精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

仁寿一中南校区2025级高一下学期4月月考（数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原式. 2. 为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换即可得到答案. 【详解】选项A：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项A正确； 选项B：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项B错误； 选项C：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项C错误； 选项D：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项D错误； 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再将目标式化为齐次式求解即可. 【详解】由已知得：，所以. 故选：A 4. 的内角所对的边分别为，已知，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】， 由正弦定理得. 故选：A 5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】运用数量积定义计算即可. 【详解】如图所示， 连接，，由对称性可知，， 取的中点，则，， 又因为正六边形的边长为1，所以， 所以， 故选：B． 6. 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系建立方程，再求解即得. 【详解】在中，，则， 在中，，， 解得，所以主塔. 故选：A 7. 记函数的最小正周期为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得. 【详解】函数的最小正周期，则，解得； 又，即是函数的一条对称轴， 所以，解得. 又，当时，. 故选：C. 8. 在中，，，边上的中线的长度为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，在和中，由余弦定理可得，结合在中，利用余弦定理，即可求出的值，从而得出答案. 【详解】设， 由为边上的中线，则 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得 因为，可得，即 在中，由余弦定理得 代入可得，解得或（舍），即 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】因为，，所以， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为，所以与平行且方向相反，故D正确． 故选：D． 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据单位向量判断A；由向量的减法判断B；由向量的夹角，数量积的定义判断C，D即可. 【详解】对于A，与共线的单位向量为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以且，所以为钝角，所以C正确； 对于D，若是等边三角形，则，的夹角为，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的值域为 D. 若时，在区间上单调，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的周期是函数周期的一半，可判断A选项； 将代入函数解析式求值，判断是否为函数的对称轴； 对于C：将函数化简得到，接着利用换元法求得值域即可； 对于D选项：时，在区间上单调，可得或，最后求得的取值范围. 【详解】因为函数的最小正周期为， 而函数周期为，故A错误； 当时，， 所以直线是图象的一条对称轴，故B正确； 化简整理得：， 令，则， 且， 所以， 二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 所以函数的值域为，故C正确； 时，在区间上单调， 即， 所以或 解得或，故D错误. 故选：BC. 【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． （教材例题） 12. 值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意有， 故答案为：. 13. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，再结合投影向量的定义得出答案. 【详解】因为，则，解得， 由于，所以在方向上的投影向量即为， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化简计算，可求解，再由余弦定理列式求解答案. 【详解】∵，∴， ∴， 即，∵，∴，即. ∵，∴，又，， ∴， 整理可得，∴. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (教材必修二P60T7改编) 15. 已知三个顶点的坐标分别为. （1）求的值. （2）若点在x轴上，且为钝角，求点的横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题设有， 故. 【小问2详解】 设，则， 由为钝角，得，解得， 若与共线，则即, 故点E的横坐标的取值范围是. （教材改编） 16. 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1） （2），对应的的取值集合为 【解析】 【小问1详解】 ， 令，则， 故的对称轴方程； 【小问2详解】 由可得， 当即时，函数取得最小值． 所以，对应的的取值集合为 17. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 已知，，分别为△三个内角，，的对边, （1）从下列中选择一个证明： ①证明：；②证明： （2），，△的面积为，求. 【答案】（1）选择见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）选择①，分角都是锐角；角一个是钝角，一个是锐角；角一个是直角，一个是锐角三种情况，结合向量数量积运算证明即可； 选择②，设，，，则，再结合数量积运算证明即可； （2）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，进而求得，再结合已知求得，最后根据面积，结合余弦定理建立方程并求解即可. 【小问1详解】 证明：若选择①，当角都是锐角，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为， 因为， 所以， ，即 ，即； 当角一个是钝角，一个是锐角，不妨设为钝角， 如图，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为， 因为， 所以， ，即 ，即； 当角一个是直角，一个是锐角，不妨设为直角， 如图，易知，即，又，所以， 所以， 综上，成立. 若选择②，如图，设，，， 则，两边平方后， 则，即 【小问2详解】 解：由正弦定理知：，又， 所以，即，又， 所以，即，又， 所以，则. 因为，所以（为△外接圆半径）， 所以，又，所以，即， 因为△的面积为， 所以，即， 将代入，整理得：，则，即，故. 19. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长的范围； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角变换公式化简题设条件可得，从而可求； （2）利用正弦定理可得，再利用三角变换公式化简后可求的取值范围，从而可得周长的取值范围； （3）由角平分线的性质可得，两次利用余弦定理可求的值. 【小问1详解】 由和正弦定理， 可得， 因， 代入可得， 因，则，故， 又因，故； 【小问2详解】 由正弦定理有， 所以，而， 所以 因为，故，故， 故，即周长的取值范围为. 【小问3详解】 如图，因平分，且， 由角平分线的性质可得，即， 在中，由余弦定理，， 即得，则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2025级高一下学期4月月考（数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 的内角所对的边分别为，已知，（ ） A. B. C. D. 5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（ ）． A. B. C. D. 7. 记函数的最小正周期为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，边上的中线的长度为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的值域为 D. 若时，在区间上单调，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． （教材例题） 12. 值是________． 13. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 14. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (教材必修二P60T7改编) 15. 已知三个顶点的坐标分别为. （1）求的值. （2）若点在x轴上，且为钝角，求点的横坐标的取值范围. （教材改编） 16. 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 17. 如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 18. 已知，，分别为△三个内角，，的对边, （1）从下列中选择一个证明： ①证明：；②证明： （2），，△的面积为，求. 19. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长的范围； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $