课时21 任意角和弧度制、三角函数的概念-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习数学 课时冲关21 任意角和弧度制、三角函数的概念 [基础巩固练] 二、多选题 一、单选题 7.若角α是第二象限角，则下列各角中是第 1.下列与角F的终边相同的角的表达式中 三象限角的是 ) 正确的是 A.-a B.x-a A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360+9(k∈Z) C.a-3r D.2a 2 4 C.k·360°-315°(k∈Z) 8.下列结论中正确的是 D,kx+平(k∈D) A,若0<a<受，则sina<tana 2.若角a的终边经过点P(1,√3)，则cosa+ tana的值为 ( B,若a是第二象限角，则号为第一象限或 A.1+25 B.-1+3 第三象限角 2 2 C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则 C.1+5 D.-1+23 2 sina=号 3.已知角a的终边上一点的坐标(a,2),其中 a是非零实数，则下列三角函数值恒为正 D.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心 的是 ( 角的大小为1弧度 A.cos atan a B.sin acos a 三、填空题 C.sin atan a D.tan a 9.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半 4.已知点P √3 2 -) 在角0的终边上，且 轴重合，点P(4m,-3m)(m<0)是角a终边 0∈[0,2π)，则0的值为 ( 上的一点，则2sina十cos& A爱 B.2x sin a-cos a 10.已知点P(sin0cos0,2cos0)位于第三象 D. 限，则角0是第 象限角 5.中国传统扇文化有着 四、解答题 极其深厚的文化底 11.已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角 蕴.一般情况下，折扇 (正角)为多大时，扇形的周长取得最 可看作是从一个圆面 中剪下的扇形制作而 小值？ 成，设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的 面积为5，当S,与民的比值为时，扇 面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆 心角的弧度数为 A.(3-√5)π B.(√5-1)π C.(W5+1)π D.(√5-2)π 6.若角α和3的终边关于y轴对称，则必有 ) A.e十月=置 B.a十B= 2k+2Jr,k∈Z C.a+B=2kπ，k∈Z D.a+B=(2k+1)元，k∈Z ·272· 第四章三角函数与解三角形 12.已知sina -a且l(eos)有 (2)若角a的终边上一点M(gm),日 [答题栏] 意义 1OM=1(0为坐标原点)，求m的值及1 (1)试判断角α所在的象限； sina的值. 2 3 4. 5.- 8.. [能力提升练] 13.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即 为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因 其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月 牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是 △ABC的外接圆和以AB为直径的圆的 一部分，若∠ACB-受，南北距离AB的长 大约60√3m,则该月牙泉的面积约为 m(精确到整数位)（参考数据：π ≈3.14，W3≈1.73) 14.如图，在平面直角坐标系 xOy中，一单位圆的圆心 的初始位置在(0,1)，此 12 时圆上一点P的位置 在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆 滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为 ·273·(0受)上单涧递减，故f(x)=f(受)=子。 aln号，因为画数f(z)有两个不同的零点，则a2- a'lng<0,即a>2e. 又当a>2e时，f1)=1十a>0,而1<号， 结合函数的单调性可得(x)在（0，号）上有且只有一个 零点；而f(a2)=a十a-2alna=a(a2十a-2lna), 令g(a)=a2十a-2lna,a>2ei,则 g(a)=2a+1-二>0，故ga)在(2e,十o0)上单调递增， 故g(a)>4e是+2e于-2ln(2e)>4e量+2e子-2lne =4e2+2e-7>0, 故f(a)>0,结合函数的单调性可得f(x)在 (受十∞)）上有且只有-个零点， 故a的取值范围为a>2e导】 4.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，求导得f(x)= aln x x 若a=0,则f(x)=0,无极值； 若a≠0，由f(x)=0,可得x=1, 若a<0,当0<x<1时，f(x)<0,则f(x)单调递减，当 x>1时，f(x)>0,则f(x)单调递增， 此时，函数f(x)有唯一极小值f(1)=a,无极大值； 若a>0,当0<x<1时，f(x)0,则f(x)单调递增，当 x>1时，(x)>0,则f(x)单调递减， 此时，函数f(x)有唯一极大值f(1)=a,无极小值； 所以当a=0时，函数f(x)无极值； 当a<0时，函数f(x)有极小值f(1)=a,无极大值； 当a>0时，函数f(x)有极大值f(1)=a,无极小值； (2)证明：由(ex1)2=(ex2)1,两边取对数可得x2(lnx 十1)=(ln+1),即n十1_l+1 当a=1时，f()=+1,f()=-, x21 由(1)可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞) 上单调递减，所以f(x)mx=f(1)=1, 而/(）=0，>1时，)>0恒成主， 因此，当a=1时，存在x1,x2且0<x1<1<x2,满足 f(x1)=f(x2), 若x2∈[2，十∞)，则x1十x2>22≥2成立： 若x2∈(1,2)，则2-x2∈(0,1)， 记g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(1,2)， 则g()=f(x)十f2-x）=2-l2->血x x2(2-x)2 ln2-2=ln-（x=1)+>0, x 即有函数g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(1) 0,即f(x)>f(2-x), 于是f(x1)=f(x2)>f(2-x2),而x2∈(1,2)，2-x,∈ (0,1),x1∈(0,1)， 函数f(x)在(0,1)上单调递增，因此x1>2-x2,即x1十 x2>2. ·49 参考答案 课时冲关21任意角和孤度制、三角函数的概念 1.C[与角紧的终边相同的角可以写成2x+要(k∈Z) 或k·360°十45°(k∈Z),但是角度制与孤度制不能混用， 排除A、B,易知D错误，C正确.] 2.A[因为角a的终边经过点P(1W5),则x=1,y=√5，r =0P=2,所以osa=号=之，ana=义=5，那么 cosa十tana= 1+25,] 2 3.A[因为角a的终边上一，点的坐标(a,2)且a是非零实 2 数，所以根据三角函数的定义知，sina= ，c0sa wa2+4 a tan a=2 √a+4 a 2 选项A,cos atan a= >0，故选项A正确；选项B, √a+4 sin acos a= 2因为口的正负不知，故选项B错误；选项 4 C,sin atan a=- 二，因为a的正负不知，故选项C错 a vaFA 误；选项D,tana= ,因为a的正负不知，故选项D错误.] a 4,C[因为点P 1在第四象限，所以根据三角函 1 数的定义可知tan0= 2 5,又9∈[0,2m),所以9 2 =11x 6 5.A[设扇形的圆心角的孤度数为日，其所在圆的半径为 w-ia 5-1,解得9=(3-5).] 6.D[如图所示，设0<a<π，0<g<π 分别是和角α，B终边相同的角，则由 角a和B的终边关于y轴对称，可得 a'十阝=π，由终边相同的角可得a十B =(2k十1)π，k∈Z.] 7.AC[因为角a是第二象限角，所以 受+2kx<e<26十k∈乙. 对于A,一0-2k<-a<-2km一受，k∈Z,故-a是第 三象限角，故A正确； 对于B,-2次r<-a<-2kx十受k∈乙，故x一a是第- 象限角，故B不正确； 对于C,-十2kx<a一经<2x-吾k∈Z,故。-受是 第三象限角，故C正确； 对于D,π十4kπ<2a<4kπ十2π，k∈Z,故2a是第三象限 角或y轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.] &.ABD[选项A,若0<a<乏，则sina<iana,A正确，选 项B,若a是第二象限角，即α∈(2kx十交，2kr十rk∈ ,则受∈（kr十牙kx+)k∈7，为第一象限或第三 1 高考总复习数学 象限角，B正确；选项C,若角a的终边过点P(3k,4k) (k≠0)，则sina= 华证拾不-龙华于专 4k C不正确；选项D,若扇形的周长为6，半径为2，则弧长 =6一2X2=2,剩圆心角的大小为号=1孤度，D正确.] 9.解析：角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合， 点P(4m,-3m)(m<0)是角a终边上的一点， .r=√(4m)十（-3m)=-5m, 2 ..2sina十cosa= -5m sin a-cos a=-3m 4m 7 -5m（-5m5 2sin atcos a 2 sina-cosa7· 答案：7 10.解析：因为点P(sin0cos8,2cos8)位于第三象限，所以 sin 0cos <0,2cos <0, 即{sin0'所以日为第二象限角. cos <0, 答案：二 11.解：设扇形的半径为r,孤长为1，周长为y,则y=1十2x 由题毫知分=25，则1=50。 所以y=0+2r≥2，√ .2r=20, 当里仅当到=2，中=5时， y取得最小值，最小值为20，此时1=10，圆心角a= =2. 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值. 1 1 12.解：1)由sina=sina得sina<0, 由lg(cosa)有意义，可知cosa>0, 所以《是第四象限角. (2)因为0M=1,所以（得）十m=1, 解得m=士手 又a为第四象限角，故m<0,从而m= 4 5 4 5=-4 sinu=÷==2 5 13.解析：设△ABC的外接圆的半径为r,则2r=AB π 605=120,得r=60, 2 因为月牙内孤所对的圆心角为2x一2X红=2红 3 31 所以内孤的弧长1=60×受=40m, 所以号形ABC的面积为 S=合×40m×60-2×60×60×sm5=120m 900√3， ·49 以AB为直径的半国的面积为立xX(30V5)2=1350, 所以该月牙泉的面积为1350π一(1200π一900√3)= 150π+900√3≈2028. 答案：2028 14.解析：如图所示，设滚动后的圆 的圆心为C, P 过，点C作x轴的垂线，垂足为 B A,过点P作x轴的垂线与过，点 A C所作y轴的垂线交于点B 2 因为圆心移动的距离为2，所以劣孤PA=2, 即国心角∠PCA=2,则∠PCB=2-受， 所以PB=sim(2-受）=-os2, CB=os(2-）-in2. 所以xp=2-CB=2-sin2, p=1+PB1=1-cos2, 所以OP=(2-sin2,1-cos2). 答案：(2-sin2,1-cos2) 课时冲关22同角三角函数基本 关系式及诱导公式 1.A[os2g=os(0x-晋）-cos号-2】 2.B[因为tan(π-a)十3=0，所以tana=3,sina=3cosa. 9 因为sina十cosa=l,所以sina=0,又因为a为锐角，故 sin a=3 10 101 3.D[因为sin(-140°)=a,则a<0, 于是可得sin40°=sin(180°-140°)=sin140°=-a,所 以tan40°=sin40° sin40° -a c0s40 √/1-sin'40° w1-a2 4B[由sim(受+a）十3cos(a-)=1.得cosa-3cosa =1,,∴.c0sa=- 之，：角a是第二象限角，sin《 2 '.tan(n+a)=tan a=sin a=-3.] cos a 5.A[由na+3cosg=5得ana十3=5，可得ama=2, 3cosa一sina 3-tan a 1 则cos'a十zsin2a=cosa+sincs g0-千8子 cos a-+sin a 6.B[由题意查表可得sin33.5°=sin33°30'=0.5519， 可得c0s416.5°=c0s(360°+56.5)=c0s56.5° =sin(90°-56.5°)=sin33.5°=0.5519.7 7.ABC[在△ABC中，有A+B十C=π，则sin(A+B)= tan(A+B)=tan(x-C)=-tanC(C≠2）：cos(A+B) =cos(π-C)=-cosC.] 2