). (2)求0sB 米cosA的取值范围. (1)求角A的大小； (2)求sinA十sinB+sinC的取值范围. ·287·高考总复习数学 由正弦定理得，b十c=2a, b2+c2-a2 b2+c2- b十c 由余弦定理得，c05A= 2 2bc 2bc =3(6+2)-13c-11 8bc 当且仅当b=c=a时取等号，此时A=子 答案：日 课时冲关28解三角形中的最值与范围问题 1.解：1)由2sin(2C-号)-6 得m(c-晋）吾。 因为△ABC为锐角三角形，所以C∈(0，受)则2C ∈() 所以2C号-晋，得C=， 2=2，得nA= 由正孩定理得AC· m号 2 因为A∈(0，受)所以A= (2)由1)可知C=晋，在锐角三角形ABC中， c=25,C=号， 则由余弦定理得c2=a2十b-2 abcos C, 即12=a+-2 os号=a2+B-ab>≥2ab-ab=ab, 当且仅当a=b时取等号， 所以ab的最大值为12， 所以sinC<号×12×9-85，当且仅音a=6时 2 取等号， 所以△ABC面积的最大值为3√尽. 2.解：1)因为AB=1,BC=2,B=号， 由余弦定理可得 AC=√AB+BC-2AB·BCcos B √/1+4-2x1×2x7-5. (2)由余弦定理可得AC=AB十BC2-2AB·BCcos a =1+4-2×1X2cosa=5-4cosa, 因为△ACD为正三角形，所以SAm-AC- 4 3cos a, SAAC=AB BCsin a=X1X2sin a=sin a 所以SaAn=Sa度十SAn=sin&-V5cosa十5y5 4 =8m(-音）r9 因为a0)，所以a晋∈（晋，） 所以如（）（小 故当a 严时，四边形ABCD面积的最大值为2+5y5 6 41 50 3.解：(1)解法1：在△ABC中，由2 sin Ccos A=sinA+ 2sinB及正弦定理得，2c·cosA=a十2b, 再由余孩定理，得2，公士口=a十2h,则c2=a十 2bc b+ab, 又周为c2=a2+6-2abc0sC,所以cosC=-合， 因为CE(0,m,所以C-要 解法2：因为2 sin Ccos A=sinA+2sinB,B=π-(A十C), 所以2 sin Ccos A=sinA+2sin[π-(A十C)], 所以2 sin Ccos A=sinA+2 sin Acos C+2 cos Asin C, 所以(2cosC+1)sinA=0, 因为sinA≠0，所以2cosC+1=0,所以cosC=- 1 因为C∈(0，π)，所以C=2 3 (2)因为C-答，所以B=吾-A,A∈(0，号） 所以C0sB con(A) oA+9mA 1 cos A cos A cos A 1+ 2 2 tanA, 因为A∈（号）所以1mAE0n5.所以号+号mA (合2 所以器∈（分） 4.解：(1)由(b-c)sinB=bsin(A-C), (b-c)sin B=b(sin Acos C-cos Asin C), 由正弦定理及余弦定理的推论得 6-b-aleos C-lccos Aea 2 2 a2-c2, 所以a2=6十c2-bc,又因为a2=b2+c2-2 bccos A, 所以0sA=子， 又A∈(0，x),所以A=号 (2)由1)得A=否 则smA计如B+smC=号-snB-n(管-B） =sinB+sn子cosB-cos9snB+ 2 =号mB+-(B+） 在锐角△ABC中，A=音，所以0<B<受且0<号-B <, 所以<B<，所以<B+吾< 所以<n(B+)1. 2 2 所以sinA十sinB+sinC的取值范国为3+E,35】 2 2