4.9 解三角形及其应用举例-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第四章三角函数与解三角形 §4.9解三角形及其应用举例 ★[考试要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 距离问题 题型2 高度问题 例1](1)如图，礼堂外立 [例2](1)如图为北京冬奥会首钢滑雪大跳 面装修，设A,B两点在 台示意图，为测量大跳台最高点P距地面 礼堂外立面的上下两端， 的距离，小明同学在场馆内的点A测得P 测量者在A的同侧底沿 边选定一点C,测出AC的距离为10m, 的仰角为30°，∠ABO=75°，∠BAO=60°， ∠ACB=75°，∠CAB=60°，就可以计算出 AB=60(单位：m),点A,B,O在同一水平 BC两点的距离为 地面上，则大跳台最高高度OP=() A.5√5m B.5√6m C.3+)m D.5(3+1）m (2)重庆奉节小寨天坑 景区拥有世界上深度 和容积最大的岩溶漏 A.(30+103)m B.30√2m 斗，吸引大量游客来此 C.(10√2+10√6)m D.30√3m 参观留影.为了测量天 坑边上如图所示的A,B两点间的距离，现 (2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 在旁边取两点C,D,测得CD=300米， 正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶 ∠ADB=-,∠BDC=∠DCA= π D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达 12’ B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角 ∠ACB-受（假设A,B,C,D四点在同一平 为30°，则此山的高度CD= m. 面上)，则AB两点的距离为 米， 规律方法 距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问 题，一般都离不开正弦定理和余弦定理， 在解题中，首先要正确地画出符合题意的 示意图，然后将问题转化为三角形问题去 规律方法 求解 处理高度问题的注意事项 [注意]①基线的选取要恰当准确；②选取 的三角形及正、余弦定理要恰当. (1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、 俯角是一个关键. 跟踪训练 湿地公园是国家湿地保护体系的 D (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面 重要组成部分，某市计划在如图 (地面)同时研究的问题，这时最好画两 所示的四边形ABCD区域建一处 个图形，一个空间图形，一个平面图形， 湿地公园.已知∠DAB=90°， 这样处理起来既清楚又不容易搞错， ∠DBA=45°，∠BAC=30°，∠DBC=60°，AB= (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空 2√2千米，则CD= 千米 间问题转化为平面问题。 ·95 高考总复习数学 跟踪训练 财富汇大厦坐落在广东省湛 江市经济技术开发区，是湛江 经济技术开发区的标志性建 筑，同时也是已建成的粤西第 一高楼.为测量财富汇大厦的 高度，小张选取了大厦的一个 最高点A,点A在大厦底部的射影为点O, 两个测量基点B、C与O在同一水平面上， 他测得BC=102√7米，∠BOC=120°，在点 B处测得点A的仰角为9(tan0=2),在点C 处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的 高度OA= 米. 题型3( 角度问题 [例3] 如图，在海岸A处发 现北偏东45°方向，距A处 (√3一1)海里的B处有一艘 规律方法 走私船.在A处北偏西75 解决测量角度问题的注意事项 方向，距A处2海里的C处的我方缉私船 (1)首先应明确方位角或方向角的含义， 奉命以10√3海里/小时的速度追截走私 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意 船，此时走私船正以10海里/小时的速度， 画出正确的示意图，这是最关键、最重要 从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船 的一步 沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的 求出所需时间 问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂” 尝试解答] 使用 跟踪训练 如图所示，在坡度一定的山 坡A处测得山顶上一建筑 45 D 物CD的顶端C对于山坡 15 的斜度为15°，向山顶前进 100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度 为45°，若CD=50m,山坡对于地平面的坡 度为0，则cos0等于 ( ) 每 B.√6-2 C.√3-1 D.√2-1 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关29 ·96·÷一子=sinB-sm2B=snB-4asBB sin'B-4(1-sin2B)sin2B, 令simB=f)=1-41-01=4r-3=4(景)》 i6,又0<sinB<1,即0<K1, 9 当1=是，即smB=时)取最小值，且m 4 6此时A=B≠牙，则C≠受，特合题意. ÷-吉的最小值为一最 a 题型3 [例3][解](1)方法一在△ABD中，由余弦定理的推论 COs A-ADAB BD(2)+2-BD 2AD·AB 2×23×2 即5cosA=16-BD,0 8 同理，在△BCD中，cosC=2+2BD 2X2X2 即cosC=8-BD,@ 8 ①-②得√5cosA-cosC=1, 所以当BD长度变化时，√5cosA一cosC为定值，定值 为1. 方法二在△ABD中，由余弦定理得 BD=AD+AB-2AD·ABcos A=(2√3)2+22-2X 2√3X2cosA, 即BD=16-8√3cosA, 同理，在△BCD中，BD=CD十CB2-2CD·CBeos C =8-8cos C, 所以16-8V3cosA=8-8cosC, 化简得V3cosA-cosC=1, 所以当BD长度变化时W3cosA-cosC为定值，定值为1. (2)S+S =子Ag·AD·sinA+BC.CD·simC =12sinA+4sin C=12sinA++4-4cos C =12sinA+4-4(3cos A-1)2 =-24cos2A+83cos A+12, 令0A,10得(1.2) 所以S+S号=-24t+8√5t+12 +14, 所以当吾即cmsA=时， 6 S+S有最大值为14. 跟踪训练 解：1)由n0会nC=及三孩定理可得， 片。分，即2=十ab C=受c=a+, b2十ab=a2十b2,解得a=b,即A=B, 又C-=受…B=平 ·4 参考答案 (2)由(1)知，c2=b+ab, a=c-b b ,c>b, 由三角形三边关系可得红十b>, b+c>a, 代入化简可得b<c<2b, b b2 令x= 6,则x∈(1,2)fx)=x+x-1,1Kx<2, 1 6-1e(15), “店的取位范国是1,5。 §4.9解三角形及其应用举例 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]：△ABC中，∠ACB=75°，∠CAB 60°，..∠ABC=180°-（∠ACB+∠CAB)=45°， 又：AC=10m,.由正弦定理可得：sin乙ABC AC sin/CAB'则Bc=ACsin∠CAB1oX2 BC .=5√6m. sin∠ABC [答案]B (2)[解析]如图所示： B 在△BCD中，CD=300, A≤ ∠BDC==15,∠BCD= 12 ∠ACB十∠DCA=2+x 0 3 T12 =135°，∠CBD=180°-15°-135°=30°，由正弦定理得： 0=0,年得BD=300E,在△MACD中， BD CD=300,∠DCA==15,∠ADC=∠ADB+∠BDC =135°+15°=150°，∠CAD=180°-15°-150°=15°，所 以AD=CD=300,在△ABD中，由余弦定理得，AB= AD+BD-2AD·BDcos.∠ADB=3002+(300√2)2 2×300×300√2×c0s135°=3002×5，所以AB=300√5. 所以AB两点的距离为300√5. [答案]300√5 跟踪训练 解析：在△BAC中，由正孩定理得AB AC sin∠ACB sin∠ABC 22 AC 所以sin180°-3045°-605-sin(45于605' 即22 AC sin45° sin 45'cos 60+cos 45sin 603' 所以4= AC,所以AC=6+E, 6+2 又∠DAB=90°，∠DBA=45°，所以△ABD为等腰直角 三角形，所以AD=AB=2√2： 在△DAC中，由余弦定理得 CD=√AC+AD-2·AC·ADcos∠DAC =√(W6+√2)2+(2√2)2-2(W6+√2)X2√2cos(90°-30) =23,所以CD=2√5. 答案：2√3 05 高考总复习数学 题型2 [例2](1)[解析]在△ABO中，∠ABO=75°， ∠BAO=60°，则∠AOB=45°， .sin∠ABO=sin(∠AOB+∠BAO) =sin∠AOBcos∠BAO+cos∠AOBsin∠BAO 2x2+2 4 由正弦定理可得一 AB AO Tsin∠AOB sin.∠ABO' 则A0=ABsin∠AB0.60X②(1+V 4 sin∠AOB =30(1十√5)， 2 在Rt△APO中，∠PAO=30°， tan∠PA0-Q,则OP=AOX tan∠PAO户 301+5)×5=(30+105)(m. [答案]A (2)[解析]由题意可得，在△ABC中，∠BAC=30°， ∠ABC=180°-75°=105°，故∠ACB=45°. BC 又AB=600m,故由正孩定理得s05-sn30 解得BC=300√2m. 在Ri△BCD中，CD=BC·tan30=3002X5 3 =100√6(m) [答案]100√6 跟踪训练 解析：根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△OBC 的边长关系，解方程求解即可， 设AO=h米，因为在，点B处测得点A的仰角为B,所以 =2,所以OB令，因为在点C处测得点A的仰角为 45°，所以OC=h米.由余弦定理，可得BC2=OB十OC -20B.0C,c0s∠B0C,即102×7=子+：+22 =子，解得h=204 答案：204 题型3 [例3][解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最 快截获（在D,点）走私船，则CD=10√3t海里，BD=10t 海里， 在△ABC中，由余弦定理，有BC2=AB十AC-2AB· ACc0sA=(5-1)2+22-2(W5-1)×2cos120°=6. BC=后海里.又~二am2BC AC ∴sim∠ABC=AC,sinA_2sin120°=￥2 BC √6 ∠ABC=45°，B点在C点的正东方向上， .∠CBD=90°+30°=120°， 在△BCD中，由正孩定理，得in2 BCDsin /CBD' BD CD 1 sin∠BCD=BD,sin∠CBD_=10t、sn120=2 CD 10w3t .∠BCD=30°，∴.缉私船沿北偏东60°的方向行驶. 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°， ∴∠D=30°，∴.BD=BC,即10t=√6. 4语小时15分钟。 鲜私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快裁获走 私船，大约需要15分钟 ·4 跟踪训练 C[在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC= 180°-15°-135°=30°， BC AB 由正孩定理知 sin∠BAC sin∠ACB' 故BC=AB·sin/BAC 100x6 sin∠ACB 1 4=50W6-2), 2 在△BDC中，sin∠BDC sin/DBC' BC CD 故50(6-②_50 sin∠BDC .sin∠BDC=√3-1， 即sin(0+90)=√5-1， 即cos0=√5-1.] 第五章平面向量与复数 §5.1平面向量的概念及线性运算 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)大小方向长度（或模）(2)长度为0(3)1个单位 (4)相同或相反共线向量平行(5)相等相同 (6)相等相反2.b十aa十(b十c)aa相同 相反0(a)aAa十aa十b3.b=a 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2.CD[A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确 定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是 向量；C正确，由于向量起，点相同，但长度不相等，所以终 点不同：D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故 不是向量.] 3.A[若a十2b=0,则a=一2b,所以a∥b; 若a∥b,则a十2b=0不一定成立.故“a十2b=0”是“a∥b” 的充分不必要条件.] 4.解析：由已知2a一b≠0，依题意知向量a十λb与2a一b共 线，设a十b=k(2a一b),则有(1一2k)a十(k十入)b=0,因 为a,b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以 。0解得6=合A=一合 1 1k十λ=0， 答案：一之 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对A,零向量的方向规定为任意方 向，故错误；对B,共线向量是能平移到一条直线上的向 量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误；对C,根据 共线定理可知，e2≠0时，才有唯一实数A,使得e1=e2, 若e2=0,则实数入不唯一，故错误；对D,a·b=a· b·cos〈a,b〉a·b,故正确.故选ABC. [答案]ABC (2)[解析]根据相等向量的定义，分析可得AD与BC不 平行，AC与BD不平行，所以AD≠BC,AC≠BD,A,B均 错误；PE与PF平行，但方向相反，故不相等；只有EP与 PF方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以 EP=PF,C错误，D正确. [答案]D 跟踪训练 1.BC[A正确，AB与BA是相反向量，长度相等；B错误， 当a,b其中之一为0时，不成立；C错误，当a,b其中之 一为0时，说法不成立：D正确，因为零向量与任何一个 向量共线.] 6