专题09 同底数幂的乘法 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（浙教版）

3.1同底数幂的乘法 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 2 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 2 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 3 【题型4 幂的乘方运算】 3 【题型5 幂的乘方的逆用】 4 【题型6 积的乘方运算】 4 【题型7 积的乘方的逆用】 4 【解答题】 5 · 1. 理解同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，掌握法则的推导过程，明确适用条件。 · 2. 能熟练运用三个法则进行基础运算，准确判断运算类型并规范解题。 · 3. 掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用技巧，能解决求值、化简等相关问题。 · 4. 会运用同底数幂乘法法则解决科学记数法表示的数的乘法问题，提升运算应用能力。03 知识•梳理 知识点1：同底数幂的乘法 1. 法则：（、为正整数） 2. 关键要点：① 底数相同（如，底数均为2）；② 指数相加（而非相乘）；③ 底数可为正数、负数，也可为单项式、多项式；④ 法则可推广：（、、为正整数）。 知识点2：幂的乘方 1. 法则：（、为正整数） 2. 关键要点：① 底数不变，指数相乘（区别于同底数幂乘法的“指数相加”）；② 可推广：；③ 注意与同底数幂乘法区分（如，而非）。 知识点3：积的乘方 1. 法则：（为正整数） 2. 关键要点：① 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；② 可推广：；③ 注意符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负（如）。 知识点4：科学记数法与同底数幂乘法 1. 科学记数法形式：（其中，为整数）。 2. 运算技巧：两个用科学记数法表示的数相乘，先将部分相乘，再将的幂部分按同底数幂乘法法则计算，最终整理为规范科学记数法形式。 知识点5：逆用法则总结 1. 同底数幂乘法逆用：（用于拆分幂、求值）； 2. 幂的乘方逆用：（用于转化幂的形式）； 3. 积的乘方逆用：（用于合并因式、简化计算）。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 解题思路：1. 先判断是否为同底数幂（底数完全相同，符号、系数一致）；2. 若底数不同，尝试转化为相同底数（如）；3. 严格遵循法则，底数不变，指数相加；4. 化简结果（注意符号、系数整理）。 【典例1】．已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 跟随训练1-1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列与算式的运算结果相等的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-3．已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 解题思路：1. 拆分两个数：将每个数拆分为“部分”和“部分”；2. 分别计算：先算两个部分的乘积，再算两个部分按同底数幂乘法法则计算；3. 规范结果：将乘积整理为（）的形式，若，调整指数。 【典例2】．某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知，则图中的U盘容量是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-3．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 解题思路：1. 观察所求式子的指数，将其拆分为两个（或多个）指数之和（拆分后需与已知条件对应）；2. 逆用法则，将所求幂拆分为两个同底数幂的乘积；3. 代入已知条件（如已知、的值），计算得出结果。 【典例3】．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 跟随训练3-1．若，则等于（   ） A．8 B．15 C．6 D．10 跟随训练3-2．若，则__________． 跟随训练3-3．若，则__． 【题型4 幂的乘方运算】 解题思路：1. 识别运算类型（底数是一个幂的形式，如）；2. 严格遵循法则，底数不变，指数相乘（注意区分“指数相乘”与“指数相加”，避免与同底数幂乘法混淆）；3. 若有多重乘方（如），从内到外依次运算，指数连续相乘。 【典例4】．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 跟随训练4-2．计算的结果为________． 跟随训练4-3．已知，，m，n为正整数，求=________． 【题型5 幂的乘方的逆用】 解题思路：1. 观察所求式子的指数，将其拆分为两个（或多个）指数的乘积（拆分后需适配已知条件）；2. 逆用法则，将所求幂转化为幂的乘方形式；3. 代入已知条件，计算得出结果（可灵活选择转化形式，简化计算）。 【典例5】．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 跟随训练5-2．已知，，则____________________． 跟随训练5-3．已知，，则代数式的值为________． 【题型6 积的乘方运算】 解题思路：1. 识别运算类型（底数是两个或多个因式的积，如）；2. 遵循法则，将积的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；3. 注意符号运算：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；4. 若有多个因式（如），每个因式分别乘方后再相乘。 【典例6】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 跟随训练6-2．已知实数、、存在数量关系，求________． 跟随训练6-3．计算：①_________．②已知，，则________． 【题型7 积的乘方的逆用】 解题思路：1. 观察所求式子，找出两个（或多个）幂的指数相同的部分；2. 逆用法则，将指数相同的幂合并为一个积的乘方形式；3. 简化计算（若积为整数或简单代数式，可先计算积，再乘方，提升运算效率）。 【典例7】．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 跟随训练7-1．（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-3．计算：______． 【解答题】 跟随训练1．计算： (1)； (2)． 跟随训练2．已知，，求的值； 跟随训练3．计算 (1)若，求的值． (2)已知n为正整数，且，求的值； 跟随训练4．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①_____________  ②_____________； (2)计算：_____________； (3)记，，．求证：． 跟随训练5．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 跟随训练6．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 跟随训练7．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 05 过关•检测 1．已知，，则的值是（    ） A．2 B．1 C．0 D．12 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．定义一种新的运算：一般地，如果，那么叫做以为底的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，那么会有．求（    ） A．21 B．19 C．17 D．15 4．下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 5．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 6．若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．1 7．计算______． 8．若，则___________ 9．已知，则__________． 10．已知x满足，则___________． 11．已知则a、b、c的大小关系是________．（用“<”连接） 12．若，，m，n为正整数，则______． 13．已知，求下面的值． (1) (2) 14．计算． (1)； (2)． 15．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)________；若，则________； (2)已知，，，试求，，满足的数量关系． 16．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 17．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 18．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 19．某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1同底数幂的乘法 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 2 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 3 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 4 【题型4 幂的乘方运算】 5 【题型5 幂的乘方的逆用】 6 【题型6 积的乘方运算】 7 【题型7 积的乘方的逆用】 9 【解答题】 10 · 1. 理解同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，掌握法则的推导过程，明确适用条件。 · 2. 能熟练运用三个法则进行基础运算，准确判断运算类型并规范解题。 · 3. 掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用技巧，能解决求值、化简等相关问题。 · 4. 会运用同底数幂乘法法则解决科学记数法表示的数的乘法问题，提升运算应用能力。03 知识•梳理 知识点1：同底数幂的乘法 1. 法则：（、为正整数） 2. 关键要点：① 底数相同（如，底数均为2）；② 指数相加（而非相乘）；③ 底数可为正数、负数，也可为单项式、多项式；④ 法则可推广：（、、为正整数）。 知识点2：幂的乘方 1. 法则：（、为正整数） 2. 关键要点：① 底数不变，指数相乘（区别于同底数幂乘法的“指数相加”）；② 可推广：；③ 注意与同底数幂乘法区分（如，而非）。 知识点3：积的乘方 1. 法则：（为正整数） 2. 关键要点：① 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；② 可推广：；③ 注意符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负（如）。 知识点4：科学记数法与同底数幂乘法 1. 科学记数法形式：（其中，为整数）。 2. 运算技巧：两个用科学记数法表示的数相乘，先将部分相乘，再将的幂部分按同底数幂乘法法则计算，最终整理为规范科学记数法形式。 知识点5：逆用法则总结 1. 同底数幂乘法逆用：（用于拆分幂、求值）； 2. 幂的乘方逆用：（用于转化幂的形式）； 3. 积的乘方逆用：（用于合并因式、简化计算）。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 解题思路：1. 先判断是否为同底数幂（底数完全相同，符号、系数一致）；2. 若底数不同，尝试转化为相同底数（如）；3. 严格遵循法则，底数不变，指数相加；4. 化简结果（注意符号、系数整理）。 【典例1】．已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 跟随训练1-1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式是8个相加，可得，可化为，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 跟随训练1-2．下列与算式的运算结果相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可. 【详解】解：. 跟随训练1-3．已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将拆分为，代入已知幂的形式，对比指数即可得到等量关系． 【详解】解：， ， 可得， 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加， 得， 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 解题思路：1. 拆分两个数：将每个数拆分为“部分”和“部分”；2. 分别计算：先算两个部分的乘积，再算两个部分按同底数幂乘法法则计算；3. 规范结果：将乘积整理为（）的形式，若，调整指数。 【典例2】．某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将工作时间的单位由分钟换算为秒，再计算总运算次数，最后转化为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 分钟秒， ∴ 工作分钟的总时间为秒， 则计算总运算次数． 跟随训练2-1．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总数据条数每秒处理数据条数运行时间”列式，计算后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：． 跟随训练2-2．U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知，则图中的U盘容量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用同底数幂乘法求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 跟随训练2-3．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的实际应用，熟练掌握运算法则，根据题意列关系式是解题的关键．根据公式“距离速度时间”，然后根据同底数幂相乘等于底数不变，指数相加的原则进行计算，最终再把结果用科学记数法，其中的形式表示即可． 【详解】解：有题意可知，该天体与地球的距离为（米）． 故答案为：． 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 解题思路：1. 观察所求式子的指数，将其拆分为两个（或多个）指数之和（拆分后需与已知条件对应）；2. 逆用法则，将所求幂拆分为两个同底数幂的乘积；3. 代入已知条件（如已知、的值），计算得出结果。 【典例3】．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 跟随训练3-1．若，则等于（   ） A．8 B．15 C．6 D．10 【答案】B 【分析】逆用同底数幂乘法法则即可计算出结果. 【详解】解：∵ ，， ∴ 跟随训练3-2．若，则__________． 【答案】6 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将变形为，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则得 将，代入得， ． 跟随训练3-3．若，则__． 【答案】12 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，将变形为已知幂的乘积，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【题型4 幂的乘方运算】 解题思路：1. 识别运算类型（底数是一个幂的形式，如）；2. 严格遵循法则，底数不变，指数相乘（注意区分“指数相乘”与“指数相加”，避免与同底数幂乘法混淆）；3. 若有多重乘方（如），从内到外依次运算，指数连续相乘。 【典例4】．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴， ∴． 跟随训练4-1．若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】先将所求式子的底数统一为2，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形，结合已知等式代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴ . 跟随训练4-2．计算的结果为________． 【答案】 【详解】解：． 跟随训练4-3．已知，，m，n为正整数，求=________． 【答案】/ 【分析】先将已知条件中转化为以为底的幂，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴将，代入得： 原式． 【题型5 幂的乘方的逆用】 解题思路：1. 观察所求式子的指数，将其拆分为两个（或多个）指数的乘积（拆分后需适配已知条件）；2. 逆用法则，将所求幂转化为幂的乘方形式；3. 代入已知条件，计算得出结果（可灵活选择转化形式，简化计算）。 【典例5】．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方的逆运算法则，将三个数化为指数相同的形式（指数都为11），再通过比较底数大小得到原数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 跟随训练5-1．已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且， 又∵，， ∴． 跟随训练5-2．已知，，则____________________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是根据已知条件，得到，再根据幂的运算，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 跟随训练5-3．已知，，则代数式的值为________． 【答案】12 【分析】将所求代数式利用幂的运算法则变形，代入已知条件计算即可得到结果； 【详解】解：根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则，得：， 将，代入，得：． 【题型6 积的乘方运算】 解题思路：1. 识别运算类型（底数是两个或多个因式的积，如）；2. 遵循法则，将积的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；3. 注意符号运算：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；4. 若有多个因式（如），每个因式分别乘方后再相乘。 【典例6】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 跟随训练6-1．若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【分析】利用幂的运算法则将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 跟随训练6-2．已知实数、、存在数量关系，求________． 【答案】144 【分析】先利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将进行变形，转化为含和的形式，再代入，计算． 【详解】解：∵， ∴． 跟随训练6-3．计算：①_________．②已知，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． ①运用积的乘方法则计算； ②运用幂的乘方法则求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：①， 故答案为：； ②∵， ∴，即， ∴， 故答案为：54． 【题型7 积的乘方的逆用】 解题思路：1. 观察所求式子，找出两个（或多个）幂的指数相同的部分；2. 逆用法则，将指数相同的幂合并为一个积的乘方形式；3. 简化计算（若积为整数或简单代数式，可先计算积，再乘方，提升运算效率）。 【典例7】．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：． 跟随训练7-1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先拆分指数，再逆用积的乘方解答，然后合并同指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 跟随训练7-2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 故选：D 跟随训练7-3．计算：______． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行简便计算即可. 【详解】解：原式. 【解答题】 跟随训练1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再合并同类项即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练2．已知，，求的值； 【答案】27 【分析】根据同底数幂的乘法逆运算推出，利用幂的乘方的逆运算推出，再代入式子求解，即可解题． 【详解】解：， ∴， ． ， ． 跟随训练3．计算 (1)若，求的值． (2)已知n为正整数，且，求的值； 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由题意得，将变形为即可解答； （2）根据幂的乘方公式将转化成，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：由得， （2） 跟随训练4．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①_____________  ②_____________； (2)计算：_____________； (3)记，，．求证：． 【答案】(1)① ② (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义计算即可； （2）设，，根据“雅对”的定义可得：，逆用同底数幂的乘法法则可得：，所以； （3）根据“雅对”的定义可得：，所以有． 【详解】（1）①解：， ； ， ； （2）解：设，， ， 即，， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 跟随训练5．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 跟随训练6．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 跟随训练7．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】 【分析】按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴． 05 过关•检测 1．已知，，则的值是（    ） A．2 B．1 C．0 D．12 【答案】D 【分析】利用幂的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，对所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 又，， 代入原式得，． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A．，A错误； B．，B错误； C．，C错误； D．，D正确． 3．定义一种新的运算：一般地，如果，那么叫做以为底的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，那么会有．求（    ） A．21 B．19 C．17 D．15 【答案】C 【分析】把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A：，结果是，符合题意； B：，结果不是，不符合要求； C：，结果不是，不符合要求； D：，结果不是，不符合要求． 5．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将倍数“1000万亿”转化为科学记数形式，再结合太阳质量计算星系团质量即可． 【详解】解：∵万亿，太阳质量约为， ∴该星系团质量为． 6．若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先推导出，，得到，求出x，y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 7．计算______． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：． 8．若，则___________ 【答案】6 【分析】利用同底数幂的乘法法则得到指数关系，即可求出的值． 【详解】解： ∴． 9．已知，则__________． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方法则把原式变为，得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得． 10．已知x满足，则___________． 【答案】4 【分析】利用同底数幂的乘法法则将方程左边变形，提取公因式化简后，根据同底数幂相等则指数相等求解x即可． 【详解】解：原方程根据同底数幂的乘法法则，变形为， 提取：得， 整理得， 即， 由同底数幂相等，底数为正且不等于1，则指数相等，可得， 解得 ． 11．已知则a、b、c的大小关系是________．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据幂的乘方进行变形统一为同底数幂即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 12．若，，m，n为正整数，则______． 【答案】 【分析】本题可利用同底数幂的乘法法则对所求式子变形，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴． 13．已知，求下面的值． (1) (2) 【答案】(1)17 (2)108 【分析】（1）逆用幂的乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：， ∴． 14．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)________；若，则________； (2)已知，，，试求，，满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）、根据新定义解答即可； （2）、先根据新定义得，再根据，结合同底数幂相乘法则整理即可． 【详解】（1）解：∵，我们规定，， ∴，． （2）解：∵，我们规定，，，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 16．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 17．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 18．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 19．某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， 又， ， 即． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $