6.2 排列与组合（第二课时） 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列与组合（第二课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 训练内容：组合与组合数 【学习目标】 1、有限制条件的组合问题； 2、多面手问题； 3、不同元素分组、分配问题； 4、相同元素分配问题 【例题精炼】 【例1】课外活动小组共人，其中男生人，女生人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有名队长当选；(2)至多有名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选. 【例2】某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【例3】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【例4】把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子． 【A基础达标】 一、单选题 1．将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（    ） A．6 B．7 C．15 D．90 2．黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 3．第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（    ） A．15种 B．31种 C．46种 D．60种 4．从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（    ） A．84 B．120 C．504 D．720 5．某班四名同学去学校食堂就餐，他们在食堂一楼、二楼、三楼都可能就餐，如果他们中有同学在一楼就餐，则他们在食堂各层楼的就餐情况有（    ）种 A．24 B．37 C．48 D．65 6．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 二、多选题 7．口袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，则（    ） A．恰好是1个红球和1个白球的取法共有24种 B．恰好是2个红球的取法共有12种 C．至少有1个白球的取法共有54种 D．2个球的颜色相同的取法共有21种 三、填空题 8．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有________种不同的选法.（用数字作答） 9．将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有______种． 四、解答题 10．已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【B能力提升】 1．只用0，1，2这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．28个 B．24个 C．22个 D．18个 2．（多选）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的方法总数为48 D．至少1人选泰山的方法总数61 3．罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为  ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入  的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 4．“渐升数”是指每一位数字都比左边数字大的正整数（如1347），那么四位“渐升数”有_____个，比5789小的四位“渐升数”有_____个.（用数字作答） 5．为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． (1)高二年级一共有多少不同的分组方案？ (2)若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 排列与组合（第二课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 训练内容：组合与组合数 【学习目标】 1、有限制条件的组合问题； 2、多面手问题； 3、不同元素分组、分配问题； 4、相同元素分配问题 【例题精炼】 【例1】课外活动小组共人，其中男生人，女生人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有名队长当选； (2)至多有名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用间接法：从所有的选法中减去没有队长的选法，结合组合计数原理可得结果； （2）对女生所选的人数进行分类讨论，利用组合计数原理可求得结果； （3）分情况讨论：①有且只有一名女队长当选；②有且只有一名男队长当选；③若男队长和女队长当选.结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）解：利用间接法：从所有的选法中减去没有队长的选法， 所以，至少有名队长当选的选法种数为种. （2）解：至多有名女生当选，则当选的女生人数分别为或或， 因此，至多有名女生当选的选法种数为种. （3）解：既要有队长，又要有女生当选，分以下情况讨论： ①有且只有一名女队长当选，不同的选法种数为种； ②有且只有一名男队长当选，则至少有一名女生当选，则不同的选法种数为种； ③若男队长和女队长当选，则不同的选法种数为种. 综上所述，既要有队长，又要有女生当选的选法种数为种. 【例2】某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【详解】若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 由分类加法计数原理可得，共有：种选法 【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果. 【例3】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30 【分析】（1）根据组合问题，分步依次选出三种选法，相乘即可得到总的方法数． （2）根据组合，先求出三种符合要求的算法．再对三种进行全排列即可． （3）列出分成三组的不同组合数，注意去掉重复的情况． （4）分成三组的不同组合数，去掉重复情况后，再对三组进行全排列即可． （5）根据组合特征，求得分组情况，去掉重复部分即可． （6）利用组合求得分组情况，并去掉重复部分后，对三组进行全排列． （7）根据排列数计算，得到无重复的无序组数． 【详解】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法. （2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有. （3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有. （4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法. （6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法. 【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，关键分清是否有序，是否有重复的情况出现，对分析问题的能力要求较高，属于中档题． 【例4】把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 【答案】(1)10 (2)40 (3)30 【分析】（1）先把6个相同的小球排成一行，在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，结合组合数的计算公式，即可求解. （2）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，即可求解. （3）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有（种）方法． （2）解：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，故共有（种）方法． （3）解：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法， 如，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如，有种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如，有种插法．故共有（种）方法． 【A基础达标】 一、单选题 1．将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（    ） A．6 B．7 C．15 D．90 【答案】B 【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可. 【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有，两种组合形式， 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可. 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可. 综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球， 不同的装法种数为种. 故选：B. 2．黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【答案】C 【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 3．第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（    ） A．15种 B．31种 C．46种 D．60种 【答案】C 【分析】可用“间接法”解决问题. 【详解】至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生，故所求挑选方案的种数为. 故选：C 4．从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（    ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】A 【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序. 【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故. 故选：A. 5．某班四名同学去学校食堂就餐，他们在食堂一楼、二楼、三楼都可能就餐，如果他们中有同学在一楼就餐，则他们在食堂各层楼的就餐情况有（    ）种 A．24 B．37 C．48 D．65 【答案】D 【分析】分为在一楼就餐的同学有1个，2个，3个和4个同学，再分别讨论二楼、三楼就餐的同学即可得出答案. 【详解】在一楼就餐的同学有1个，在二楼、三楼就餐的同学为， 即种； 在一楼就餐的同学有2个，在二楼、三楼就餐的同学为， 即种； 在一楼就餐的同学有3个，在二楼、三楼就餐的同学为， 即种； 在一楼就餐的同学有4个，在二楼、三楼就餐的同学为，即种. 所以共有：种. 故选：D. 6．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 【答案】C 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种， （2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种； （3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有 所以，不同的选派方法共有19种. 故选：C 二、多选题 7．口袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，则（    ） A．恰好是1个红球和1个白球的取法共有24种 B．恰好是2个红球的取法共有12种 C．至少有1个白球的取法共有54种 D．2个球的颜色相同的取法共有21种 【答案】AD 【分析】根据分步计数原理、分类计数原理，结合组合和排列的定义逐一求解判断即可. 【详解】A：恰好是1个红球和1个白球的取法共有种，因此本选项正确； B：恰好是2个红球的取法共有种，因此本选项错误； C：没有白球的取法共有种，因此至少有1个白球的取法共有，所以本选项不正确； D：2个球的颜色相同的取法共有，因此本选项正确， 故选：AD 三、填空题 8．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有________种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出；第二类：从只会印刷的4人中选出3人；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可得解. 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 9．将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有______种． 【答案】 【分析】先将两名教师看成一组，再将平均分为两组，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】将六位教师分配到3所学校，每所学校分配2人，且分配到同一所学校， 先将两名教师看成一组，再将平均分为两组，有种分法， 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：. 四、解答题 10．已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果； （2）分两种情况讨论：（i）测试次找到所有次品；（ii）测试次找到所有的次品.求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可. 【详解】（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种. （2）分以下两种情况讨论： （i）测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种； （ii）测试次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品， 则不同的测试情况种数为种. 综上所述，不同的测试情况种数为种. 【B能力提升】 1．只用0，1，2这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．28个 B．24个 C．22个 D．18个 【答案】A 【分析】利用间接法，先保证首位不为0且同一数字不能相邻出现，再排除只有2个数字组成的5位数即可. 【详解】先保证首位不为0且同一数字不能相邻出现， 则首位不为0，其余各位均有2种选择，可得不同排法的种数为； 下面考虑只有2个数字组成的5位数，有，只有4种可能； 所以不同排法的种数为种. 故选：A. 2．（多选）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的方法总数为48 D．至少1人选泰山的方法总数61 【答案】ACD 【分析】利用排列、组合计数问题，结合分步乘法计数原理及排除法逐项列式计算判断. 【详解】对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，A正确； 对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，B错误； 对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，C正确； 对于D，3人选择的方法总数为，没有人选择泰山的方法数为， 因此至少1人选泰山的方法总数，D正确. 故选：ACD 3．罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为  ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入  的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 【答案】 【分析】将5根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 5根火柴：表示数字，此时表示的数有个（）； 1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有个； 2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数有个. 1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9， 所以能表示的数有个； 1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5， 所以能表示的数有个； 综上可知，可组成的三位数共有 个. 故答案为：. 4．“渐升数”是指每一位数字都比左边数字大的正整数（如1347），那么四位“渐升数”有_____个，比5789小的四位“渐升数”有_____个.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，利用“渐升数”的定义，集合组合数公式，分类讨论，即可求解. 【详解】根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他的9个数字中任取4个数， 则每种取法对应一个“渐升数”，所以四位“渐升数”有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个； 当千位数字为，百位数字为时，此时得到的渐升数都小于5789，有个， 综上可得，比5789小的四位“渐升数”有个. 故答案为：；. 5．为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． (1)高二年级一共有多少不同的分组方案？ (2)若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1)120种； (2)36种. 【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算. （2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】（1）两组都是3女2男的情况有（种）： 一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种）， 所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案. （2）视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种， 再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种， 所以不同排列方式的种数是. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $