精品解析：2026年云南省昆明市初中学业质量诊断性检测 数学试题.

2026年初小中学业质量诊断性检测 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2、考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年云南省民生保障坚实有力，全省城镇新增就业约511000人，群众获得感幸福感安全感满满，数据511000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线 ，都相交，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若点在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 2 9. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 五边形 10. 2025年中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2025年用电量约为10万亿千瓦时．设用电量的年平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点都在上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 13. 已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 14. 昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是（ ） 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次（单位：百人） 46 87 245 168 61 198 75 A. 75 B. 87 C. 61 D. 168 15. 如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_____________． 17. 如图，在中，以点A为圆心适当长为半径作弧，分别交于点D，E．再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则点G到的距离是________． 18. 如图， 与交于点，且．若，则__________． 19. 为了解游客对云南旅游的偏好情况，云南省文旅厅随机抽取了2000名来滇游客进行调查，对选择A：文化古迹游，B：自然生态游，C：民族风情游，D：都市休闲游的四类结果进行统计后，绘制了如图所示的扇形统计图，根据图中信息，选择“B：自然生态游”的游客约为_____________名． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，与相交于点，，．求证：． 22. 为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 23. 2026年春晚亮相了“人形”、“四足”、“仿生”、“轮式”四类机器人，展示了我国机器人发展的多元技术格局，某校七年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B两类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等；八年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B、仿生人形机器人C、轮式双臂机器人D四类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等．记选择人形机器人A为A，选择四足机器人B为B，选择仿生人形机器人C为C，选择轮式双臂机器人D为D，记七年级科创组的选择为，八年级科创组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同的概率． 24. 如图，在中，点，分别是 ，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，，，求矩形的面积． 25. 【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动． 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不同的反应；一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧气充足，有利于鱼类生长．在特定范围内，水体溶解氧含量（毫克/升）与水温（℃）呈现出一次函数的变化规律． 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为时，水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为时，水体溶解氧含量为7毫克/升．实验要求检测的水温不低于，且不高于． 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升，水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面． 【活动任务】 （1）任务1：请你根据数字化实验数据；求与之间的函数关系式； （2）任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值． 26. 已知关于的二次函数（为常数）． （1）当时，求二次函数图象的对称轴； （2）当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 27. 如图，为的外接圆，且 为的直径，为的中点，连接交于点，连接，，过点作交其延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的切线； （3）想一想，证一证，以下三个结论： ， ， ，你认为哪个正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初小中学业质量诊断性检测 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2、考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 2. 下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，对四个选项逐一分析，即可解答． 【详解】解：A、两个黑点分别位于右上和左下，找不到一条直线使折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形； B、图形上下、左右的文字/符号都不相同，无法找到对称轴使两侧重合，不是轴对称图形； C、左侧是，右侧是无穷大符号，二者不同，折叠后无法重合，不是轴对称图形； D、沿竖直中线（或水平中线）折叠后，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形． 3. 2025年云南省民生保障坚实有力，全省城镇新增就业约511000人，群众获得感幸福感安全感满满，数据511000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，对于大于的原数，等于原数的整数位数减，根据科学记数法的定义确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵，∴A错误． B、∵，∴B错误． C、∵，∴C正确． D、∵，∴D错误． 5. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从物体上方看到的依次判断各个选项中几何体的俯视图即可． 【详解】解：A选项中俯视图是三角形，符合题意； B选项中俯视图是长方形，不符合题意； C选项中俯视图是圆，不符合题意； D选项中俯视图是圆，不符合题意． 6. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解不等式得． 7. 如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等得到，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 8. 若点在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：将点代入函数得：． 9. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 五边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 即这个多边形是九边形． 10. 2025年中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2025年用电量约为10万亿千瓦时．设用电量的年平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设用电量的年平均增长率为，根据“2023年用电量为万亿千瓦时，2025年用电量约为10万亿千瓦时”据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵2023年用电量为万亿千瓦时，年平均增长率为， ∴2024年用电量为万亿千瓦时， 2025年用电量为万亿千瓦时， 又∵2025年用电量为万亿千瓦时， ∴列方程得 ． 11. 如图，点都在上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：点都在上，， ， 故选：C． 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式的规律探索，分别拆分分子、分母找对应规律即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 依此类推，第个代数式为：． 13. 已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据底面半径求出圆锥底面周长，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆锥底面半径， ∴圆锥底面周长， 设圆锥母线长为，由题得， 根据圆锥侧面积公式， ∴该圆锥侧面积为． 14. 昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是（ ） 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次（单位：百人） 46 87 245 168 61 198 75 A. 75 B. 87 C. 61 D. 168 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据个数为奇数，取最中间位置的数即为中位数． 【详解】解：将这7个数据按从小到大的顺序排列得：， ∵数据总个数为7，是奇数， ∴这组数据的中位数为． 15. 如图，菱形 的对角线与相交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴，即， ∵，， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 17. 如图，在中，以点A为圆心适当长为半径作弧，分别交于点D，E．再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则点G到 的距离是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质定理．正确作出辅助线，利用角平分线的性质计算是解题关键． 【详解】过 作交 于点H， 由作图可知平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 19. 为了解游客对云南旅游的偏好情况，云南省文旅厅随机抽取了2000名来滇游客进行调查，对选择A：文化古迹游，B：自然生态游，C：民族风情游，D：都市休闲游的四类结果进行统计后，绘制了如图所示的扇形统计图，根据图中信息，选择“B：自然生态游”的游客约为_____________名． 【答案】800 【解析】 【分析】利用总人数乘以选择“B：自然生态游”的占比即可． 【详解】解：由扇形统计图可得，， ∴选择“B：自然生态游”的游客约为名． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、乘方的性质、绝对值的性质以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ． 【解析】 【分析】由“”即可证明． 【详解】略 22. 为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【答案】原计划平均每月建成200座充电站 【解析】 【分析】设原计划平均每月建成座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提前3个月完成任务”建立分式方程求解． 【详解】解：设原计划平均每月建成座充电站，根据题意可列方程为 ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月建成200座充电站． 23. 2026年春晚亮相了“人形”、“四足”、“仿生”、“轮式”四类机器人，展示了我国机器人发展的多元技术格局，某校七年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B两类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等；八年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B、仿生人形机器人C、轮式双臂机器人D四类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等．记选择人形机器人A为A，选择四足机器人B为B，选择仿生人形机器人C为C，选择轮式双臂机器人D为D，记七年级科创组的选择为，八年级科创组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同的概率． 【答案】（1）共有8种等可能性结果 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据表格（或树状图），得到共有8个等可能的结果，该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同的情况有6种，再由概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：列表如下： 由上表可知，共有8种等可能性结果． 【小问2详解】 解：记“该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同”为事件，其中满足条件的有6种，即，，，，，， ． 24. 如图，在中，点 ，分别是，的中点，过点作，垂足为 ，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可得， ，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得 ，最后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得：， ，是的中位线， ， ， ． 25. 【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动． 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不同的反应；一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧气充足，有利于鱼类生长．在特定范围内，水体溶解氧含量（毫克/升）与水温（℃）呈现出一次函数的变化规律． 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为时，水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为时，水体溶解氧含量为7毫克/升．实验要求检测的水温不低于，且不高于． 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升，水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面． 【活动任务】 （1）任务1：请你根据数字化实验数据；求与之间的函数关系式； （2）任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值． 【答案】（1） （2）结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升 【解析】 【分析】（1）设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为，然后根据题意及待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知，则有随的增大而减小，然后问题可进行求解． 【小问1详解】 解：设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为， ，解得， ； 【小问2详解】 解：， 随的增大而减小， ， 当时，． 答：结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升． 26. 已知关于的二次函数（为常数）． （1）当时，求二次函数图象的对称轴； （2）当时，二次函数的最大值为 ，最小值为，若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（）利用二次函数对称轴公式，代入即可解答； （）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴与 区间的位置关系分四类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区间内靠近左端点、区间内靠近右端点，分别求出对应区间的最值并代入列方程，舍去不符合前提条件的解后，最终得到符合条件的值为或． 【小问1详解】 解：∵二次函数（为常数）， ∴根据二次函数图象的对称轴为直线， 当时，对称轴为直线， 故二次函数图象的对称轴为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ①若对称轴在区间左侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最小值为， 当时， 有最大值为， ， ， 即， （舍去）； ②若对称轴在区间右侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ， 即， （舍去）； ③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图， 则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，， 即，（舍去），（符合）； ④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图， 则，即． 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，，即， 解得，（舍去），（符合）； 综上所述，的值为或． 27. 如图，为的外接圆，且为的直径， 为的中点，连接交于点，连接，，过点 作交其延长线于点 ． （1）若，求的度数； （2）求证：为的切线； （3）想一想，证一证，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ， ， 为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （3） 解：正确，理由如下： 为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，利用 求解即可； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到， ，进而得到，证得，进而得到，从而得出结论； （3）根据圆周角定理易证得 ，进而得到，再证得 ，进而得到，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：为的直径， ， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $