专题3.2 整式的乘法（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题3.2 整式的乘法 教学目标 （1）理解整式乘法的本质（转化为同底数幂的乘法、乘法分配律的应用），掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。 （2）能熟练运用整式乘法法则进行准确计算，能处理含字母、特殊值（负数、0）的整式乘法，掌握去括号、合并同类项的后续步骤。 （3）区分整式乘法与整式加法的异同，避免混淆运算法则，能解决简单的整式乘法应用题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，理解法则的推导逻辑。 （2）能熟练运用法则进行整式乘法运算，规范书写步骤，准确进行去括号、合并同类项。 2.难点 （1）多项式乘多项式法则的推导与灵活运用：理解“转化为单项式乘多项式”的思路，避免漏乘、符号错误（如负号分配律的应用）。 （2）整式乘法与同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的综合运用，区分不同运算的法则，避免混淆。 （3）处理复杂整式乘法（如含多个字母、混合运算、结合实际问题的整式乘法），提升运算的准确性和灵活性。 知识点01 单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【即学即练】 1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点02 单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【即学即练】 1.化简： (1) (2) (3) 知识点03 多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【即学即练】 1．计算：． 2．现有A，B，C三种型号的地砖，其规格如图所示，若用这三种地砖铺设一个长为，宽为的长方形地面，请你计算说明需要A，B，C种地砖各多少块？ 3．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 题型1 单项式乘单项式 【典例1】计算：________． 【变式1】计算：________． 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算： (1)． (2) 题型2 单项式乘多项式及求值 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】已知，则式子的值为_______． 题型3 单项式乘多项式的应用 【典例3】如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式1】如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（   ）元 A． B． C． D． 【变式3】如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 题型4 计算多项式乘多项式 【典例4】计算： (1) (2) 【变式1】化简：． 【变式2】计算： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 多项式乘多项式--化简求值 【典例5】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【变式2】先化简再求值：，其中，． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例6】若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【变式1】关于的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【变式2】已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式3】若的计算结果中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 题型7多项式乘多项式与图形面积 【典例7】学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【变式1】如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的出行便利，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖宽度均为b米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米（用含a，b的算式表示）？ (2)若修两竖一横宽度均为b米的通道（如图2），草坪面积减少了，已知，则图2中草地的面积是多少平方米？ 【变式2】计算：如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，求的值． 【变式3】甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面积分别为． (1)用含m的代数式表示：_______，_______；（结果化为最简） (2)_______（选填“<”“>”或“=”）； (3)①求甲、乙两个长方形的周长之和； ②若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，正方形的面积为，若，求的值． 题型8 多项式乘法中的规律性问题 【典例8】（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【变式1】观察下列两位数相乘的运算规律： ， ， ， …… (1)按照以上规律计算：_______=______． (2)设这两个两位数的十位上的数字为（为小于10的正整数），请用含的等式表示上述运算规律，并加以证明． 【变式2】探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 【变式3】阅读下列材料，回答问题． “杨辉三角”是我国人类史上无比睿智的成就，我国记载最早发现的时间比西方国家早400多年，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中的第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． (1)第5行的5个数分别是 ； (2) ； (3) ． 1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．数学课上，小杰发现黑板上一道题目中的一部分被擦掉了：．被擦掉的部分为（    ） A．x B．3x C．y D．3y 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 5．若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．2 5．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 6．计算：______． 7．若，则□内应填写___________． 8．如果用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长、宽分别为的长方形纸片，拼成一个长为，宽为的大长方形，则_____，_____，_____． 9．计算下列各式： (1)； (2) 10．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 11．通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式：_________； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值； (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 整式的乘法 教学目标 （1）理解整式乘法的本质（转化为同底数幂的乘法、乘法分配律的应用），掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。 （2）能熟练运用整式乘法法则进行准确计算，能处理含字母、特殊值（负数、0）的整式乘法，掌握去括号、合并同类项的后续步骤。 （3）区分整式乘法与整式加法的异同，避免混淆运算法则，能解决简单的整式乘法应用题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，理解法则的推导逻辑。 （2）能熟练运用法则进行整式乘法运算，规范书写步骤，准确进行去括号、合并同类项。 2.难点 （1）多项式乘多项式法则的推导与灵活运用：理解“转化为单项式乘多项式”的思路，避免漏乘、符号错误（如负号分配律的应用）。 （2）整式乘法与同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的综合运用，区分不同运算的法则，避免混淆。 （3）处理复杂整式乘法（如含多个字母、混合运算、结合实际问题的整式乘法），提升运算的准确性和灵活性。 知识点01 单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【即学即练】 1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则，分步处理系数相乘、同底数幂相乘及符号判断，避免运算顺序或符号错误； （1）利用同底数幂相乘（底数不变，指数相加），最后确定符号（异号得负）； （2）利用同底数幂相乘计算即可； （3）利用同底数幂相乘计算即可； （4）利用同底数幂相乘计算即可； （5）先根据积的乘方和同底数幂相乘计算即可； （6）先分别根据积的乘方计算，再将两个结果相乘，利用同底数幂的乘法运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 知识点02 单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【即学即练】 1.化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点03 多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．现有A，B，C三种型号的地砖，其规格如图所示，若用这三种地砖铺设一个长为，宽为的长方形地面，请你计算说明需要A，B，C种地砖各多少块？ 【答案】A型地砖3块，B型地砖5块，C型地砖2块 【分析】本题考查多项式乘多项式，正确进行计算是解题关键．先求出，进而可得出答案． 【详解】解：， 又∵A型地砖面积为，B型地砖面积为，C型地砖面积为 ∴需要A型地砖3块，B型地砖5块，C型地砖2块． 3．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 题型1 单项式乘单项式 【典例1】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需运用系数相乘和同底数幂相乘的法则进行计算． 【详解】解：； 故答案为． 【变式1】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式运算法则，熟练掌握计算法则是解答该题的关键；先将系数相乘，再把同底数幂相乘，和保持不变，各项作结果的因式即可． 【详解】计算过程如下： 系数相乘： 同底数幂相乘： 和保持不变 所以， 故答案为． 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘以单项式，需将系数相乘，同底数幂相乘时，底数不变指数相加，据此写出答案即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3】计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，单项式乘单项式，多项式乘多项式． （1）根据积的乘方计算和，再进行单项式乘法运算即可； （2）先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘积，最后将系数与幂相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型2 单项式乘多项式及求值 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）先根据单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）使用乘法分配律将单项式与多项式相乘，展开后合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式3】已知，则式子的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，单项式乘以多项式．将所求代数式化简后，利用已知方程整体代入求值． 【详解】解∶由得， 则． 故答案为：． 题型3 单项式乘多项式的应用 【典例3】如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)（平方米）． 【分析】本题考查整式的乘法运算及求值，解题的关键是根据长方形面积公式，用大长方形面积减去小长方形面积得到阴影部分面积表达式，再代入求值． （1）利用长方形面积公式分别求出大，小长方形面积．用大长方形面积减去小长方形面积得出阴影部分面积表达式． （2）将的值代入表达式求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据题意，得 平方米． （2）当，时， （平方米）． 【变式1】如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 【变式2】如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（   ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．根据题意和图形中的数据，可以计算出买砖至少需用花费的钱数． 【详解】解：由图可得， 买砖至少需用： （元）， 故选：A． 【变式3】如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 【答案】(1)平方米 (2)4平方米 【详解】解：（1）由图可知：厨房长为米，宽为米，这块土地的总面积为： 平方米， 答：这块土地的总面积是平方米． （2）当米，米时，厨房用地面积为： （平方米）． 答：厨房的用地面积为4平方米． 题型4 计算多项式乘多项式 【典例4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先进行多项式乘以多项式运算，再去括号，最后进行加减运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式运算法则：“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加”，是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （4）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型5 多项式乘多项式--化简求值 【典例5】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，化简求值，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 本题可先根据多项式乘法法则将式子展开，然后合并同类项进行化简，最后将和的值值代入化简后的式子求值． 【详解】解： 把，代入可得： ． 【变式2】先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以多项式的计算，再合并同类项，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例6】若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 【变式1】关于的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则是关键； （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 【变式2】已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，不含项的理解，解一元一次方程，求代数式的值等． （1）先将整式展开后得，再由常数项为得，继而求得，后得到本题答案； （2）先将整式乘法计算完成得，再代入（1）中的数值即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∵的展开式中不含项， ∴， ∵常数项是， ∴，即：， ∴， ∴ （2）解：由（1）得，， ∴， ∴． 【变式3】若的计算结果中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的运算以及计算结果中不含与项即可得到答案； （2）将代入式子计算即可． 【详解】（1）解：原式， 计算结果中不含与项， ， 解得； （2）解：将代入， 原式 ． 题型7多项式乘多项式与图形面积 【典例7】学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 【变式1】如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的出行便利，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖宽度均为b米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米（用含a，b的算式表示）？ (2)若修两竖一横宽度均为b米的通道（如图2），草坪面积减少了，已知，则图2中草地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键． （1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． （2）根据图2比图1中草坪面积减少了，可得，将代入图2中草地的面积的代数式即可． 【详解】（1）解： ， 即剩余草坪的面积是平方米； （2）解：由题意知，图2比图1中草坪面积少：（平方米）， ， ， （平方米）， 即图2中草地的面积为平方米． 【变式2】计算：如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式的应用，根据已知条件列出代数式是解题的关键． （1）利用长方形面积减去大三角形的面积减去小三角形的面积，据此列出面积的代数式即可 （2）将代入（1）中的阴影部分的面积的代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知：阴影部分的面积为： 答：阴影部分的面积； （2）解：将代入得： ， 答：的值为． 【变式3】甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面积分别为． (1)用含m的代数式表示：_______，_______；（结果化为最简） (2)_______（选填“<”“>”或“=”）； (3)①求甲、乙两个长方形的周长之和； ②若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，正方形的面积为，若，求的值． 【答案】(1)； (2)< (3)①；② 【分析】本题考查了列代数式、多项式乘多项式，整式的四则混合运算，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式，并整理即可求解； （2）利用作差法比较两个式子大小即可求解； （3）①根据长方形的周长公式列式即可求解；②结合①计算出，再把的值代入即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 故答案是：． （3）解：①周长之和：， ②正方形的边长为：， 当时， ． 题型8 多项式乘法中的规律性问题 【典例8】（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【答案】（1）；；；；（2）发现的规律为（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。 （2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。 （3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。 【详解】（1）解：； ； ； ； …… 故答案为：；；； （2）解：根据以上等式发现：，理由如下： ∵左边 右边， ∴； （3）解： 【变式1】观察下列两位数相乘的运算规律： ， ， ， …… (1)按照以上规律计算：_______=______． (2)设这两个两位数的十位上的数字为（为小于10的正整数），请用含的等式表示上述运算规律，并加以证明． 【答案】(1)；2024 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）观察题目给出的示例，发现规律为：十位数字相同、个位为4和6的两位数相乘，计算方式是“十位数字×（十位数字+1）”． （2）用含a的式子表示这两个两位数，分别为和．根据示例规律写出等式，将左边展开化简，最终得到与右边完全相同的表达式，从而证明规律成立． 【详解】（1）解：按照以上规律计算： ， 故答案为：；2024 （2）解：规律： 证明：左边 右边 ∴左边=右边，等式成立． 【变式2】探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 【答案】(1) (2)31 (3) (4) 【分析】此题考查代数式的计算规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知条件即可得到规律； （2）根据，由题中规律即可计算； （3）题中已知条件的规律即可归纳出一般性规律即，将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可得到答案； （4）将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可求解． 【详解】（1）解：由前三个等式可知：． （2） ； （3）由已知等式可得： 依题意得： ， （4） ． 【变式3】阅读下列材料，回答问题． “杨辉三角”是我国人类史上无比睿智的成就，我国记载最早发现的时间比西方国家早400多年，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中的第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． (1)第5行的5个数分别是 ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)1，4，6，4，1 (2) (3) 【分析】本题考查了“杨辉三角”的规律相关知识，理解规律并会用整体思想求值是解题的关键． （1）根据“杨辉三角”的规律，写出第5行的5个数即可； （2）展开式中各项的系数为“杨辉三角”中第5行的数字，根据“杨辉三角”的规律展开即可； （3）根据“杨辉三角”的规律，将看作一整体，将展开，并化简． 【详解】（1）解：由题知， 第5行的5个数分别是：1，4，6，4，1． 故答案为：1，4，6，4，1； （2）解：由题知， 展开式中各项的系数为“杨辉三角”中第5行的数字， 所以， 故答案为：； （3）解：由题知， “杨辉三角”中第6行的6个数分别是：1，5，10，10，5，1． 又因为，且此展开式中各项的系数为“杨辉三角”中第6行的数字， 所以 ． 故答案为：． 1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 2．数学课上，小杰发现黑板上一道题目中的一部分被擦掉了：．被擦掉的部分为（    ） A．x B．3x C．y D．3y 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式的运算法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及多项式恒等式．通过展开左边多项式并与右边比较系数，可求出的值． 【详解】解：，， ， 比较系数得， 故选：． 4．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键．直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故选：A． 5．若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法与不含某项的条件，关键是先展开多项式，再令目标项的系数为0，从而求解参数值． 【详解】解：先展开多项式：， 因为展开式中不含项，所以一次项的系数为，即： 解得：. 故选：C． 5．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用；根据题意有，根据可表示为或或三种形式，则可得到长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为，进而可作出判断． 【详解】解：取出1张型卡片，12张型卡片，其面积和为； 而可表示为或或三种形式， 对应地，长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为， 此时，，， 则可以取13张或8张或7张B型卡片； 当取6张B型卡片时，其面积为，所取三种卡片不能拼成一个长方形． 故选：A． 6．计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．若，则□内应填写___________． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．通过展开左边多项式乘积，合并同类项，得到的系数，即可求解． 【详解】解： 与右边对比，可得内应填写 故答案为：． 8．如果用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长、宽分别为的长方形纸片，拼成一个长为，宽为的大长方形，则_____，_____，_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．根据拼接前后纸片的总面积相等进行求解即可． 【详解】解：依题意， ∴，， 故答案为：，，． 9．计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂运算法则、幂的乘方运算法则及积的乘方运算法则分别计算，再合并即可； （2）根据多项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 10．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 11．通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式：_________； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值； (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1) (2)30 (3)16 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）用两种方式分别表示出大正方形的面积，即可得解； （2）根据（1）中得到的公式，计算即可得解； （3）由题意可得，将左边的式子展开，与右边对应相等得出，，，代入代数式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积可以表示为：， 大正方形的面积还可以表示为：， 故； （2）解：由（1）得： 又因为，， 所以； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴，，， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $