精品解析：云南省昆明市西山区2025年初中学业水平考试模拟测试九年级数学

2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1． 本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2． 考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、单选题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作（ ） A. B. C. D. 2. 稀土是钪、钇、镧系17种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．2024年中国稀土出口增长了，达到55400000千克，将55400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下是我国部分历史遗址标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 9. 如图，花瓣图案中的正六边形的每个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程有一个根是，则另一根是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，D，E是 边 ， 边上的两点，且，若，则与 的周长之比为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 13. 观察下列各式：①，②，③，④…，则第n个式子为（ ） A. B. C. D. 14. 《2025年春节联欢晚会》是“春节”申遗后的首届春晚，晚会从中国传统非遗中汲取创作灵感，充分展示了中华优秀传统文化的隽永魅力.据统计，此次春晚共设计百余项非遗.比如小品《借伞》以《白蛇传》“断桥借伞”为灵感，融合京剧、粤剧、川剧、越剧四个剧种.在此影响下，某数学兴趣小组开展了一次调查活动，围绕“在以上四个剧种中，你最喜爱哪一种？（必选一种且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制了如图所示的统计图.根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 本次调查一共抽取了50名学生 B. 扇形图中“川剧”的圆心角为 C. 调查的学生中喜爱“京剧”的人数是喜爱“川剧”的人数的两倍 D. 若该学校共有900名学生，则喜爱“越剧”的学生大约为216人 15. 如图， 是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 把多项式分解因式的结果是______． 17. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________． 18. 如图，在等腰三角形 中，，若腰，则 的底边长为______． 19. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，若，则圆锥形纸杯的侧面积为______．（结果保留） 三、解答题（本题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，已知 ， 相交于点E，，，求证：． 22. 某互联网巨头采用面试系统筛选求职者，共有3000名应聘者参与线上考核．为确保应聘者的各项数据准确，每位应聘者的各项数据需由甲、乙两位员工独立录入系统进行交叉验证．其中，甲使用辅助录入工具，乙采用传统手动录入方式．已知甲平均每分钟录入的人数是乙平均每分钟录入的人数的倍，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入．求乙平均每分钟录入多少名应聘者的数据？ 23. 在国漫崛起的浪潮中，《哪吒之魔童降世》以颠覆性的东方美学和热血剧情点燃银幕，成为现象级作品．为回馈观众，扩大电影宣传力度，某影城特别推出“国潮神话”盲盒抽奖活动，盲盒甲中装有分别标有数字1，2，3，4的四颗灵珠（除标号外，其余都相同），盲盒乙中装有分别标有数字1，2，3的三件法宝（除标号外，其余都相同）．参与者抽奖规则如下：先从盲盒甲中任意抽取一颗灵珠，灵珠上的数字记为x；再从盲盒乙中任意抽取一件法宝，法宝上的数字记为y． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）若灵珠与法宝上的数字相同，即可兑换限量版“魔丸手办”．求参与者能兑换“魔丸手办”的概率P． 24. 如图，在矩形 中，E、F分别是、的中点，M、N分别是线段、 的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为24，求菱形的周长． 25. 野生菌火锅是云南特有的美味，被评为“中国菜”之云南十大经典名菜．某野生菌火锅店为吸引客户，推出两种套餐，近两天这两种套餐的销售情况统计如下表： 套餐时间 数量 收入 甲套餐 乙套餐 第一天 20次 10次 3200元 第二天 15次 20次 3900元 （1）求甲、乙两种套餐的单价； （2）甲套餐的成本为50元，乙套餐的成本为65元，在野生菌旺季，这两种套餐的销售单价不变，该火锅店每天都能全部售完供应的50个套餐（甲、乙套餐均准备），且甲套餐的数量不少于乙套餐数量的，野生菌旺季期间，怎样安排两种套餐的数量使得该火锅店每天销售这两种套餐获得的利润最大？最大利润是多少？ 26. 已知抛物线． （1）若抛物线经过点时，求a的值； （2）若点，在此抛物线上，求的值． 27. 如图，在 中， 是的直径，与相交于点D，连接．的平分线与交于点E，与交于点F，连接．点M为线段上的一点， 平分． （1）求的度数； （2）若，求证： 是的切线； （3）若点M是的中点，，求的直径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1． 本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2． 考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、单选题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，用正数和负数表示两种具有相反意义的量，由此求解即可，理解具有相反意义的量是解此题的关键． 【详解】解：如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作， 故选：D． 2. 稀土是钪、钇、镧系17种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．2024年中国稀土出口增长了，达到55400000千克，将55400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：将55400000用科学记数法表示为． 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的运算法则，理解相关知识是解答关键． 利用合并同类项的知识求解A，用幂的乘方的运算法则求解B，运用完全平方公式求解C，利用单项式除以单项式的运算法则求解D． 【详解】解：A．与不是同类项，不能进行加法计算，此项计算错误，故不符合题意； B．，此项计算正确，故符合题意； C．，此项计算错误，故不符合题意； D．，此项计算错误，故不符合题意． 故选：B． 4. 如图，，于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 故选：C． 5. 已知点在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式为，则可推出在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为，据此可得答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴，即在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为， ∴四个选项中，只有D选项中的点在该反比例函数的图象上， 故选：D． 6. 以下是我国部分历史遗址标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 8. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，进行分析计算可得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 9. 如图，花瓣图案中的正六边形的每个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求正多边形的外角，由正多边形的外角和为且每个外角相等，即可求解；掌握多边形的外角和及正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 10. 关于x的一元二次方程有一个根是，则另一根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为， ∴此方程的两根之和为2， 又∵此方程的一个根是， ∴方程的另一个根是． 故选：A． 11. 如图，D，E是边，边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之比为， 故选：B． 12. 如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，根据三视图的知识，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 【详解】解：观察图形可知，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 故选∶C． 13. 观察下列各式：①，②，③，④…，则第n个式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与多项式有关的规律探索，观察可知每个多项式分为两项，第一项的系数为序号的平方，字母为a，字母的指数为1，第二项的系数，偶数项为正1，奇数项系数为负1，字母为b，字母的指数为3开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④…， 以此类推，可知第n个式子为， 故选：A． 14. 《2025年春节联欢晚会》是“春节”申遗后的首届春晚，晚会从中国传统非遗中汲取创作灵感，充分展示了中华优秀传统文化的隽永魅力.据统计，此次春晚共设计百余项非遗.比如小品《借伞》以《白蛇传》“断桥借伞”为灵感，融合京剧、粤剧、川剧、越剧四个剧种.在此影响下，某数学兴趣小组开展了一次调查活动，围绕“在以上四个剧种中，你最喜爱哪一种？（必选一种且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制了如图所示的统计图.根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 本次调查一共抽取了50名学生 B. 扇形图中“川剧”的圆心角为 C. 调查的学生中喜爱“京剧”的人数是喜爱“川剧”的人数的两倍 D. 若该学校共有900名学生，则喜爱“越剧”的学生大约为216人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图、条形统计图，根据样本容量的求法、扇形图中圆心角的求法、样本估计总体解答即可． 【详解】解：A、本次调查一共抽取的学生数为：（人），故本选项说法正确，不符合题意； B、扇形图中“川剧”的圆心角为：，故本选项说法错误，符合题意； C、调查的学生中喜爱“京剧”的人数是喜爱“川剧”的人数的两倍，故本选项说法正确，不符合题意； D、若该学校共有900名学生，则喜爱“越剧”的学生大约为：（人），故本选项说法正确，不符合题意． 故选：B． 15. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先利用邻补角的定义计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：为直径，， ， ． 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 17. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差的定义，结合表中数据即可获得答案． 【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光合作用速率， 而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用速率的稳定性强， ∴这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是丁． 故答案为：丁． 18. 如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，即可求出的度数，的长，再根据勾股定理即可求出的长，于是得出的长． 【详解】如图，过点A作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， 故答案为：． 19. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，若，则圆锥形纸杯的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆锥的侧面积，由题意可得底面圆的周长为，为等边三角形，即得，再根据圆锥的侧面积公式进行求解即可，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵直径长为， ∴底面圆的周长为， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴圆锥形纸杯的侧面积， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算乘方，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，已知，相交于点E，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据得出，证明，即可解答． 【详解】略 22. 某互联网巨头采用面试系统筛选求职者，共有3000名应聘者参与线上考核．为确保应聘者的各项数据准确，每位应聘者的各项数据需由甲、乙两位员工独立录入系统进行交叉验证．其中，甲使用辅助录入工具，乙采用传统手动录入方式．已知甲平均每分钟录入的人数是乙平均每分钟录入的人数的倍，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入．求乙平均每分钟录入多少名应聘者的数据？ 【答案】10名 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据，根据共有3000名应聘者参与线上考核，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入，列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：乙操作员每分钟能输入10名应聘者的数据． 23. 在国漫崛起的浪潮中，《哪吒之魔童降世》以颠覆性的东方美学和热血剧情点燃银幕，成为现象级作品．为回馈观众，扩大电影宣传力度，某影城特别推出“国潮神话”盲盒抽奖活动，盲盒甲中装有分别标有数字1，2，3，4的四颗灵珠（除标号外，其余都相同），盲盒乙中装有分别标有数字1，2，3的三件法宝（除标号外，其余都相同）．参与者抽奖规则如下：先从盲盒甲中任意抽取一颗灵珠，灵珠上的数字记为x；再从盲盒乙中任意抽取一件法宝，法宝上的数字记为y． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）若灵珠与法宝上的数字相同，即可兑换限量版“魔丸手办”．求参与者能兑换“魔丸手办”的概率P． 【答案】（1） 列表如下： y x 1 2 3 1 2 3 4 由表可知：共有12种等可能结果． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）列表即可求解； （2）由列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由列表可得：参与者赢得“魔丸手办”有3种情况，即，，， ∴参与者能兑换“魔丸手办”的概率． 答：参与者能兑换“魔丸手办”的概率为． 24. 如图，在矩形中，E、F分别是、的中点，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为24，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：∵F、M、N分别是、、的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）20 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据三角形中位线定理，证明出四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，证明，从而推出，即可证明结论； （2）连接、，根据角的正切值设，，得到，证明四边形是平行四边形，得到，利用三角形中位线定理，得到，结合菱形的面积，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴设，， ∴， ∵E、F分别是、中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去） ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 25. 野生菌火锅是云南特有的美味，被评为“中国菜”之云南十大经典名菜．某野生菌火锅店为吸引客户，推出两种套餐，近两天这两种套餐的销售情况统计如下表： 套餐时间 数量 收入 甲套餐 乙套餐 第一天 20次 10次 3200元 第二天 15次 20次 3900元 （1）求甲、乙两种套餐的单价； （2）甲套餐的成本为50元，乙套餐的成本为65元，在野生菌旺季，这两种套餐的销售单价不变，该火锅店每天都能全部售完供应的50个套餐（甲、乙套餐均准备），且甲套餐的数量不少于乙套餐数量的，野生菌旺季期间，怎样安排两种套餐的数量使得该火锅店每天销售这两种套餐获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲套餐的单价为100元，乙套餐的单价为120元 （2）安排甲套餐22个，乙套餐28个，该火锅店每天在这两种套餐上获得的利润最大，最大利润是2640元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组、不等式以及一次函数关系式是解题的关键． （1）设甲套餐的单价为x元，乙套餐的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设安排甲套餐a个，则安排乙套餐个，设每天的利润为W元．根据题意得出，然后根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设甲套餐的单价为x元，乙套餐的单价为y元， 则：， 解得：， 答：甲套餐的单价为100元，乙套餐的单价为120元． 【小问2详解】 解：设安排甲套餐a个，则安排乙套餐个，设每天的利润为W元． 则 由题意得， 解得：． ∵a为整数， ∴ ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时， 此时， 答：安排甲套餐22个，乙套餐28个，该火锅店每天在这两种套餐上获得的利润最大，最大利润是2640元． 26. 已知抛物线． （1）若抛物线经过点时，求a的值； （2）若点，在此抛物线上，求的值． 【答案】（1）2 （2）2025或2007 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质． （1）将点代入抛物线解析式求解，即可解题； （2）把代入函数解析式得得到，，再分两种情况①若与不重合，②若与重合，求出的值，最后将，，以及的值代入式子求解，即可解题． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：把代入函数解析式得， 整理得：， ∴， ∴， ①若与不重合， 则，解得：， ∴ ； ②若与重合，则， ∴ ． 27. 如图，在中，是的直径，与相交于点D，连接．的平分线与交于点E，与交于点F，连接．点M为线段 上的一点，平分． （1）求的度数； （2）若，求证：是的切线； （3）若点M是 的中点，，求的直径． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴ ∵ 平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴是的切线； （3）5 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练运用圆的相关性质，通过角与边的关系进行推理计算． （1）利用圆周角定理和平分，求度数； （2）依据圆周角定理、角平分线性质及三角形内角和定理证明，进而证明是切线； （3）连接，，，证明，由M是 的中点，可得、平行线性质、由，，证明，得到，最后在中运用勾股定理求圆的直径． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴ ∵平分， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴，弧弧， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵M是 的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 同理可证：， ∴， ∴又，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，∴， 解得：，即的直径为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $