精品解析：重庆市凤鸣山中学等教共体2025-2026学年九年级下学期阶段性消化作业（一）数学试题

重庆市凤中教共体学校2025—2026学年度下期 初2023级数学学科阶段性消化作业（一） （满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 磁器口古镇的宝轮寺梁柱全凭榫卯结构搭建，未用一颗钉子，展现了古代匠人的精湛技艺．燕尾榫是“万榫之母”，榫头呈梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫正面的榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查上桥中学初三某班学生的中考体考成绩 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 审查一篇报道中的所有错别字 D. 调查全国中小学生对我国月球探测工程“梦舟”飞船的关注度 4. 估算的结果应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 5. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的凤鸣山的“凤”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“凤”字的笔画“丿”的位置在的黄金分割点C处．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某款机器人今年9月销量为800台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款机器人销量达到1800台，那么该款机器人这两个月销量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻的变化而变化，，并结合实验数据描点、连线，画成了如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最小电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最大电流是 8. 如图，是某生活小区的长方形广场．该广场内设有一个长方形和一个半圆形草坪，除这两个区域外，其余部分均为休闲区，休闲区即图中的阴影区域．那么，休闲区的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为自然数，，，…，均为正整数，且．下列说法中： ①当，，且为偶数时，则满足条件的整式M共有3个； ②当，为奇数时，满足条件的整式M有且仅有9个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 12. 紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性变成蓝色，遇中性不变色．现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．从四个瓶子中随机选取两瓶，适量的溶液进行混合，则混合后溶液变成红色的概率为_______． 13. 如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则______． 14. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____． 15. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A、B，连接、、，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接，延长交的延长线于点E，若，，则_______． 16. 如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则______；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解的和． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 19. 中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49． 雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50． 两班抽取的学生体测成绩统计表 慧学班 雅行班 平均数 47 47 众数 50 b 中位数 a 48 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中，________，________，________； （2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． （1）求甲组每天生产多少个套盒？ （2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 22. 如图，矩形，，，对角线上有一动点E从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接．点F以每秒0.5个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒，过点F作于点N．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象当时，直接写出x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 近日，我校组织开展“劳动点亮青春，植树美化校园”植树节劳动教育活动．如图是本次活动涉及的区域示意图，已知取苗点B位于学校A的南偏东方向，且位于工具间C的正西方120米处；水源D位于工具间C的东北方向且与其正西方的学校A相距240米；种植区E位于水源D的北偏西方向． （1）求点A到点B的距离；（结果保留根号） （2）小凤与小鸣参与了活动，小凤从学校A出发沿A→E方向行走，小鸣从水源D出发沿D→E方向行走．若小凤与小鸣同时出发且小凤的速度是小鸣速度的2倍，当小凤与水源D的直线距离恰好是小鸣离开水源D的距离的4倍时，求小鸣离开水源D的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，当的最大值时，在抛物线对称轴上有两动点Q，R（点Q在点R的上方），当时，求的最小值． （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点D为边上一个动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，线段的长度恰好为线段的2倍，与交于点G，若，求的长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤中教共体学校2025—2026学年度下期 初2023级数学学科阶段性消化作业（一） （满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 C、是有限小数，可化为分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 2. 磁器口古镇的宝轮寺梁柱全凭榫卯结构搭建，未用一颗钉子，展现了古代匠人的精湛技艺．燕尾榫是“万榫之母”，榫头呈梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫正面的榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：由图可得，该图形的主视图为： 3. 下列调查中最适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查上桥中学初三某班学生的中考体考成绩 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 审查一篇报道中的所有错别字 D. 调查全国中小学生对我国月球探测工程“梦舟”飞船的关注度 【答案】D 【解析】 【分析】选择调查方式要根据调查对象的特征灵活判断，对于范围小，精确度要求高，事关重大的调查，选用全面调查，对于调查范围广，普查难度大，普查意义不大的调查，选用抽样调查，据此逐一判断选项． 【详解】解：A、调查上桥中学初三某班学生的中考体考成绩，调查范围小，适合全面调查，不符合要求； B、调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，事关安全，必须进行全面调查，不符合要求； C、审查一篇报道中的所有错别字，精确度要求高，适合全面调查，不符合要求； D、调查全国中小学生对“梦舟”飞船的关注度，调查范围广，普查难度大，最适合采用抽样调查，符合要求． 4. 估算的结果应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的乘法法则计算，然后利用“夹逼法”求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的凤鸣山的“凤”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“凤”字的笔画“丿”的位置在的黄金分割点C处．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，证明四边形为平行四边形，得出，再由黄金分割的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵“凤”字的笔画“丿”的位置在的黄金分割点C处， ∴， ∴． 6. 某款机器人今年9月销量为800台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款机器人销量达到1800台，那么该款机器人这两个月销量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据增长后的销量等于初始销量乘以，列出一元二次方程，舍去不符合题意的根后即可得到结果． 【详解】解：设该款机器人这两个月销量的月平均增长率为， ∵9月销量为800台，从9月到11月共增长2次，11月销量为1800台， ∴列方程得， 解得： 或（增长率为负不符合题意，舍去）， 因此月平均增长率为． 7. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻的变化而变化，，并结合实验数据描点、连线，画成了如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最小电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最大电流是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据表中数值求出反比例函数解析式，把最小电阻代入解析式即可求出结果． 【详解】解：电流随着电阻的变化而变化，，电流与电阻成反比例关系，由图象可得：过， ， ∴电阻最小时，电流最大， 该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流为：， 故选: D． 8. 如图，是某生活小区的长方形广场．该广场内设有一个长方形和一个半圆形草坪，除这两个区域外，其余部分均为休闲区，休闲区即图中的阴影区域．那么，休闲区的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、整式的乘法、合并同类项，根据图形表示出休闲区的面积是解题的关键．由图形得，休闲区的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积和半圆形的面积，代入数据化简即可求解． 【详解】解：休闲区的面积 ． 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先过点作于点，过点作，交延长线于点，通过正方形的性质和条件判定，得，再与平行四边形的性质结合推出，设，，那么，运用勾股定理求解出、的值，最后进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴． ∵，，，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∴． 10. 已知整式，其中n为自然数，，，…，均为正整数，且．下列说法中： ①当，，且为偶数时，则满足条件的整式M共有3个； ②当，为奇数时，满足条件的整式M有且仅有9个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的规律探索，根据题意结合分类枚举的方法，逐一判断每个说法即可得到结论． 【详解】解：① 当，，为偶数时： ∵， ∴需满足，且为正偶数， 小于6的正偶数为和，若，需要3个不同正整数小于，不存在； 若，需要选3个不同正整数小于，仅有这1种组合， ∴满足条件的整式仅有1个，故①错误； ② 当，为奇数时，分类枚举： 时，，为奇数，共1个； 时，，为奇数，可取1，3，共2个； 时，，为奇数，有，，，，共4个； 时，，为奇数，有，，，共3个； 时，，为奇数，仅有，共1个； 总个数为，故②错误； ③ 当时，分类计算： 时，仅，共1个； 时，有1个，有1个，总个； 时，有1个，有2个，有1个，总个； 时，有1个，有3个，有3个，有1个，总个； 总个数为，故③正确； 综上，正确的说法仅有1个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 【答案】##800度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为， ∴其余六个内角之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键． 12. 紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性变成蓝色，遇中性不变色．现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．从四个瓶子中随机选取两瓶，适量的溶液进行混合，则混合后溶液变成红色的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出从四瓶溶液中随机选取两瓶的所有等可能结果数，再找出混合后溶液变红的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：根据题意，从四瓶溶液中随机选取两瓶，所有等可能的结果为：，，，，，，共种， 混合后溶液变红，需要混合液中同时含有紫色石蕊溶液和酸性溶液，符合条件的结果只有，共种， 故混合后溶液变成红色的概率为． 13. 如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据已知可得，根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值． 根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A、B，连接、、，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接，延长交的延长线于点E，若，，则_______． 【答案】44 【解析】 【分析】延长交于点，连接，则，由切线的性质可得，由直角三角形的性质可得，解直角三角形得出，从而可得，，进而得出，证明，求出，从而可得，再证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ， 由圆周角定理可得：， ∵过点P作的两条切线，切点分别为A、B， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过点P作的两条切线，切点分别为A、B， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则______；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为______． 【答案】 ①. 829 ②. 1987 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“十一数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被7整除，只需能被7整除即可，结合，，得出可以为0或7或14，再求解即可． 【详解】解：一个四位数满足，， ，，且，，，，且、、、为整数， ，由题意得 ， ， ， 若是最大的“十一数”，则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 当时，， 则此时，不符合题意， 当时，， 则此时，符合题意， 则； ， 要使能被7整除，只需能被7整除即可， ，， ， 可以为0或7或14， 当时，，此时，不符合题意； 当时， 要使最小，则应尽可能小， ， 满足条件的最小的“十一数”为1987， 故答案为：829；1987． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，从而得出所有整数解，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得． 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有整数解为：，，，0． ∴不等式组的所有整数解的和为：． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1） 如下图，即为所求， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，然后连接该点与点A，交于点F，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可推出，，再结合角平分线可推出，从而利用证得，进而得到，最后根据对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49． 雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50． 两班抽取的学生体测成绩统计表 慧学班 雅行班 平均数 47 47 众数 50 b 中位数 a 48 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中，________，________，________； （2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】（1）49；48；45 （2） 解：慧学班成绩较好，理由如下： 慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好； （3）估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义即可得出的值，根据众数的定义即可得出的值，先求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数，再求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数所占比例，即可得出的值； （2）结合中位数和平均数分析即可得出结果； （3）分别求出两个班级中满分的人数，再利用800乘以此次体测成绩获得满分的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人）, 慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人）， 慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人， 将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49， 故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数； 雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数， 慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． （1）求甲组每天生产多少个套盒？ （2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 【答案】（1）甲组每天生产个套盒 （2）增加人员前，甲组有名工人 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个，由此列一元一次方程求解即可； （2）设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲组每天比乙组少生产200个套盒， ∴设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个， ∴， 解得，， ∴， ∴甲组每天生产个套盒； 【小问2详解】 解：甲组生产4天，则剩下的任务数量为：（个）， ∴甲、乙两组各分得（个）， ∵甲、乙两小组每天生产的数量比为， ∴设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个， ∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天， ∴， 解得，， 经检验：是方程的解， ∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为个/天，乙组每天生产数量为个/天， ∴甲组每人每天可生产个， ∴甲组原有人数为（人），即增加人员前，甲组有名工人． 22. 如图，矩形，，，对角线上有一动点E从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接．点F以每秒0.5个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒，过点F作于点N．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象当时，直接写出x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2） 函数、图象如图， 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、画函数图象、勾股定理等知识点，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，，由勾股定理可得，分两种情况：当时，点在对角线上，作于点；当时，点在上，分别利用相似三角形的判定与性质以及三角形的面积公式计算即可得出关于x的函数表达式；证明，得出，，表示出的周长为，的周长为，即可得出关于x的函数表达式； （2）根据（1）中的函数表达式画出函数图象，结合函数图象写出性质即可 （3）观察函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 当时，点在对角线上，作于点，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∵对角线上有一动点E从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为x秒， ∴， ∴， ∴， ∴此时的面积为； 当时，点在上，如图： 此时， ∴， ∴， ∴此时的面积为； 综上所述：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F以每秒0.5个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，至点A停止，设运动时间为x秒， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴的周长与的周长之比为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合图象当时，． 23. 近日，我校组织开展“劳动点亮青春，植树美化校园”植树节劳动教育活动．如图是本次活动涉及的区域示意图，已知取苗点B位于学校A的南偏东方向，且位于工具间C的正西方120米处；水源D位于工具间C的东北方向且与其正西方的学校A相距240米；种植区E位于水源D的北偏西方向． （1）求点A到点B的距离；（结果保留根号） （2）小凤与小鸣参与了活动，小凤从学校A出发沿A→E方向行走，小鸣从水源D出发沿D→E方向行走．若小凤与小鸣同时出发且小凤的速度是小鸣速度的2倍，当小凤与水源D的直线距离恰好是小鸣离开水源D的距离的4倍时，求小鸣离开水源D的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． 【答案】（1）点A到点B的距离为 （2）小鸣离开水源D的距离约为米 【解析】 【分析】（1）过B作于F，过C作于G，得出四边形是矩形，确定，利用三角函数求解即可； （2）设小凤的位置为M，小鸣的位置为N，过M作于H，确定，设，则，利用三角函数得出，确定一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：过B作于F，过C作于G， 则四边形是矩形，，，， ， ，， ， ， 解得， ， 答：点A到点B的距离为； 【小问2详解】 解：设小凤的位置为M，小鸣的位置为N，过M作于H， ∵小凤与小鸣同时出发且小凤的速度是小鸣速度的2倍， ， 设，则， 根据题意，得，， 在中，，， ∴， ∵小凤与水源D的直线距离恰好是小鸣离开水源D的距离的4倍，即， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：小鸣离开水源D的距离约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，当的最大值时，在抛物线对称轴上有两动点Q，R（点Q在点R的上方），当时，求的最小值． （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3） 点N的坐标为或， 过程：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当N在y轴的左侧时，过N作轴于K， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：或（舍去） ； 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过作过M的垂线于T， 同理可得：， 设则， 同理可得：， 或（舍去）， ， 综上，点N的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）把代入，得，根据对称轴公式得出，然后联立方程组求解即可;; （2）延长PE交x轴于G，过P作轴于H，求出，运用待定系数法求出直线解析式为，设，，得，，可得，由二次函数的性质得取得最大值，最大值为；此时；当、R、三点共线时，最小，为的长度，由勾股定理求出的长度即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为，，分两种情况：当N在y轴的左侧时，过N作轴于K，证明，可得，证明；当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过作过M的垂线于T，同理可得，再进一步 结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C， 抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交x轴于G，过P作轴，交于H， ∵当时，解得，， ， 当时，， ， ∴， ∴， 轴， ∴， ∴， ∴， ，， 设的解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，取得最大值，最大值为；此时； 将沿对称轴向下平移2个单位，得， 作关于对称轴的对称点，得， 此时， 当、R、三点共线时，最小，为的长度， ， 的最小值为． 【小问3详解】 略 25. 在中，，，点D为边上一个动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，线段的长度恰好为线段的2倍，与交于点G，若，求的长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点D作交于点H， ，， ，， ， ，， ，， ， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ，， ∴， ∴， ，， ， 又，， ∴， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，求出，由旋转的性质可得，，即可得出结果； （2）过点D作交于点H，先证明，得出，，从而可得，再证明，得出，即可得证； （3）在上截取，连接，先证明，得出，，从而得出当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，分别求出，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ∵线段的长度恰好为线段的2倍， ∴， ， ， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ， 又， ∴， ∴， ， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，如图4： ，， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， 由折叠的性质得，， ， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $