第05讲 二元一次方程组的应用与三元一次方程组及其解法（知识详解+14典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 二元一次方程组的应用与三元一次方程组及其解法 （知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】列二元一次方程组解决实际问题的步骤 1.当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。要注意的是，必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，才能组成二元一次方程组。 2.列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： （1）理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系； （2）制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； （3）执行计划：列出方程组并求解，得到答案； （4）回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。 注意：（1）一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组。 （2）设未知数及写答时，都要写清单位。 【知识点02】三元一次方程（组）及其解的概念 1.三元一次方程：和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。 2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。例如， 就是三元一次方程组。每一个方程中不一定都含有三个未知数，只要保证方程组中一共有三个未知数即可 三元一次方程组必须同时满足三个条件 （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是一次； （3）有三个方程。 3.三元一次方程组的解：同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。 【知识点03】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 2.解三元一次方程组的一般步骤： （1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 （2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。 （3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，得到一个一元一次方程。 （4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值。 （5）写解：将求得的三个未知数的值用“{ ”写在一起。 【题型一】根据几何图形列二元一次方程组 例1．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 一个小长方形花圃的面积为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的周长为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·浙江·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 【答案】任务；任务2：2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒子；任务3：的最小值是11，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、其他问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：先算出小正方形的边长，再根据长方体体积公式求解； 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)，由于一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则得到两个约束条件，再分类讨论即可； 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张．则小长方形有：张，小正方形有：张，因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，所以，即，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得小正方形纸板的边长是， 所以横式无盖纸盒的体积; 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)， ∵一张甲方法裁剪的纸板有1个小正方形和5个小长方形，一张乙方法裁剪的纸板有4个小正方形和4个小长方形，则小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵， ∴最多能搭成4个纸盒； 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵，， ∴最多能搭成4个纸盒， ∴2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒 子 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张． 则小长方形有：张， 小正方形有：张， 因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完， 所以，即， 因为是整数，， 所以，的最小值是11， 此时，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【题型二】根据实际问题列二元一次方程组 例2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．根据题意，每个人看不到自己戴的帽子，男生看到其他男生的蓝帽子和所有女生的红帽子，女生看到所有男生的蓝帽子和其他女生的红帽子，据此列出方程． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个， 男生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍， 女生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 因此方程组为， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，每只蝴蝶有6条腿，2对翅膀，每只鸟有2条腿，1对翅膀，现有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，则可列出方程组 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据现有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，列出方程，即可求解． 【详解】解：有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，由题意得， ， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗? 【答案】男孩有21人，女孩有10人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据每位男孩看到蓝色游泳帽是红色游泳帽的2倍，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得游泳池里男孩和女孩各几人，本题得以解决． 【详解】解：设男孩人，女孩人，根据题意得： ， 解得，， 答：游泳池里男孩21人，女孩10人． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 【题型三】分配问题(二元一次方程组的应用) 例3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 变式1．（2023七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 【答案】 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型四】图表信息题(二元一次方程组的应用) 例4．（22-23七年级下·浙江台州·期中）某同学去蛋糕店买面包，面包有A，B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下： A包装盒 B包装盒 每盒面包个数（个） 3 8 每盒价格（元） 5 11 若某同学正好买了50个面包，则他最少需要花（   ）元； A．71 B．74 C．75 D．81 【答案】B 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，由题意：某同学正好买了50个面包，结合表中信息列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题． 【详解】解：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒， 由题意得： 3x + 8y= 50， ∵x、y为非负整数 ∴ 或 ， ∴当x=6，y= 8时， 费用为：5×6+11×4= 74(元)； 当x= 14，y= 1时，费用为：5×14+11×1= 81(元)； ∵74<81， ∴某同学正好买了50个面包，则他最少需要花74元 故选： B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．    【答案】 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 【题型五】行程问题(二元一次方程组的应用) 例5．（23-24七年级下·浙江台州·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据速度时间路程，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米． 【答案】 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解，理清题中的数量关系，正确列出方程组是解题的关键. 【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完， 如图，设，， 根据题意得，， 解得， ∴最远为千米， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 【答案】从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得， 解得： 答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型六】工程问题(二元一次方程组的应用) 例6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【答案】(1)①表示工程队的工作时间；②表示工程队工作时间；③表示工程队的工作量；④表示工程队的工作量． (2)；． (3) 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意及二元一次方程组可知表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间，表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）根据工程队完成原计划河道整治任务可知工程队的完成的任务为米进而即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴表示工程队的工作时间，表示工程队的工作时间， 故答案为：表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间； ∵， ∴表示工程队的工作量，表示工程队的工作量， 故答案为：表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 设工程队的工作量为米，工程队的工作量为米， ∵两个工程队的工作总量为米，两队的工作时间为天， ∴， （3）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 解得：， ∵工程队完成原计划河道整治任务， ∴工程队的完成的任务为（米）， ∵河道整治总任务为（米） ∴剩下的任务为（米）, ∵工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务， ∴完成任务的时间为天， ∴工程队现在每天需整治的天数为（米）， 答：工程队现在每天需整治米河道． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，掌握二元一次方程组与实际问题是解题的关键． 【题型七】几何问题(二元一次方程组的应用) 例7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，周长为的长方形中刚好铺满6块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为 ． 【答案】18 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设每块小长方形木块的长为，宽为，根据题意和图形建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设每块小长方形木块的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得， 则每块小长方形木块的面积为， 故答案为：18． 变式2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【答案】每个小长方形的面积． 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列二元一次方程组的运用．根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， ， 解得， 每个小长方形的面积． 【题型八】方案问题(二元一次方程组的应用) 例8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，列出方程组，结合x，y，n是正整数求解即可． 【详解】解：设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 依题意，得：， ，得：，即， ∵y为正整数， ∴n的个位数字为0或5． 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）学校要组织七年级学生外出参观科技馆，由8位教师带领位学生包车出行，每辆汽车至少安排1位教师带队．现有A，B，C三种车型可供选择，这三种车型的每辆可乘坐旅客数和租金如下表： A型车 B型车 C型车 每辆车可乘坐旅客（人） 每辆车租金（元） (1)租用车辆最多不能超过 辆；最少不能少于 辆． (2)如果每辆车都坐满，通过计算设计租车方案，使得租车费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)8，5 (2)租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用最小为元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考二元一次方程组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由教师人数决定租用车辆最多不能超过8辆，再计算只租用A和C型车的数量，即可求解； （2）设租用A型车x辆，B型车y辆，结合每辆车都坐满，分别计算当租用车辆为5，6，7，8时x，y的值，再计算最少费用． 【详解】（1）解：每辆汽车至少安排1位教师带队，且共8位教师， 租用车辆最多不能超过8辆， （辆）（人），（辆）， （辆）（人）， 综上，租用车辆最少不能少于5辆，租用车辆最多不能超过8辆． 故答案为：8；5． （2）解：设租用A型车x辆，B型车y辆， 当共租用5辆时，则租用C型车辆． ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合． 当共租用6辆时，则租用C型车辆， ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合． 当共租用8辆时，则租用C型车辆， ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合 当共租用7辆时，则租用C型车辆， ， ， 化简：， 所以，，， 当租用B型车4辆，C型车3辆时，租车费用； 当租用A型车1辆，B型车2辆，C型车4辆时，租车费用； 当租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用； 所以当租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用最小为． 【题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 例9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【答案】D 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是这笔钱的总金额为，解关于，的方程组． 设钢笔每支元，日记每本元，这笔钱的总金额为，根据题意可得，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：设钢笔每支元，日记本每本元，这笔钱的总金额为 a 元  ，由题意可知 ， 解关于，的方程组得： ， ∴这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 故选：D 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买 盒． 【答案】 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，由题意列出方程组，得，即丙礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，丙礼盒n个，由题意得：，求出方程的非负整数解，即可解决问题． 【详解】解：设设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元， 由题意得： ， ①②得：， 即丙礼盒每盒138元， 设乙礼盒m个，丙礼盒n个， 由题意得：， ∵m、n为非负整数， 当且仅当，时，方程成立， ∴李老师一共买礼盒：（盒）， 故答案为：10． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 【答案】(1)羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个 (2)①甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元 ② 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】题目主要考查二元一次方程组的实际应用−销售问题，理解题意，列出方程是解题关键． （1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可； （2）①这一问考查学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系． 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙：     元， 答：甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元； ②由题意得：， 整理得：． 【题型十】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 例10．（22-23七年级下·浙江金华·月考）不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（    ） A．10元 B．8元 C．5元 D．3元 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意得： ， 解得：， 所以每个笔记本8元，每支水笔2元， 则购买1本笔记本和1支水笔共需：（元）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，正确理解题意找出关系量列出方程组是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期中）元宵节是我国的传统节日，人们素有吃元宵的习俗，在元宵节来临之际，某超市计划购进一批元宵进行销售． (1)若购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，求购进A、B两种品牌的元宵各多少袋？ (2)该超市采购员发现，1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，求A、B两种品牌的元宵进价分别为多少元？ 【答案】(1)购进A种品牌的元宵670袋，购进B种品牌的元宵330袋 (2)A种品牌的元宵进价为9元，B种品牌的元宵进价为15元 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设购进A种品牌的元宵x袋，购进B种品牌的元宵y袋，由题意：购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种品牌的元宵进价为m元，B种品牌的元宵进价为n元，由题意：1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设购进A种品牌的元宵x袋，购进B种品牌的元宵y袋， 由题意得：， 解得：， 答：购进A种品牌的元宵670袋，购进B种品牌的元宵330袋； （2）解：设A种品牌的元宵进价为m元，B种品牌的元宵进价为n元， 由题意得：， 解得：， 答：A种品牌的元宵进价为9元，B种品牌的元宵进价为15元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型十一】古代问题(二元一次方程组的应用) 例11．（24-25七年级下·浙江温州·期末）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中表示的是（　　） A．鸡的数量 B．鸡的单价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设买鸡的人数为人，鸡的价格为元，根据题意列出方程组，与小温同学所列方程组相同，即可解答． 【详解】解：设买鸡的人数为人，鸡的价格为元， 根据题意，得，与小温同学所列方程组相同， ∴方程组中表示的是买鸡的人数． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为 . 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．设甲有只羊，乙有只羊，根据甲对乙说：可得，乙对甲说：可得：，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 由题意得，， 故答案为： 变式2．（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问： （1）马牛各价几何？ （2）马一十三匹、牛十头，共价几何？ 【答案】（1）马每匹6两，牛每头4两；（2）118两 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，通过有理数运算，即可得到答案． 【详解】（1）设马每匹x两，牛每头y两， 根据题意可得： 解得： ∴马每匹6两，牛每头4两； （2）结合（1）的结论，得马一十三匹、牛十头共价：13×6＋10×4＝118两． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解． 【题型十二】其他问题(二元一次方程组的应用) 例12．（22-23七年级下·浙江金华·期末）为了准备期末检测评价，小军去文具店购买了数支单价为2元的笔芯和若干块单价为k元的橡皮（k为正整数），共花费了6元，已知购买笔芯数量是橡皮数量的2倍，则小军购买的笔芯的数量为（    ） A．1支 B．2支 C．3支 D．4支 【答案】B 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买笔芯的数量为x支，购买橡皮的数量为y块，根据购买两种文具共花费了6元，购买笔芯数量是橡皮数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设购买笔芯的数量为x支，购买橡皮的数量为y块， 由题意得，， ∴， ∴， ∵y、k都是正整数， ∴是正整数， ∴， ∴， ∴， ∴小军购买的笔芯的数量为2支， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，则男生有 人 【答案】 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设男生有人，女生有人，根据每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， 即男生有人， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 变式2．（23-24七年级下·浙江台州·期末）制作一份营养餐，准备选用富含蛋白质的甲、乙两种食材共300克（单选甲、乙或甲乙都选均可）．每克甲种食材所含蛋白质克，每克乙种食材所含蛋白质克，其它食材蛋白质含量忽略不计． (1)求一份营养餐中蛋白质含量的范围； (2)若一份营养餐中蛋白质含量为70克，请问甲、乙种食材如何搭配？ 【答案】(1)大于等于60克且小于等于90克 (2)甲种食材200克，乙种食材100克 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意知，单选甲种食材一份营养餐中蛋白质含量最少，单选乙种食材一份营养餐中蛋白质含量最多，据此求出取值范围； （2）设一份营养餐需甲种食材x克，乙种食材y克，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意知，单选甲种食材一份营养餐中蛋白质含量最少，为（克）， 单选乙种食材一份营养餐中蛋白质含量最多，为（克）， ∴一份营养餐中蛋白质含量的范围为：大于等于60克且小于等于90克； （2）设一份营养餐需甲种食材x克，乙种食材y克， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种食材200克，乙种食材100克． 【题型十三】三元一次方程组的定义及解 例13．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若同时满足：，，，则 ． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】先由得，，再根据得，进而即可解答． 【详解】解：， 得，， ， 得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了三元一次方程的特殊解法，已知式子的值求代数式的值，掌握三元一次方程的特殊解法是解题的关键． 变式2．（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程组： 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数z，得到关于x、y的方程组，再进一步解答，即可得答案． 【详解】解：， ①②得：④， ①③得：⑤， ⑤④得：， 解得：， 把代入⑤得：， 把，代入③得：， ∴方程组的解为：． 【题型十四】三元一次方程组的应用 例14．（2024七年级下·浙江·专题练习）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（   ） A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．根据“加密规则为：明文，，，对应密文，，”，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：． 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 %． 【答案】17 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】4月份销售每套该款时装的出厂价为元，则每件的成本为元，5月份每套该款时装的利润为，设4月份销售该款时装件，则5月份销售件，等量关系为：4月份的总利润增长率）月份的总利润，把相关数值代入求解即可．考查三元一次方程的应用，得到每个月份每件衣服的利润和卖出件数是解决本题的突破点；注意一些必须的量没有时可设其为未知数，在解答过程中消去． 【详解】解：设增长率为，4月份每套该款时装的出厂价为元，5月份每套该款时装销售件， ， 解得， 故答案为：17 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值． (1)小北的方法：，整理可得：________； ，整理可得：________，∴． 小仑的方法：：________③；∴ ，得． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；；； (2)3 (3)320元 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解、三元一次方程组的应用 【分析】（1）根据题意进行运算求解即可； （2）运用等式的性质进行运算，使得三个未知数的系数相同即可； （3）设英语簿单价为x元/本，数学簿单价为y元/本，作文本单价为z元/本，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】（1）得：， 得：， ∴得：； 得：， 得：， ∴得：； 得：， 得：； 故答案为：；；； ； （2）， 得：， ∴ ； （3）设英语簿单价为x元/本，数学簿单价为y元/本，作文本单价为z元/本， 由题意得： ， 得：， ∴， ∴． 答：需要320元． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 一、单选题 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 2．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆．2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（   ） A．580元 B．500元 C．420元 D．200元 【答案】D 【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据“当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元， 由题意得： （1）+（2）得：5x+5y+5z=1000； 化简得：x+y+z=200； 即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元． 故选：D 【点睛】本题主要考查方程的实际应用，先找出等量关系列出方程，再用整体思想求出x+y+z的值；解题时要注意，三个未知数，两个等量关系，找出系数之间的关系，利用整体思想求解是解题的关键． 3．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 4．长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若，则AD等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设DE=x，EF=y，然后由边长的数量关系列出方程组，解方程组求出x、y，即可得到答案． 【详解】解：如图： 设DE=x，EF=y，根据题意，则 ， 解得：， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程组进行解题． 5．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；观察图形，三个长方形的长的和正好等于其余的长方形的宽的和，两个长方形的宽的和比长方形的长多中间小正方形的边长，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图1可知，, 由图2可知，， 联立得 解得：， 故选：D． 6．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况． 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0 小明在时看到的数是（   ） A．16 B．61 C．72 D．94 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据摩托车的速度不变，到和到行驶的路程一样，即可得出关于x，y的二元一次方程，求解方程，结合x、y均为一位整数，即可解答． 【详解】解：设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据题意： ，即， 又∵x，y均为一位整数， ∴， ∴． 故选：B． 7．小明要用80元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，80元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】B 【分析】设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，得，根据题意列出符合题目的购买方案即可解答； 【详解】解：设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，且x、y均为正整数， 即有， 变形，得， 根据题意，且x、y均为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 符合题意，所以小明的购买方案有6种； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求解二元一次方程的正整数解的知识，正确理解题意，找到两种口罩的数量关系是解题的关键． 8．某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（    ）． A．8支 B．6支 C．4支 D．2支 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支，根据“从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为”列出方程组，解方程即可得出答案． 【详解】解：设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支， 由题意得：， 整理得：， 解得， 原来笔袋中黑色中性笔有支， 故选：C． 二、填空题 9．若是一个三元一次方程，那么 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：． 故答案为：-1，0． 【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义． 10．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．则男生志愿者有 人． 【答案】12 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可． 【详解】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意， 得   解得 ； 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人． 故答案为：． 11．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送25件，还剩10件；若每个快递员派送28件，还差50件．设该分派站有 名快递员． 【答案】20 【分析】设该分派站有x名快递员，有y件包裹需要派送，根据每个快递员派送25件，还剩10件；若每个快递员派送28件，还差50件列出方程组求解即可． 【详解】解：设该分派站有x名快递员，有y件包裹需要派送， 由题意得，， 解得， ∴该分派站有20名快递员 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 12．某商场在按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．若按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等，则该工艺品每件的进价为 元，标价为 元． 【答案】 155 200 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设工艺品每件的进价是元，则标价为则标价为y元，元，根据“每件可获利45元”和“按标价的八五折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获利润相等”列出方程组即可求解．解题的关键是找到等量关系，列出方程组并解答． 【详解】解：设工艺品每件的进价是元，则标价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴工艺品每件的进价是155元，则标价为200元， 故答案为：155，200． 13．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程解应用题，读懂题意，准确用方程表示出题中相关数量关系是解决问题的关键． 设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，将题中数量关系表示为，变形得到，从而确定这四人中最大年龄与最小年龄，作差变形即可得到答案． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，则由题意可得 ， ， 比较上述四个式子可知，， ， 即， 解得， 这四人中最大年龄与最小年龄的差是， 故答案为：． 14．某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 【答案】33.5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，根据表格中所提供的信息列二元一次方程组， 求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据列式计算即可． 【详解】解：设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物， 由题知，， 解方程组得 用4辆甲种货车和7辆乙种货车可运输货物． 故答案为：33.5． 15．新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少 袋． 【答案】1 【分析】设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，根据给出的已知条件找出等量关系进行求解，可得每种零食的价格，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，根据给出的已知条件找出等量关系，再根据、、为正整数，即可得出结果． 【详解】解：设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元， 由题意得， 解得， 则B、C礼包的成本为， A礼包中零食袋数为袋， C礼包中零食袋数为袋， 令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为， 则， 解得， 由知，， 由知， 又、、为正整数， ，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三元方程组的应用，解本题要理解题意，通过找出三组等量关系进行求解． 三、解答题 16．甲、乙两人同时同地练习跑步，如果甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲每秒跑，乙每秒跑 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键，设甲每秒跑，乙每秒跑，再根据甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设甲每秒跑，乙每秒跑， 由题意，得， 解得， 答：甲每秒跑，乙每秒跑． 17．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 18．解方程组 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可，正确求解是解答的关键． 【详解】解：得：， 得：，解得：， 将代入④得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 19．A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本/（元/个） 销售价格/（元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元．求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意知， 解得． 20．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【答案】见解析 【分析】通过设未知数表示文艺、科技小组每次活动时间，利用七、八年级数据列方程组求出每次活动时间，再设九年级活动次数，根据总时间列方程，结合正整数解确定次数． 本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程（组）求解实际问题是解题的关键． 【详解】解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设九年级文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 21．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【详解】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 22．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子 (2)三种，见解析 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出等式，根据a、b均为正整数，找出符合条件的值即可． 【详解】（1）解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得 ， 解得，   即：每头牛3两银子，每头羊2两银子； （2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得 ，即：，    ∵a、b均为正整数， ∴为2的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当为大于8的正整数时，为负数，不合题意， 所以该方程的解为或或， 即：共有三种购买方法： 方案一：购买2头牛，9头羊； 方案二：购买4头牛，6头羊； 方案三：购买6头牛，3头羊． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确地根据题意找出等量关系列出方程求解是解题的关键． 23．某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 【答案】(1) (2)她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； (3)有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程（组）的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）设她用了张B型“消费券”，根据不同类型的“消费券”的优惠金额和张数列方程求解即可； （2）设她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，根据“同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元”，列二元一次方程组求解即可；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． （3）设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，，分三种情况讨论：根据优惠金额列二元一次方程，从而得到、、的可能取值，再分别求出实际付款金额，即可求解． 【详解】（1）解：设她用了张B型“消费券”， 由题意得：， 解得：，即她用了张B型“消费券”， 故答案：； （2）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 由题意得：，解得：， 答：她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； （3）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，， ①若她使用了A、B型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ②若她使用了A、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ③若她使用了B、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； 即有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张； 若她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 则实际付款金额为元； 若她使用了A型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为； 若她使用了B型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为， 即使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 24．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二元一次方程组的应用与三元一次方程组及其解法 （知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】列二元一次方程组解决实际问题的步骤 1.当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。要注意的是，必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，才能组成二元一次方程组。 2.列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： （1）理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系； （2）制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； （3）执行计划：列出方程组并求解，得到答案； （4）回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。 注意：（1）一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组。 （2）设未知数及写答时，都要写清单位。 【知识点02】三元一次方程（组）及其解的概念 1.三元一次方程：和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。 2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。例如， 就是三元一次方程组。每一个方程中不一定都含有三个未知数，只要保证方程组中一共有三个未知数即可 三元一次方程组必须同时满足三个条件 （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是一次； （3）有三个方程。 3.三元一次方程组的解：同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。 【知识点03】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 2.解三元一次方程组的一般步骤： （1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 （2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。 （3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，得到一个一元一次方程。 （4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值。 （5）写解：将求得的三个未知数的值用“{ ”写在一起。 【题型一】根据几何图形列二元一次方程组 例1．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    变式2．（24-25七年级下·浙江·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 【题型二】根据实际问题列二元一次方程组 例2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，每只蝴蝶有6条腿，2对翅膀，每只鸟有2条腿，1对翅膀，现有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，则可列出方程组 ． 变式2．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗? 【题型三】分配问题(二元一次方程组的应用) 例3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【题型四】图表信息题(二元一次方程组的应用) 例4．（22-23七年级下·浙江台州·期中）某同学去蛋糕店买面包，面包有A，B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下： A包装盒 B包装盒 每盒面包个数（个） 3 8 每盒价格（元） 5 11 若某同学正好买了50个面包，则他最少需要花（   ）元； A．71 B．74 C．75 D．81 变式1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．    变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【题型五】行程问题(二元一次方程组的应用) 例5．（23-24七年级下·浙江台州·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米． 变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 【题型六】工程问题(二元一次方程组的应用) 例6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【题型七】几何问题(二元一次方程组的应用) 例7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，周长为的长方形中刚好铺满6块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为 ． 变式2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【题型八】方案问题(二元一次方程组的应用) 例8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）学校要组织七年级学生外出参观科技馆，由8位教师带领位学生包车出行，每辆汽车至少安排1位教师带队．现有A，B，C三种车型可供选择，这三种车型的每辆可乘坐旅客数和租金如下表： A型车 B型车 C型车 每辆车可乘坐旅客（人） 每辆车租金（元） (1)租用车辆最多不能超过 辆；最少不能少于 辆． (2)如果每辆车都坐满，通过计算设计租车方案，使得租车费用最少，并求出最少费用． 【题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 例9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买 盒． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 【题型十】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 例10．（22-23七年级下·浙江金华·月考）不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（    ） A．10元 B．8元 C．5元 D．3元 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期中）元宵节是我国的传统节日，人们素有吃元宵的习俗，在元宵节来临之际，某超市计划购进一批元宵进行销售． (1)若购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，求购进A、B两种品牌的元宵各多少袋？ (2)该超市采购员发现，1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，求A、B两种品牌的元宵进价分别为多少元？ 【题型十一】古代问题(二元一次方程组的应用) 例11．（24-25七年级下·浙江温州·期末）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中表示的是（　　） A．鸡的数量 B．鸡的单价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为 . 变式2．（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问： （1）马牛各价几何？ （2）马一十三匹、牛十头，共价几何？ 【题型十二】其他问题(二元一次方程组的应用) 例12．（22-23七年级下·浙江金华·期末）为了准备期末检测评价，小军去文具店购买了数支单价为2元的笔芯和若干块单价为k元的橡皮（k为正整数），共花费了6元，已知购买笔芯数量是橡皮数量的2倍，则小军购买的笔芯的数量为（    ） A．1支 B．2支 C．3支 D．4支 变式1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，则男生有 人 变式2．（23-24七年级下·浙江台州·期末）制作一份营养餐，准备选用富含蛋白质的甲、乙两种食材共300克（单选甲、乙或甲乙都选均可）．每克甲种食材所含蛋白质克，每克乙种食材所含蛋白质克，其它食材蛋白质含量忽略不计． (1)求一份营养餐中蛋白质含量的范围； (2)若一份营养餐中蛋白质含量为70克，请问甲、乙种食材如何搭配？ 【题型十三】三元一次方程组的定义及解 例13．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若同时满足：，，，则 ． 变式2．（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程组： 【题型十四】三元一次方程组的应用 例14．（2024七年级下·浙江·专题练习）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（   ） A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 变式1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 %． 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值． (1)小北的方法：，整理可得：________； ，整理可得：________，∴． 小仑的方法：：________③；∴ ，得． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 一、单选题 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆．2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（   ） A．580元 B．500元 C．420元 D．200元 3．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 4．长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若，则AD等于（ ） A． B． C． D． 5．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况． 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0 小明在时看到的数是（   ） A．16 B．61 C．72 D．94 7．小明要用80元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，80元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 8．某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（    ）． A．8支 B．6支 C．4支 D．2支 二、填空题 9．若是一个三元一次方程，那么 ， ． 10．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．则男生志愿者有 人． 11．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送25件，还剩10件；若每个快递员派送28件，还差50件．设该分派站有 名快递员． 12．某商场在按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．若按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得的利润相等，则该工艺品每件的进价为 元，标价为 元． 13．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是 ． 14．某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 15．新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少 袋． 三、解答题 16．甲、乙两人同时同地练习跑步，如果甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙．求甲、乙两人的速度． 17．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 18．解方程组 19．A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本/（元/个） 销售价格/（元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元．求a，b的值． 20．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 21．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 22．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 23．某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 24．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $