5.1 平面向量的概念及线性运算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 题型2 [例2](1)[解析]在△ABO中，∠ABO=75°， ∠BAO=60°，则∠AOB=45°， .sin∠ABO=sin(∠AOB+∠BAO) =sin∠AOBcos∠BAO+cos∠AOBsin∠BAO 2x2+2 4 由正弦定理可得一 AB AO Tsin∠AOB sin.∠ABO' 则A0=ABsin∠AB0.60X②(1+V 4 sin∠AOB =30(1十√5)， 2 在Rt△APO中，∠PAO=30°， tan∠PA0-Q,则OP=AOX tan∠PAO户 301+5)×5=(30+105)(m. [答案]A (2)[解析]由题意可得，在△ABC中，∠BAC=30°， ∠ABC=180°-75°=105°，故∠ACB=45°. BC 又AB=600m,故由正孩定理得s05-sn30 解得BC=300√2m. 在Ri△BCD中，CD=BC·tan30=3002X5 3 =100√6(m) [答案]100√6 跟踪训练 解析：根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△OBC 的边长关系，解方程求解即可， 设AO=h米，因为在，点B处测得点A的仰角为B,所以 =2,所以OB令，因为在点C处测得点A的仰角为 45°，所以OC=h米.由余弦定理，可得BC2=OB十OC -20B.0C,c0s∠B0C,即102×7=子+：+22 =子，解得h=204 答案：204 题型3 [例3][解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最 快截获（在D,点）走私船，则CD=10√3t海里，BD=10t 海里， 在△ABC中，由余弦定理，有BC2=AB十AC-2AB· ACc0sA=(5-1)2+22-2(W5-1)×2cos120°=6. BC=后海里.又~二am2BC AC ∴sim∠ABC=AC,sinA_2sin120°=￥2 BC √6 ∠ABC=45°，B点在C点的正东方向上， .∠CBD=90°+30°=120°， 在△BCD中，由正孩定理，得in2 BCDsin /CBD' BD CD 1 sin∠BCD=BD,sin∠CBD_=10t、sn120=2 CD 10w3t .∠BCD=30°，∴.缉私船沿北偏东60°的方向行驶. 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°， ∴∠D=30°，∴.BD=BC,即10t=√6. 4语小时15分钟。 鲜私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快裁获走 私船，大约需要15分钟 ·4 跟踪训练 C[在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC= 180°-15°-135°=30°， BC AB 由正孩定理知 sin∠BAC sin∠ACB' 故BC=AB·sin/BAC 100x6 sin∠ACB 1 4=50W6-2), 2 在△BDC中，sin∠BDC sin/DBC' BC CD 故50(6-②_50 sin∠BDC .sin∠BDC=√3-1， 即sin(0+90)=√5-1， 即cos0=√5-1.] 第五章平面向量与复数 §5.1平面向量的概念及线性运算 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)大小方向长度（或模）(2)长度为0(3)1个单位 (4)相同或相反共线向量平行(5)相等相同 (6)相等相反2.b十aa十(b十c)aa相同 相反0(a)aAa十aa十b3.b=a 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2.CD[A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确 定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是 向量；C正确，由于向量起，点相同，但长度不相等，所以终 点不同：D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故 不是向量.] 3.A[若a十2b=0,则a=一2b,所以a∥b; 若a∥b,则a十2b=0不一定成立.故“a十2b=0”是“a∥b” 的充分不必要条件.] 4.解析：由已知2a一b≠0，依题意知向量a十λb与2a一b共 线，设a十b=k(2a一b),则有(1一2k)a十(k十入)b=0,因 为a,b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以 。0解得6=合A=一合 1 1k十λ=0， 答案：一之 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对A,零向量的方向规定为任意方 向，故错误；对B,共线向量是能平移到一条直线上的向 量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误；对C,根据 共线定理可知，e2≠0时，才有唯一实数A,使得e1=e2, 若e2=0,则实数入不唯一，故错误；对D,a·b=a· b·cos〈a,b〉a·b,故正确.故选ABC. [答案]ABC (2)[解析]根据相等向量的定义，分析可得AD与BC不 平行，AC与BD不平行，所以AD≠BC,AC≠BD,A,B均 错误；PE与PF平行，但方向相反，故不相等；只有EP与 PF方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以 EP=PF,C错误，D正确. [答案]D 跟踪训练 1.BC[A正确，AB与BA是相反向量，长度相等；B错误， 当a,b其中之一为0时，不成立；C错误，当a,b其中之 一为0时，说法不成立：D正确，因为零向量与任何一个 向量共线.] 6 2D[日表示a方向的单维向童，因此日=合的元要 条件是a∥b且a与b同向.] 题型2 [例2](1)[解析]根据三角形中向量对应线段的数量及位 置关系，用AB、AC表示出BE即可. 由慈较成-宁耐+而)=宁 1 函+=+号厨 2 3 B✉ +=-号+ 所以成-导a [答案]B (2)[解析]因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=DC,AD=BC, 月为或=-D.所以前-成-号， 连接AF,在△AEF中， 所以EF=EA十AF=ED-AD+AB+BF =- A店-A心正+2成-号店2， 又因为EF=xAB十yAD, 所以=号=子故y= 1 「答案]C 跟踪训练 1B如图，：AB D =D丽-DA=D成-元+CA) =DB-DC-CA- 成aA-c. ÷店=丽-a店-号丽-号A花 :=店-0)=（号+号）2d =成+名Ac.] 2.解析：因为A,M,Q三点共线，所以存在一个实数入，使得 AM=AAQ,所以CM-CA=XCQ-XCA=之CB-XCA,所 以C=1-Ci+含C或.又Gi=C-号CA+ 号.嘴miCi+品. 1-=4, 根据平面向量基本定理可得 31 2 3 t= 4 解得 入=2 答案：子 题型3 [例3](1)[解析]因为向量a,b不共线，向量8a一kb 与一a十b共线， 所以8a-b=t(-a十b)=-kt扣十tb,t∈R, 故3二解得k=士22 1-k=t, [答案]士2V2 ·4( 参考答案 (2)[解析]如图，延长AG交BC于 点F,则F为BC的中点， a-号号i+. D 又由AB=1AD,AC=1AE, 市十动 1AE, B 又因为G,D,E三点共线， 安动1即8 [答案]3 跟踪训练 1.B[根据题意，A,B,C三点共线，点O在直线AB外， OA=0i+子0C.设BA=入BC(以≠0，A≠1)，则0A OB+BA-OB+BC-OB+(OC-OB)=AOC+ 1-A=1 (1-λ)OB,. 消去入得1十2=1，x十8y x 2 λ= y =8(任+号）1+号++16≥7+2层·型 =25(省且仅当=5y=号时等式成立.门 2.解析：因为向量e1,e2是两个不共线的向量，且AB=2e -e2,AC=e1+3e2,所以BC=AC-AB=-e1十4e2,又因 为BD=2e1-e2,且B,C,D三点共线，所以-1X(-k) 一4×2=0，解得k=8. 答案：-e1十4e28 §5.2平面向量基本定理及坐标表示 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)不共线入1e十入e2(2)不共线 2.(1)(x1十x2y十y2)(x1-x2y-y2)(A1Ay) √x十 (2）(x2-x1,y2-y） √/(x2-x1)2十(y2-y1)23.x12-x2y1=0 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A[若m=-3,则a=(9,-9)=9b,故a∥b:若a∥b,则 一m2-（-9)×1=0,解得m=3或m=-3.所以“m=-3” 是“a∥b”的充分不必要条件.] 3.D[因为e2-e1=-(e1-e),故e1-e2与e2-e1共 线，不能构成基底.] 4.解析：设点O为坐标原点， 点P在线段BA的延长线上，且2BP=3AP, :.2 BP=3 AP, 即2(OP-OB)=3(OP-OA), ∴.0P=30A-2OB=3(2,3)-2(4,-3)=(-2,15). .点P的坐标为(-2,15). 答案：(-2,15) 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]平面向量的基底由两个不共线的非 零向量组成，C选项中，2e十e=2(e十2e）,即2e:十 e和e1十2为共线向量，所以它们不能作为基底.其 他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为 基底， [答案]C 07第五章 平面向量与复数 §5.1平面向量的概念及线性运算 ★[考试要求] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个 向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 复盘》必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 续表 1.向量的有关概念 向量 法则（或 定义 运算律 (1)向量：既有 又有 的量叫做 运算 几何意义) 向量，向量的大小叫做向量的 (1)a= 入(a) (2)零向量： 的向量，其方向是任 (2)当入>0时，a 求实数入与的方向与a的方向 意的. 数乘向量a的积 ;当入<0 (入十)a (3)单位向量：长度等于 的向量 的运算 时，a的方向与a λ(a+b) (4)平行向量：方向 的非零 的方向 :当 向量.平行向量又叫 规定：0 入=0时，a 与任一向量 3.共线向量定理 (5)相等向量：长度 且方向 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是当且 的向量 仅当有唯一一个实数入，使得 (6)相反向量：长度 且方向 知识拓展用活 的向量 1.P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 2.向量的线性运算 0P-20A+OB). 向量 法则（或 定义 运算律 运算 几何意义) 2.若G为△ABC的重心，则有 (1)交换律： (1)GA+GB+GC=0; a+b= (2)AG=A店+A 求两个向量 加法 三角形法则 和的运算 aww (2)结合律： 3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向 a (a+b)+c 量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一 平行四边形法则 个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 求a与b的 4.对于起点相同、终点共线的三个向量OP, 相反向量 6 a-b OP1,OP2(O与P1、P2不共线)，总有OP= 减法b的和的运 a-b=a+(-b 三角形法则 算叫做a与 uOP1+vOP2,u十o=1,即总可以用其中 b的差 两个向量的线性组合表示第三个向量，且系 数和为1. ·97 高考总复习数学 5.对于任意两个向量a,b,都有： 2.[多选]下列命题中，正确的是 ( (1)|la-Ibl|≤|a士bl≤|a+1b|: A.若a与b都是单位向量，则a=b (2)|a+b12+|a-b12=2(a|2+|b2). B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 自主诊断查验 C.若用有向线段表示的向量AM与AN不相 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 等，则点M与N不重合 或“X”) D.海拔、温度、角度都不是向量 (1)|a与|b是否相等和a,b的方向无关. 3.对于非零向量a,b,“a十2b=0”是“a∥b”的 ( () (2)若a∥b,b∥c,则a∥c. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 (3)向量AB与向量CD是共线向量，则A,B,C, C.充要条件 D四点在一条直线上 ) D.既不充分也不必要条件 (4)当两个非零向量a,b共线时，一定有b= 4.设a与b是两个不共线向量，且向量a十b a,反之成立. 与-(b-2a)共线，则λ= 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1{ 平面向量的概念 :跟踪训练 [例1](1)[多选]下列说法错误的是( 1.[多选]给出下列命题，其中叙述错误的命 题为 () A.零向量没有方向 B.共线向量是同一条直线上的向量 A.向量AB的长度与向量BA的长度相等 C.若向量e1与向量e2共线，则有且只有一 B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或 相反 个实数入，使得e1=e2 C.|a+|b|=|a-b1台a与b方向相反 D.|a·bl≤|a·Ib D.若向量a与b不共线，则a与b都是非零 (2)如图，等腰梯形ABCD 向量 中，对角线AC与BD交于 点P,点E,F分别在两腰 2.设a,b都是非零向量，下列四个条件，使日 AD,BC上，EF过点P,且 =合成立的充要条件是 EF∥AB,则下列等式中成立的是 ( A.a=b A.AD=BC B.AC-BD B.a=2b C.a∥b且la=|b C.PE-PF D.EP-PF D.a∥b且方向相同 规律方法 题型2( 平面向量的线性运算 向量有关概念的关键点 T例2] (1)在△ABC中，BD 1.向量定义的关键是方向和长度. = 2.非零共线向量的关键是方向相同或相反， 吉BC,点E是AD的中 长度没有限制. 点，记AB=a,AC=b,则BE 3.相等向量的关键是方向相同且长度相等， 4.单位向量的关键是长度等于1个单位. A- 1 B.- 2 6 5.零向量的关键是长度是0，规定零向量与 任何向量共线. C.- 2 D.a-6 ·98· 第五章平面向量与复数 (2)如图，在平行四边形 题型3 共线定理及其应用 ABCD中，F是BC的 例3] (1)已知向量a,b不共线，向量8a 中点，CE=一2DE,若 b与一ka十b共线，则k EF=xAB+yAD,则x+y= (2)已知△ABC的重心为G,经过点G的直 A.1 B.6 c D.3 线交AB于点D,交AC于点E,若AD=入 规律方法 AB,AE=uAC,则}+ 平面向量的线性运算技巧 规律方法 1.不含图形的情况：可直接运用相应运算法 利用向量共线定理解题的策略 则求解. (1)a∥b台a=b(b≠0)是判断两个向量共 2.含图形的情况：将它们转化到三角形或平 线的主要依据 行四边形中，充分利用向量加法、减法的 (2)若a与b不共线且a=b,则入==0. 三角形法则及平行四边形法则，并结合实 (3)已知O,A,B是不共线的三点，且OP= 数向量的共线定理，把未知向量用已知向 量表示出来求解。 mOA+nOB(m,n∈R),则A,P,B三 点共线的充要条件是m十n=1. 1跟踪训练 :跟踪训练 1.已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB= 1.已知O,A,B,C为平面a内的四点，其中A, 2DC=2AD=2,BC的中点为E,则AE= B,C三点共线，点O在直线AB外，且满足 ( AD店+ad 0A=10B+20C.其中x>0,y>0,则x+ BD店+号Ad 7 3 8y的最小值为 () C.TDB+2AC n号D+aC A.21 B.25 C.27 D.34 6 2.如图，在△ABC中，点 2.设向量e1,e2是两个不共线的向量，已知AB P是AB上的点，且CP =2e1-e2,AC=e1+3e2,BD=2e1-ke2,且 =号ci+3ci.且Q B,C,D三点共线，则BC= 0 (用e1,e2表示)；实数k= 是BC的中点，AQ与CP的交点为M,又有 C温馨提 CM=tCP,则实数t= 学习至此，请完成配套训练课时冲关30 §5.2平面向量基本定理及坐标表示 ★[考试要求] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表 示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.平面向量的坐标运算 1.平面向量基本定理 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 (1)定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数入1，入2，使a= ,a-b= ,a= a= (2)基底： 的向量e1,e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. ·99·