6.2.3-6.2.4 第2课时 组合的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.2.3-6.2.4 第2课时 组合的综合应用 [课时跟踪检测] 1.（2023·全国乙卷）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 （　　） A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 解析：选C　甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C1 6=6（种）情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有=20（种）情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20=120（种）选法，故选C. 2.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为 （　　） A.12 B.18 C.21 D.24 解析：选B　可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有=12种，第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有=6种，根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18. 3.将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有 （　　） A.50种 B.150种 C.240种 D.300种 解析：选B　可以分组为1，1，3或1，2，2两种情况，若分组为1，1，3，则有2=60；若分组为1，2，2，则有=90.则不同分法为60+90=150种. 4.班会课上搞活动，18个同学被平均分成了6组，现从中选5位同学，要求这5人由其中1组的3人与其他两组的各1人组成，那么不同的选取方案有 （　　） A.90种 B.180种 C.270种 D.540种 解析：选D　由题意可知，18个同学被平均分成了6组，每组3人，由题意，先从这6组中指定1组，从这组抽取3人，然后从剩余的5组中指定2组，每组抽1人，由分步乘法计数原理可知，不同的选取方案种数为···=6×10×3×3=540. 5.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5 200的偶数个数是 （　　） A.87 B.129 C.132 D.138 解析：选A　若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有=27（个）；若千位数字是7，则共有=36（个）；若千位数字是8，则共有=24（个）.故符合条件的四位数共有27+36+24=87（个）.故选A. 6.有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是 （　　） A.24 B.48 C.72 D.96 解析：选B　根据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有种摆放方法.由分类加法计数原理，得共有+=48种摆放方法. 7.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选A　某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，共有=15种，所以甲、乙两位参赛同学抽取两个不同主题准备作文，共有=225种，两位参赛同学抽到一个相同主题准备作文，有=120种，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题准备作文的概率为P==. 8.社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目.某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有 （　　） A.210种 B.300种 C.360种 D.480种 解析：选B　从5个人中任选一个人连续参加三天的活动，有5种选择，若剩下的4个人中有2人参加了此项活动，则有一个人参加了其中两天的活动，有种方法；若剩下的4个人中有3人参加了此项活动，则这三个人每人参加其中一天的活动，有种方法，因此共有5（+）=300种. 9.某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有 （　　） A.60种 B.120种 C.180种 D.720种 解析：选B　由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有=60种方法；一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则有=60种方法，由分类加法计数原理可知共有60+60=120种不同的分组方法. 10.用4种不同的颜色为一个固定位置的正方体的六个面着色，要求相邻的两个面颜色不同，则不同的着色方法有 （　　） A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 解析：选D　法一　若正方体的上、下面同色，则有（3×2×2×2-）=72种； 若正方体的上、下面不同色，则有2=24种.可得（3×2×2×2-）+2=96，即不同的着色方法有96种. 法二　若上、下面同色，前、后面同色，则有22种；若上、下面同色，前、后面异色，则有12×种；若上、下面异色，前、后面同色，则有12×种.可得22×+12×+12×=96，即不同的着色方法有96种. 11.（5分）某果农计划在A，B，C，D这4个地块上种植2种不同的果树，每个地块只种植一种果树，有苹果、梨、桃子、杏4种果树可供选择，则不同的种植方案数为　　　.（用数字作答）  解析：先选两种果树有=6种方案，然后每块地有2种选择，所以不同的种植方案有×24=96种种植方案. 答案：96 12.（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是　　　　.（用数字作答）  解析：当每个台阶上各站1人时有种站法；当两个人站在同一个台阶上时有种站法.因此不同的站法种数为+=210+126=336. 答案：336 13.（5分）有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有　　　　　个.  解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有种方法.所以满足条件的三角形共有+=70（个）. 答案：70 14.（15分）已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点. （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面?（5分） （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥?（5分） （3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积?（5分） 解：（1）所作出的平面有三类. ①α内1点，β内2点确定的平面，最多有个.②α内2点，β内1点确定的平面，最多有个.③α，β本身，有2个.故所作的平面最多有++2=98（个）. （2）所作的三棱锥有三类.①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有个.②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有个.③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有个.故最多可作的三棱锥有++=194（个）. （3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等，所以体积不相同的三棱锥最多有++=114（个）.故最多有114个体积不同的三棱锥. 15.（15分）已知一个宿舍有8名同学（包括甲、乙、丙、丁）. （1）若将8名同学分成两组，且两组人数之差的绝对值大于2，则有多少种不同的分法?（6分） （2）若甲和乙不参与分组，其他6位同学分成三组参加活动，且丙、丁在同一组，则有多少种不同的分法?（9分） 解：（1）由题意可知，两组的人数分别为1，7或2，6，所以分组种数为+=36. （2）由题意可知，分组的人数分别为1，2，3或2，2，2或1，1，4，①1，2，3的分组情况，因为丙和丁在同一组，若丙和丁在2人的组里，共有=4种情况，若丙和丁在3人组里，有=12种情况，②2，2，2的分组情况，丙和丁在同一组，另外4人均分为2组，共有=3种情况，③1，1，4的分组情况，丙和丁在4人的一组，共有×=6种情况，所以一共有4+12+3+6=25种情况. 学科网（北京）股份有限公司 $