精品解析：云南省红河州金平县2021—2022学年九年级上学期数学期末学业质量监测试卷

2021年秋季学期红河州金平县期末考试九年级数学试题卷 （全卷满分：120分；测评时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据《云南省生物物种名录（2016版）的》介绍，在素有“动植物王国”之美称的云南，已经发现的动植物有25434种，25434用科学记数法表示为（　　） A. 2.5434×103 B. 2.5434×104 C. 2.5434×10﹣3 D. 2.5434×10﹣4 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2a×3a=5a B. C. 6a÷2a=3a D. 4. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　） A. 45° B. 35° C. 25° D. 20° 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，内角和为360° B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 投掷一枚正方体骰子，朝上一面的点数小于7 D. 两个负数相加，和为正数 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 将抛物线y＝x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则所得到的抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x+4）2+2 B. y＝（x+4）2﹣2 C. y＝（x﹣4）2+2 D. y＝（x﹣4）2﹣2 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） （1）abc>0 （2）4ac-b2＜0 （3）4a+2b+c＜0 （4）2a-b＝0 A. （1）（2）（3） B. （1）（3）（4） C. （1）（2）（4） D. （2）（3）（4） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 抛物线的顶点坐标是______． 10. 已知、两点关于原点对称，若点的坐标为，则点的坐标为______． 11. 当代数式的值等于6时，代数式的值是_________． 12. 某超市一月份的营业额为300万元，已知三月份的营业额为363万元，如果平均每月的增长率为x，由题意列方程________． 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____（用n表示） 三、解答题（本大题共9个小题，共70分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 已知排水管的截面为如图所示的，半径为，圆心到水面的距离是，求水面宽． 17. 一面墙长为22m，一养殖户要利用长为41m的篱笆和这面墙圈成一个面积为216m2的矩形养殖场，其中，养殖场不靠墙的长边上要设一道宽为1m的门，如图所示．求这个矩形养殖场的长宽各是多少米？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，并写出的坐标． 19. 复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率． 20. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 21. 某商品现在的售价为每件60元，每月可卖出300件，经市场调查发现：每件商品涨价1元，每月少卖出10件，已知商品的进价为每件40元． （1）设每件这种商品涨价x元，商场销售这种商品每月盈利y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）这种商品每件涨多少元时才能使每月利润最大，最大利润为多少？ 22. 如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 23. 如图，已知抛物线经过点A(0，3)，B(1，0)，C(3，0)． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点E在该抛物线对称轴上，当AE+BE最小时，直接写出点E的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年秋季学期红河州金平县期末考试九年级数学试题卷 （全卷满分：120分；测评时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 据《云南省生物物种名录（2016版）的》介绍，在素有“动植物王国”之美称的云南，已经发现的动植物有25434种，25434用科学记数法表示为（　　） A. 2.5434×103 B. 2.5434×104 C. 2.5434×10﹣3 D. 2.5434×10﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：25434=． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2a×3a=5a B. C. 6a÷2a=3a D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．原式=，故A错误； B．原式=，故B错误； C．原式=3，故C错误； D．，正确； 故选D. 4. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　） A. 45° B. 35° C. 25° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠ACB=∠AOB=45°． 故选：A． 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，内角和为360° B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 投掷一枚正方体骰子，朝上一面的点数小于7 D. 两个负数相加，和为正数 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确； C、投掷一枚正方体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误； D、两个负数相加和为正数，是不可能事件，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定m的取值范围，再结合判别式确定m的取值范围，最后取两者的交集． 【详解】在方程中，， ∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴m的取值范围是且． 7. 将抛物线y＝x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则所得到的抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x+4）2+2 B. y＝（x+4）2﹣2 C. y＝（x﹣4）2+2 D. y＝（x﹣4）2﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝x2向左平移4个单位所得抛物线解析式为：y＝（x+4）2； 再向下平移2个单位后抛物线解析式为：y＝（x+4）2﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） （1）abc>0 （2）4ac-b2＜0 （3）4a+2b+c＜0 （4）2a-b＝0 A. （1）（2）（3） B. （1）（3）（4） C. （1）（2）（4） D. （2）（3）（4） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图象与性质进行分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵图象与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∵-=1， ∴b=-2a，即2a+b=0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故（1）正确，（4）错误； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，即（2）正确； 当x=2时，y＝4a+2b+c＜0，故（3）正确； 故选A 【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，根的判别式，抛物线与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．掌握顶点式的特点是解题关键．由的顶点坐标为，从而可得答案． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为． 10. 已知、两点关于原点对称，若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，由点的坐标可求出点的坐标． 【详解】解：、两点关于原点对称，点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 11. 当代数式的值等于6时，代数式的值是_________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据的值等于6，得，再进一步整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，能熟练利用整体代入求值思想是解题的关键． 12. 某超市一月份的营业额为300万元，已知三月份的营业额为363万元，如果平均每月的增长率为x，由题意列方程________． 【答案】300(1+x)2=363 【解析】 【分析】三月份营业额=一月份的营业额×（1+平均每月增长率）2，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为300×（1+x）万元， ∴三月份营业额为300×（1+x）×（1+x）， ∴可列方程为300（1+x）2=363， 故填：300(1+x)2=363． 【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________． 【答案】3 【解析】 【分析】设该圆锥底面圆的半径为，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为， 根据题意得，解得， 即该圆锥底面圆的半径为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握弧长公式是关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____（用n表示） 【答案】（2n，1） 【解析】 【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可 【详解】由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1）， n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1）， n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1）， ∴点A4n+1（2n，1）． 故答案为：（2n，1） 三、解答题（本大题共9个小题，共70分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法，将方程左边配成完全平方式，再开方求解； （2）利用因式分解法，提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为的形式，分别求解两个一元一次方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 16. 已知排水管的截面为如图所示的，半径为，圆心到水面的距离是，求水面宽． 【答案】水面宽AB为24． 【解析】 【分析】过O点作OC⊥AB，连接OB，由垂径定理可得出AB=2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出BC的长，进而可得出AB的长． 【详解】解：过O点作OC⊥AB，连接OB， ∴AB=2BC， 在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2， ∵OB=13，OC=5， ∴BC=()， ∴AB=2BC=24()． 答：水面宽AB为24． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 17. 一面墙长为22m，一养殖户要利用长为41m的篱笆和这面墙圈成一个面积为216m2的矩形养殖场，其中，养殖场不靠墙的长边上要设一道宽为1m的门，如图所示．求这个矩形养殖场的长宽各是多少米？ 【答案】长宽分别是18米和12米 【解析】 【分析】设这个矩形养殖场的长为x米，则宽为米，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这个矩形养殖场的长为x米，则宽为米， 根据题意得，， 解得：x1＝18，x2＝24（不合题意，舍去）， 故长为18米，宽为12米， 答：这个矩形养殖场的长宽分别是18米和12米． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，（1，-4） 【解析】 【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可，然后从坐标中读出各点的坐标； （2）让三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示，的坐标为（1，-4） 【点睛】本题考查轴对称及旋转作图的知识，属于基础题，掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点是解题的关键． 19. 复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率． 【答案】 【解析】 【分析】用画树状图法列出甲、乙两位同学选择通道的所有可能结果，再找出从不同类型通道通过的结果数，最后用该结果数除以总结果数求概率． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的有4种情况． 则甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率是． 20. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 21. 某商品现在的售价为每件60元，每月可卖出300件，经市场调查发现：每件商品涨价1元，每月少卖出10件，已知商品的进价为每件40元． （1）设每件这种商品涨价x元，商场销售这种商品每月盈利y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）这种商品每件涨多少元时才能使每月利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）y＝﹣10x2+100x+6000（0≤x≤30）；（2）这种商品每件涨5元时才能使每月利润最大，最大利润为6250元． 【解析】 【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”可列出函数解析式； （2）将二次函数解析式变成顶点式，即可确定最大值． 【详解】解：（1）根据题意可得： y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000 ∵300﹣10x≥0， ∴0≤x≤30； （2）∵y＝﹣10x2+100x+6000=﹣10（x﹣5）2+6250， ∴当x＝5时，y最大＝6250， 答：这种商品每件涨5元时才能使每月利润最大，最大利润为6250元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【答案】（1）详见解析；（2）4． 【解析】 【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的性质可以得到OD∥BC，然后根据DE⊥BC即可得到OD⊥DE，从而判断DE是圆的切线； （2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据平行线的性质得出∠ADO的度数，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理得到∠AOD的度数和AD，OF的长度，然后利用扇形面积减去三角形面积即可求得阴影部分面积． 【详解】解：（1）连接OD， ∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵点D在圆上， ∴DE为⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥AD，垂足为F， ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠C ＝30°， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴∠A＝∠C，∠AOD＝120°， ∴AB＝BC＝4， ∵OD是△ABC的中位线， ∴OD＝2， OF＝， ∴AF＝ =3， ∴AD＝2AF=6， ∴S△AOD＝AD•OF＝×6×＝3， ∴阴影部分面积S＝﹣3＝． 【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理及扇形的面积公式，能够作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线经过点A(0，3)，B(1，0)，C(3，0)． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点E在该抛物线对称轴上，当AE+BE最小时，直接写出点E的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2-4x+3，对称轴x=2；（2）(2，1)；（3）存在，(，－) 【解析】 【分析】（1）已知抛物线三点坐标，直接利用待定系数法求出解析式即可；已知条件给出了与x轴的交点坐标，也可以设交点式进行求解； （2）要使AE+BE最小，只需要找出B点关于对称轴x=2的对称点C点，连接AC与对称轴x=2的交点即是所求点E，根据A、C点坐标求出直线AC的解析式，即可求出E点坐标； （3）过点N作MN∥y轴，交AC于点M，用参数表示点N的坐标，根据S△NAC=S△MNA+S△MNC，列出的面积的表达式，根据二次函数的性质，求出最大值． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a(x－1)(x﹣3) ∵抛物线过点A（0，3） ∴a(0－1)(0﹣3)=3， ∴a=1 ∴抛物线的解析式：y=(x﹣1)(x﹣3)=x2－4x+3 ∴对称轴:x=－ （2）点E（2, 1） 如图，B与C关于对称轴x=2对称，连接AC与对称轴x=2的交点即为E点 设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得 ∴直线AC的解析式：y=﹣x+3 当x=2时，y=1 故点E坐标为（2, 1） （3）存在 设点N（n，n2－4n+3） 过点N作MN∥y轴，交AC于点M 则点M坐标为（n，－n+3） ∴MN=(－n+3)﹣(n2－4n+3)=－n2+3n (0＜n＜3) ∵S△NAC=S△MNA+S△MNC ∴S△NAC =MN·n +MN·(3－n) =MN =(－n2+3n) =－(n－)2+，(0＜n＜3) ∴当n=时，△NAC的面积最大，最大值为 此时，yN =n2－4n+3=－ ∴使△NAC的面积最大的点N坐标为（，－） 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用轴对称求最值以及利用二次函数的性质求三角形面积的最大值问题，此题综合性强，难度大，解题的关键是数形结合思想的应用以及二次函数图象的性质与应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $