5.2 平面向量基本定理及坐标表示-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

2D[日表示a方向的单维向童，因此日=合的元要 条件是a∥b且a与b同向.] 题型2 [例2](1)[解析]根据三角形中向量对应线段的数量及位 置关系，用AB、AC表示出BE即可. 由慈较成-宁耐+而)=宁 1 函+=+号厨 2 3 B✉ +=-号+ 所以成-导a [答案]B (2)[解析]因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=DC,AD=BC, 月为或=-D.所以前-成-号， 连接AF,在△AEF中， 所以EF=EA十AF=ED-AD+AB+BF =- A店-A心正+2成-号店2， 又因为EF=xAB十yAD, 所以=号=子故y= 1 「答案]C 跟踪训练 1B如图，：AB D =D丽-DA=D成-元+CA) =DB-DC-CA- 成aA-c. ÷店=丽-a店-号丽-号A花 :=店-0)=（号+号）2d =成+名Ac.] 2.解析：因为A,M,Q三点共线，所以存在一个实数入，使得 AM=AAQ,所以CM-CA=XCQ-XCA=之CB-XCA,所 以C=1-Ci+含C或.又Gi=C-号CA+ 号.嘴miCi+品. 1-=4, 根据平面向量基本定理可得 31 2 3 t= 4 解得 入=2 答案：子 题型3 [例3](1)[解析]因为向量a,b不共线，向量8a一kb 与一a十b共线， 所以8a-b=t(-a十b)=-kt扣十tb,t∈R, 故3二解得k=士22 1-k=t, [答案]士2V2 ·4( 参考答案 (2)[解析]如图，延长AG交BC于 点F,则F为BC的中点， a-号号i+. D 又由AB=1AD,AC=1AE, 市十动 1AE, B 又因为G,D,E三点共线， 安动1即8 [答案]3 跟踪训练 1.B[根据题意，A,B,C三点共线，点O在直线AB外， OA=0i+子0C.设BA=入BC(以≠0，A≠1)，则0A OB+BA-OB+BC-OB+(OC-OB)=AOC+ 1-A=1 (1-λ)OB,. 消去入得1十2=1，x十8y x 2 λ= y =8(任+号）1+号++16≥7+2层·型 =25(省且仅当=5y=号时等式成立.门 2.解析：因为向量e1,e2是两个不共线的向量，且AB=2e -e2,AC=e1+3e2,所以BC=AC-AB=-e1十4e2,又因 为BD=2e1-e2,且B,C,D三点共线，所以-1X(-k) 一4×2=0，解得k=8. 答案：-e1十4e28 §5.2平面向量基本定理及坐标表示 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)不共线入1e十入e2(2)不共线 2.(1)(x1十x2y十y2)(x1-x2y-y2)(A1Ay) √x十 (2）(x2-x1,y2-y） √/(x2-x1)2十(y2-y1)23.x12-x2y1=0 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A[若m=-3,则a=(9,-9)=9b,故a∥b:若a∥b,则 一m2-（-9)×1=0,解得m=3或m=-3.所以“m=-3” 是“a∥b”的充分不必要条件.] 3.D[因为e2-e1=-(e1-e),故e1-e2与e2-e1共 线，不能构成基底.] 4.解析：设点O为坐标原点， 点P在线段BA的延长线上，且2BP=3AP, :.2 BP=3 AP, 即2(OP-OB)=3(OP-OA), ∴.0P=30A-2OB=3(2,3)-2(4,-3)=(-2,15). .点P的坐标为(-2,15). 答案：(-2,15) 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]平面向量的基底由两个不共线的非 零向量组成，C选项中，2e十e=2(e十2e）,即2e:十 e和e1十2为共线向量，所以它们不能作为基底.其 他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为 基底， [答案]C 07 高考总复习数学 (2)[解析]如图：连接AE,由题意知 △ABD≌△BCE≌△CAF,且D,E,F 分别为BE,CF,AD的中点 则Sa=Sa=Saue, D S△ABc=S△AFc十SAAD十SAE S△DEF=7S△EF, AD=AB+BD=A店+号B成=A店+号(BC+CE)= A店+（成+C 又-AC-A店，C本-AF-AC-2AD-AC, 化猫得A=号i-子记 所以=告十号号 [答案]片号 跟踪训练 1.D[因为任一向量m=a十b(a,∈R), 所以根据平面向量的基本定理得，向量a,b不共线， 故A,B,C不正确； 因为a,b不共线，所以当且仅当A=H=0时，a十b=0, 故D正确. 2.B[设正六边形ABCDEF的边长 为2，如图，设AD,EC交于点O,有 OD=1,A0=3, 则cD=C0-Oi=含(CA+AE)+ 合Ac-AE=-号Ac+号a正.] 题型2 [例2](1)[解析]设a=(x1y),b=(x2y2), 所以2-=0且西一2=一3·解得2=1， (2y1-y2=3,(y1-2y2=0, {y1=2, {=2即a=(1,2),b=(2,1. y2=1, 所以a十b=入(1,2)十(2,1)=(a十2,2λ+)=(-1,1)， 公泽公0 [答案]B (2)[解析]方法一（坐标法） 建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2, 所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1), 所以CA=(-2,2),CE=(-2,1), DB=(1,2),因为CA=ACE十uDB, 所以(-2,2)=A(-2,1)十(1,2)， 6 所以{2十u一2解得 (λ十24=2， 2 故= 方法二（基底法）：令DC=a,DA=b,取{a,b}为一个 基底， 由题意得CA=b-a,AC花+uD=A(合b-a) r(+2）(2x+r)b+(+zr加. ·4( 1=2A+, 由于CA=CE+DB,所以 -1=-+1 , λ= 51 解得 8 所以入十μ=5 [答案]B 跟踪训练 1.D[:a-2b+3c=0, 1 c=-3(a-2b). ,a-2b=(5,-2)-(-8,-6)=(13,4), e=-3a-2b)=(号，-青）门 2.D[如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长 为1，a=AB,b=BC,c=CD, ↑y -*D A8 012 则A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1), 所以a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3), 设向量c=ma十nb, 则c=a十nb=(m一2n,m十3n)=(7,-3), 所以m二2n=7,。解得{m=3, {m+3n=-3,1 {n=-2, 所以c=3a-2b.] 题型3 [例3-1][解析]因为AC=AB+BC=(4,m十6)， 又因为A,C,D三点共线，所以AC∥AD, 则4X2m一（-1DXm十6)=0，解得m=一子. 2 [答案]- 3 [例3-2][解析]因为点P在直线OA上，所以OP∥PA, 又周为0p=号PA,所以0亦=±PA,设点Pm,m, 则OP=(m,n),PA=(6-m,3-n). ①若0P=号PA,剥(mn》=之(6-m3-… 2 m=2(6-m), 所以 (-t-. 解得∫m=2, n=1, 所以P(2,1),因为P是OB的中点，所以B(4,2). @若0P三-PA,则(m,m)=-(6-m,3-n), = (6-m) 1 所以 解得∫m=一6， (n=-3, n=- (3-n, 所以P(一6，一3)，因为P是OB的中点， 所以B(-12,-6). 综上所述，点B的坐标为(4,2)或(-12，一6). [答案](4,2)或(-12，-6) 8 跟踪训练 1.C[由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0, 即P1P2十PP2=0,P1P2=P2P, OP:-OP=OP-OP:, OP=2OP2-OP1=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4), 0P=√32+(-4)=5， 与OP同向的单位向量为OP (停) OP 反向的单位向量为（一号，号）门 2.解析：因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3), 所以点C(0,是）同理点D(2,受) 设M的坐标为(x,y), 则AM=(y-5),而AD=（么，-） 因为A,M,D三点共线，所以AM与AD共线， 7 所以-之x-2(y-5)=0,即7x+4y=20, cM(,号)cB(（4-03号)(，) 因为C,M,B三点共线，所以CM与CB共线， 所以子x-4-号）=0，即7x-16y=-20, 由7x+4y=20, 12 (x7 7x-16y=-20, (y=2, 所以点M的坐标为（号，2） 管案（片2） §5.3平面向量的数量和 复盘·必备知识必备知识掌握 1.∠AOB[0,π]2.ab·cos03.(2)a(a·b) a·(b)(3)a·b+a·c4.√十yi1x2十y1y2= 自主诊断查验 1.(1)√(2)×(3)×(4)× 2.D[因为b=2a=2, 所以(2a+b)·a=2a+a·b=2a2+a|b·cos =2+2x1×(2)=1.] 3.解析：a-b=(1-3入，3-4λ)， :(a-b)⊥b, .(a-b)·b=0,即(1-3x,3-4λ)·(3,4)=0， ÷3-9以十12-16以=0，解得A=是 答案：号 4.解析：设a与b的夹角为9， 因为a=(1W2),b=2V3,a·b=-3, 以@08合2后专 -3 因为0°≤180°，所以8=120°， 即a与b的夹角为120. 答案：120° 参考答案 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]：a-2b2=a2-4a·b十4b2, 又a=1,b=√5，a-2b=3, .∴.9=1-4a·b十4×3=13-4a·b, ∴.a·b=1. [答案]C 〔②)[解析]正-+号心 =A0+号（花-A0=古a前 号AC=A店+号Ac= 6a A +子.Ci=A店-AC=a-b, CD-AD-AC-2AB-AC-70-. 从两AE=合(a+4b)=号[6a-b)-5(a-2b]=CB 号cD, 故A正.CD-是AE.d-A=-是AE =-15. [答案] a+号6-15 1 跟踪训练 1.A[设b=2a=2t>0,因为a与b的夹角为120°， 所以a·b=abc0s120°=-t. 因为非零向量a,b,c满足a十b十c=0, 所以c=一(a十b), 所以a·c=-a·(a十b)=-a2-a·b=-a2-a·b =-t+t2=0.] 2.B[设向量a与b的夹角为日，则所求投影向量为 (6)A国为。-6=2，所以。 2a·b+b=4,又因为a=1,b=1,所以a·b=-1, 所以()0-6] 3C[由题意得，Ai=-号A,AC=成-A,又周为 AB=2,BC=1∠ABC=子，所以BA·成=BA· BCc0s∠ABC=2×1X2=1,所以AM.AC= }BA·(BC-A)=-子BA,BC+子BA +-1 题型2 [例2-1][解析]本题考查了平面向量的数量积，模的 最值. 由题意可知，f(a,b),f(b,c),f(a,c)三者全为0或一个 为1，一个为一1，一个为0. 当全为0时，可知a,b,c,两两垂直，不符合题意，所以必 为后者，不妨设f(a·b)=0,f(b·c)=一1， f(a,c)=1 可知b·c<0,a·c>0,a·b=0 设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos0,sin8), ia.e-cos0>0b-sin 0) ∴.a+b+c|=√1十cos)+(1+sin) √3+2sin(+平) 409·第五章平面向量与复数 (2)如图，在平行四边形 题型3 共线定理及其应用 ABCD中，F是BC的 例3] (1)已知向量a,b不共线，向量8a 中点，CE=一2DE,若 b与一ka十b共线，则k EF=xAB+yAD,则x+y= (2)已知△ABC的重心为G,经过点G的直 A.1 B.6 c D.3 线交AB于点D,交AC于点E,若AD=入 规律方法 AB,AE=uAC,则}+ 平面向量的线性运算技巧 规律方法 1.不含图形的情况：可直接运用相应运算法 利用向量共线定理解题的策略 则求解. (1)a∥b台a=b(b≠0)是判断两个向量共 2.含图形的情况：将它们转化到三角形或平 线的主要依据 行四边形中，充分利用向量加法、减法的 (2)若a与b不共线且a=b,则入==0. 三角形法则及平行四边形法则，并结合实 (3)已知O,A,B是不共线的三点，且OP= 数向量的共线定理，把未知向量用已知向 量表示出来求解。 mOA+nOB(m,n∈R),则A,P,B三 点共线的充要条件是m十n=1. 1跟踪训练 :跟踪训练 1.已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB= 1.已知O,A,B,C为平面a内的四点，其中A, 2DC=2AD=2,BC的中点为E,则AE= B,C三点共线，点O在直线AB外，且满足 ( AD店+ad 0A=10B+20C.其中x>0,y>0,则x+ BD店+号Ad 7 3 8y的最小值为 () C.TDB+2AC n号D+aC A.21 B.25 C.27 D.34 6 2.如图，在△ABC中，点 2.设向量e1,e2是两个不共线的向量，已知AB P是AB上的点，且CP =2e1-e2,AC=e1+3e2,BD=2e1-ke2,且 =号ci+3ci.且Q B,C,D三点共线，则BC= 0 (用e1,e2表示)；实数k= 是BC的中点，AQ与CP的交点为M,又有 C温馨提 CM=tCP,则实数t= 学习至此，请完成配套训练课时冲关30 §5.2平面向量基本定理及坐标表示 ★[考试要求] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表 示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.平面向量的坐标运算 1.平面向量基本定理 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 (1)定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数入1，入2，使a= ,a-b= ,a= a= (2)基底： 的向量e1,e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. ·99· 高考总复习数学 (2)向量坐标的求法 (2)基底中可以含有零向量： () ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标 (3)若a=（x1,y1),b=（x2,y2),则a∥b的充 即为向量的坐标. 要条件可以表示成1=当 ( I2 y2 ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= (4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐 ,|AB1= 标不变 () 3.平面向量共线的坐标表示 2.已知向量a=(m,一9)，b=(1,一1)，则 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b共线台 “m=-3”是“a∥b”的 () A.充分不必要条件 知识拓展用活 B.必要不充分条件 1.已知P为线段AB的中点，若A(1,y1), C.充要条件 B(x2,2),则P点坐标为 D.既不充分也不必要条件 2 3.若e1,e2是平面内一组不共线的向量，则下 2.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1), 列四组向量中，不能构成平面内所有向量的 B(x2y2),C(x3y3), 一个基底的是 () 则G x1+x2+x3y1十y2十y3 A.e1与e1+e2 3 B.e1-2e2与2e1+e2 自主诊断查验 C.e1-2e2与e1+2eg 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” D.e1-e2与e2-e 或“×”) 4.已知A(2,3),B(4,一3)，点P在线段BA (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个 的延长线上，且2BP=3AP,则点P的坐标 基底 是 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 平面向量基本定理的应用 面积比为 :②设AD=入AB十4 [例1](1)设{e1,e2为平面内的一个基 AC,则入十= 底，则下面四组向量中不能作为基底的是 A.e1+e2和e1-e2 B.4e1+2e2和2e2-4e1 C.2e,十e2和e+2e 1 规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质 D.e1-2e2和4e2+2e 是利用平行四边形法则或三角形法则进 (2)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》 行向量的加、减或数乘运算. 一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思 爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵 路是：先选择一个基底，并运用该基底将 爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形， 条件和结论表示成向量的形式，再通过 AD,BE,CF围成的△DEF也为正三角形， 向量的运算来解决 若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的 ·100 第五章 平面向量与复数 跟踪训练 2.已知向量a,b,c在正方形网 1.平面内任一向量m都可以表示成λa十b 格中的位置如图所示，用基 (A,∈R)的形式，下列关于向量a,b的说法 底{a,b}表示c,则 中正确的是 A.c=2a-3b B.c=-2a-3b A.向量a,b的方向相同 C.c=-3a+2b D.c=3a-2b B.向量a,b中至少有一个是零向量 题型3 向量共线的坐标表示 C.向量a,b的方向相反 [角度1]利用向量共线求参数 D.当且仅当入==0时，a十b=0 [例3-1] 已知向量AB=(7,6),BC=(-3,m), 2.正六边形ABCDEF中，用AC和AE表示 AD=(一1,2m),若A,C,D三点共线，则 CD,则CD= ( ) m A.-号AC+3A正 a+号A正 [角度2]利用向量共线求向量或点的 B.- 坐标 c.- C+号A正 ac+号正 [例3一2]已知O为坐标原点，A(6,3),若点 D.- P在直线OA上，且10P=1PA,P是 题型2〔 平面向量的坐标运算 OB的中点，则B点的坐标为 [例2](1)已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a ..规律方法 -2b=(-3,0),aa+b=（-1,1),则入+2 利用两向量共线解题的技巧 ( (1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向 A.-1 B.0 C.1 D.2 量时，可设所求向量为a(λ∈R),然后结合 (2)如图，在直角梯形ABCD中， 其他条件列出关于入的方程，求出入的值 AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC= 后代入a即可得到所求的向量。 2AB,E为AD的中点，若CA=入 (2)已知两向量共线，求某些参数的取值时，利 用“若a=(x1y1),b=（x2,y2),则a∥b的 CE+DB(,∈R),则入十= 充要条件是x1凸二x2y”,解题比较方便. A号 C.2 D. 3 :跟踪训练 规律方法 1.已知O为坐标原点，PP=一2PP2,若 平面向量坐标运算的技巧 P,(1,2),P2(2,一1)，则与OP共线的单位 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数 向量为 () 乘运算的法则来进行求解的，若已知有向 A.(3,-4) 线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标 B.(3,-4)或(-3,4) (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标 相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求 c(层-)或(- 解. n层 跟踪训练 2.在△AOB中，已知点O(0,0),A(0,5), 1.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b 十3c=0,则c等于 ( B(4.3).0C-0A.OD-TOB,AD BC 交于点M,则点M的坐标为 C温攀提 c传) n（- 学习至此，请完成配套训练课时冲关31 101