6.2.3组合 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3组合 练习 一、单选题 1．某同学计划在高考结束以后外出毕业旅行，他准备在某地的9处景点中选择5处景点游玩，其中的景点A和B因距离相近，或者都去游玩，或者都不去，而景点C和D因景观相似，至多只去其中一处游玩．则符合要求的选法种数为（   ） A．36 B．41 C．46 D．56 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 3．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 4．某班5位同学参加3项比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有（   ）种． A．120 B．180 C．240 D．360 5．临泉田家炳实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（   ）种 A．60 B．90 C．150 D．240 6．2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 7．如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 8．在附中举办的某一次活动中需要5名学生前往A，B，C三个地点支援，若每名学生只能去其中一个地点，且每个地点至少安排1名学生，其中学生甲只能去B，C两个地点中的一个，则不同的安排方法数是（   ） A．72 B．84 C．100 D．120 二、多选题 9．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 10．下列说法正确的是（    ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 11．某班有10名同学，现在选出3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．6人同时被邀请参加一项活动.必须有人去，去几个人自行决定，共有________种不同的去法. 13．某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 _______ .（用数字作答） 14．某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 四、解答题 15．把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车上售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有多少种不同的分组方法（不考虑分配到汽车上去）？ (2)有几种不同的分配方法？ (3)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (4)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 16．有四个编号为1，2，3，4的四个不同的盒子，又有编号为1，2，3，4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里. (1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法； (2)恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法. 17．学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 18．解决下列问题，结果用数字表示. (1)有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式； (2)有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式； (3)有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C D B C BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】利用间接法，先计算满足“和都去或者都不去”的选法总数，然后减去这些选法中“和都去”的选法数，即可得到结果. 【详解】当和均被选中时，从剩余7个景点中选3个，选法为； 当和均不被选中时，从剩余7个景点中选5个，选法为； 当和均被选中且和均被选中时， 已选4个景点，从剩余5个景点中选1个，选法为； 当和均不被选中且和均被选中时， 已选2个景点，从剩余5个景点中选3个，选法为； 所以符合所有要求的选法种数为种. 2．C 【分析】方法一：运用分类加法计数原理，结合组合的定义进行求解即可. 方法二：运用间接法，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】方法一： 将“至少有1个一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”． 由分类加法计数原理，得不同取法有（种）． 方法二：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）， 故选：C 3．C 【分析】分析圆周上8个等分点可构成4条直径，由此得到所对应的直角三角形个数，用可以构成的总三角形个数减去直角三角形个数，可得锐角三角形或钝角三角形的个数. 【详解】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有（个）直角三角形， 因为这8个等分点为顶点的三角形共有（个）， 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为（个）． 故选：C. 4．B 【分析】设报1项的同学有人，报2项的同学有人，根据题意得，解出，再利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】设报1项的同学有人，报2项的同学有人， 由题意有：5位同学每人报名1项或2项，3个项目每个项目恰有2人报名，总报名名额为， 所以，即恰好有1人报2项，其余4人各报1项， 第一步：先选报2项的同学有种选法， 第二步：选该同学报的2个项目有种选法，假设选的项目是和， 则项目各已有1人，还需各1人，项目还需要2人， 第三步：分配剩余4人，从4人中选1人去项目有种选法，选1人去项目有种选法， 剩余的2人去项目有1种选法，共有种选法， 根据分步乘法计数原理有：种选法. 故选：B 5．C 【分析】先把 5 名党员分成 3 组，再将这 3 组分配到 3 个社区. 【详解】将5人分成3组，每组至少1人，有两种分法， 从5人中选3人作为一组，剩下2人各为一组，有种， 从5人中选2人作为一组，再从剩下3人中选2人，最后1人一组，有种， 所以总的分组方法有种. 将分好的 3 组，全排列分配到 A、B、C 三个社区：种， 所以每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有种. 故选：C. 6．D 【分析】分火炬手完成第一棒和火炬手完成第一棒两种情况讨论即可求解. 【详解】当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案， 故共有种不同的传递方案. 故选：D. 7．B 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 8．C 【分析】利用分组分配的解题方法以及正难则反的解题思路，可得答案. 【详解】将名学生分组分配到三个地点的情况数为， 若学生甲去地点的情况数为， 所以符合题意的情况数为. 故选：C. 9．BC 【分析】A选项通过分步乘法计数原理直接计算总方法数；B选项通过分组分配法计算每项工作至少1人的方法数；C选项针对人员分组的两种形式，结合平均分组的去重规则进行计算；D选项按司机岗位的人数分类，分别计算两类情形的方法数并求和. 【详解】对于选项A，每名同学独立选择4项工作中的任意一项，总方法数为，A选项正确. 对于选项B，每项工作至少1人参与，需将5人分为4组（1组2人，其余3组各1人）， 再将4组分配至4项工作，所以总方法数为， B选项错误. 对于选项C，司机岗位不安排，需将5人分配至3项工作且每项至少1人，人员分组为与两种形式. 分组的有效分组数为，分组的有效分组数为， 总方法数为， C选项错误. 对于选项D，甲、乙不能从事司机工作，分两类讨论： 司机岗位安排1人，从丙、丁、戊中选1人，剩余4人分配至其余3项工作且每项至少1人，方法数为； 司机岗位安排2人，从丙、丁、戊中选2人，剩余3人全排列至其余3项工作，方法数为. 总方案数为，D选项正确. 10．ABD 【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；利用捆绑分组法判断选项C；由平均分组分配法判断选项D. 【详解】对于A，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中， 由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数是，A选项正确； 对于B，将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中， 则需要在6个盒子选出5个放入小球，不同的放法种数是，B选项正确； 对于C，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球， 将其中2个球捆绑在一起，与另两个球分别放入3 个盒子中，不同的放法种数是，C选项错误 对于D， 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球， 把6个球平均分成3组，再分别放入3个盒子中，不同的放法种数是，D选项正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】对于AB，根据组合数问题和排列数定义直接计算即可判断；对于CD，根据特定的同学入选与否进行分类计数即可求解判断． 【详解】对于AB，从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为，故A正确，B错误； 对于CD，从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，根据甲同学入选与否可得不同的选法种数为， 从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，根据甲乙两名同学入选与否可得不同的选法种数为， 故CD正确. 故选：ACD 12． 【分析】利用分类加法原理计算即可. 【详解】如果有1个人去，则有种情况； 如果有2个人去，则有种情况； 如果有3个人去，则有种情况； 如果有4个人去，则有种情况； 如果有5个人去，则有种情况； 如果有6个人去，则有种情况； 所以共有种不同的去法. 13．30 【分析】分按和两种情况分组，结合排列数、组合数运算求解即可. 【详解】分两种情况讨论： ①按分组：根据题意，甲乙必在人组，再从{丙，丁，戊}中选人加入该组，有种选法， 此时形成的三个小组（一个人组，两个人组）安排到三个不同教室，有种方法， 故共有种方法； ②按分组：根据题意，甲乙自成一个人组。因丙丁不安排在同一教室，故另一个人组只能是{丙，戊}或{丁，戊}，有种选法， 此时形成的三个小组(两个2人组，一个1人组)安排到三个不同教室，有种方法， 故共有种方法； 综上可得：不同的安排方法数共有种. 14． 【分析】根据组合数与排列数的计数方法，结合分类分步两个基本原理求解即可得答案. 【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能两地举办，且各自承办其中一项有种安排方法； 其次5个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有种，故总数为种不同的安排方法. 15．(1)105 (2)2520 (3)576 (4)216 【分析】（1）先将8人平均分为4组，再除以分组间的顺序影响即可； （2）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可； （3）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有种不同方法；再分配女售票员，也有种方法，相乘可得答案； （4）第一步将男售票员平均分组，将女售票员平均分组，各有种不同分法，所以共有种分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有种上车方法，相乘可得答案. 【详解】（1）所求分组方法有种. （2）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （3）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （4）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 16．(1)256 (2)144 【分析】（1）每个小球四个盒子可以选，四个小球依次选盒子. （2）先选一个空盒，再分小球，最后放小球. 【详解】（1）每个小球都有四个盒子可以选，用分步乘法计数原理：总放法数为种. （2）先选空盒：从四个盒子中选一个空盒，有种选法； 再分小球：把四个小球分成三组，必然是一组两个，另外两组各一个，分组的方法数为种； 最后放小球：将分好的三组小球放入剩下的三个盒子里，进行全排列，有种排法； 根据分步乘法计数原理，总放法数为：种. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【详解】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． （2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． （3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 18．(1)90 (2)28 (3)7 【分析】（1）将6个球分为三组，然后分三种情况计算，即可得到结果； （2）利用隔板法即可得到结果； （3）分6个小球入一个盒子，两个盒子以及三个盒子讨论，即可得到结果； 【详解】（1）6个球分为三组有以及以及三种情况， 种； （2）利用隔板法可得， 所以一共有：28种存放方式. （3）①6个小球入一个盒子有1种情况； ②6个小球入两个盒子有，共3种情况； ③6个小球入三个盒子有，共3种情况； 所以一共有：7种存放方式. 学科网（北京）股份有限公司 $