4.8 解三角形中的最值与范围问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §4.8解三角形中的最值与范围问题 ★[考试要求] 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题， 或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积 公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系， 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔利用基本不等式求最值（范围） (1)求面积最值时，S=2 besin A,即求bc最 T例1]在△ABC中，角A,B,C的对边分别 值，在等量关系中利用基本不等式b十 为a,b,c,且acos C+√3 csin A=b+c. c2≥2bc,即可求得bc的最值. (1)求角B的取值范围； (2)求周长a十b+c的最值时，即求b十c的 (2)已知△ABC内切圆的半径r= ,求 最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b十 △ABC周长的取值范围， c)2一2bc,再利用基本不等式bc≤ [尝试解答] b+c 2 ,即可求得b十c的最值 日跟踪训练 在△ABC中，sinA-sin2B-sinC=sinB sin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值， 规律方法 求解三角形中面积和周长最值问题的常用 方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设 已知A,a,根据余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A,即可得到“b2+2”与“x”的等量关系」 ·92 第四章三角函数与解三角形 日跟踪训练 题型2〔转化为三角函数求最值（范围） 在斜三角形ABC中，内角A,B,C所对的边 例2] 如图，在四边形AB 分别为a,b,c,已知cos(C-B)sinA= CD中，∠DAB= ，B= 2 cos(C-A)sin B. (1)证明：A=B; 否，且△ABC的外接圆半径为4。 (2)若=sinB,求号- 的最小值。 (1)若BC=4√2，AD=2√2，求△ACD的面积； (2)若D-2T,求BC-AD的最大值 [尝试解答] 规律方法 三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐 角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定 理边化角，利用三角函数的范围求出最值或 范围 ·93 高考总复习数学 题型3〔转化为其他函数求最值（范围） 规律方法 [例3]平面多边形中，三角形 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化 具有稳定性，而四边形不具 成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正 有这一性质.如图所示，四边 切的函数，根据函数的单调性求解；二是利 形ABCD的顶点在同一平面 用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切 上，已知AB=BC=CD=2, 的函数，根据函数的单调性求解. AD=2√3. 日跟踪训练 (1)当BD长度变化时，√3cosA-cosC是 已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说 为a,b,c,且满足 sin Ac-b sin B+sin C6 明理由； (2)记△ABD与△BCD的面积分别为S, )若C=受求B 和S2,请求出S+S的最大值 [尝试解答] (2)求十9的取值范围。 6 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关28 。94。.'.2a'cos Asin B=2b'cos Bsin A. 由正孩定理知上式可化为 sin Acos Asin B=sin Bcos Bsin A, ∴.sin2A=sin2B,由0<2A<2m,0<2B<2π， 得2A=2B或2A=元-2B,即A=B或A=受-B, ∴.△ABC为等腰三角形或直角三角形. 解法二（转化为边）：同解法一可得 2a'cos Asin B=2b'sin Acos B. h.2+-c=6a.。+c-B 2bc 2ac ∴.a(b2十c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b)(a2十b2-c2)=0,.a=b或a2十b2=c2, ∴.△ABC为等腰三角形或直角三角形. [答案]D [例2-习解]1油S-S+S-号得9d-方+) =5,即a2-6+c=2, 2 又a2-b2十c2=2 accos B,所以accos B=1. 由sinB=子，得cosB=2g2或0sB=-22(含. 3 3 所以ac= 33√2 2√24 则△ABC的而教S=asin B=-之×3Y平×号-号 4 38 (2)由sin Asin C=2,aC 3ac=32及正孩定理知mB 4 3W2 ac 4 sin Asin C 9 4 3 即=×子得6 [例2-3][解](1)由2a十b=2 ccos B, 根据正弦定理可得2sinA十sinB=2 sin Ccos B, 则2sin(B+C)十sinB=2 sin Ccos B, 所以2 sin Bcos C+2 cos Bsin C+sinB=2 sin Ccos B, 整理得(2cosC十1)sinB=0, 因为B,C均为三角形内角， 所以B,C∈(0，π)，sinB≠0， 因此cosC=一 ，所以C-受 3 (2)因为CD是角C的平分线，AD=2√7，DB=√7， 所以在△ACD和△BCD中，由正弦定理可得， ADCD BDCD sinA sin 3 sm于s加B 因光品-品背2，中细n=2n4 所以b=2a, 又由余弦定理可得c2=a十b2-2 abcos C, 即(3√7)2=a2+4a2+2a2, 解得a=3,所以b=6, 又S△A=S△AD十S△WD' 即2 absin∠ACB=b:CD·sin∠ACD+a·CD: sin∠BCD,即18=9CD,所以CD=2. 参考答案 跟踪训练 1.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得sin Asin B= √3 sin Bcos A, sin A-/5c0s A,tan A5A (2)由c-2b=1得6=1， 2 ,由余弦定理a”=b十c2 2sA得w7=+(）-2x(会)ms 3c2+1=28,解之得c=3,b=1. (3)由余孩定理得0sB=。2十c2-6=)+3-1 2ac 2√7×3 5√7 14 14 sin(A+2B)=sin Acos 2B++cos Asin 2B= sin A[2cos2 B-1]+2cos Acos Bsin B= 7 2.B[方法- 设BC=2x,则BD=CD =x. 在△ACD中，由余弦定理的推论可得， cos∠ADC=AD+CD-AC 2AD·CD 25+x2-49 10x 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， COs/ADB-AD+BD:-AB25+x-25 2AD·BD 10x 又∠ADC+∠ADB=π， 所以cos∠ADC=-cOs∠ADB, 所以有25+x-49=-25十2-25】 10x 10x 整理可得x2=12,解得x=2√3， 所以BC=4√5. 方法二 Ai=(A店+AG, 剥A市=}A店+AC+2A店.A. 即25= (25+49+2X5X7Xc0sZBAC) 解得cos∠BAC=号， 35 所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =25+49-2×5×7×3=48, 35 所以BC=4√5.] §4.8解三角形中的最值与范围问题 跃升·关键能力题型1 例1][解](1)：acos C+√5 csin A=b十c, 由正弦定理得sin Acos C+√3 sin Csin A=sinB十sinC, ∴.sin Acos C+√3 sin Csin A=sin(A+C)+sinC, ..3sin Csin A=cos Asin C+sin C. ,sinC≠0，.√3sinA=cosA+1, 如(A-晋)子 -晋<A-吾<A-晋-晋A=晋 角B的取值范周是(0，号) 03 高考总复习 数学 (2:Sac=女sinA-9c, sac-za+b叶0)r=9a+6+e 1 ..a十b+c=bc,即a=-b-c+bc, 由余弦定理得a2=b2+c2-bc. .(bc)2-2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c)2-3bc, ∴.bc=2(b+c)-3. ≤（告）广（当且仪当6=时取等子 ÷2(6+c)-3≤6+c) 4, .b十c≤2或b十c≥6. 设△ABC与圆内切于点D,E,F, 则AD=AF=,·an吾=子. ..b+c=AC+AB>AD+AF=3, ∴.b十c≥6（当且仅当b=c=3时取 等号) D △ABC的周长L=a十b+c=√JB十c-2 bccos A+b 十c, =-0-派+++-空) =兰什c0≥9（当且仅当b=(=3时两处都取等号）. Lmin=9, c=AB>DB==5(0<B<） √3 tan22tan乞 .B→0时，c→十∞，L→十∞， ,△ABC的周长的取值范围是[9，十∞). 跟踪训练 解：(1)由正弦定理和已知条件得 BC-AC-AB=AC·AB.① 由余弦定理得BC=AC十AB-2AC·ABcos A.② 由①@得c0sA=-立： 因为0<A<π，所以A= 31 (2)由正弦定理及(1)得 AC AB BC sin B sin C-sin A=2√3， 从而AC=2√3sinB, AB=2,√3sin(元-A-B)=3cosB-√3sinB. 故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB =3+25sin(B+号） 又0<B<答， 所以当B=元时，△ABC的周长取得最大值，为3+2. 6 题型2 [例2][解]因为B=吾，△ABC的外接圆半径为4， 所以AC sinB=8,解得AC=4. (1)在△ABC中，BC=4√2， 'sin∠CAB sinZCAB-8, 则 BC .4√2 解得sin∠CAB= 21 ·40 又∠CAB∈(0，)所以∠CAB=平 在△ACD中，AC=4,∠DAC=受-∠CAB=平， AD=2√2， 所以Sam=子X4X22x9= 2 (2)设∠DAC=.9e(0,登）月 又D=号，所以∠ACD-号-8 3 因为∠DAB=受，所以∠CAB=-R 在△DAC中，AC=4, 由正孩定理得sin Dsin乙ACD' AC AD 即4 AD 2 sin(5-） 解得AD-8m(传-） -833 1 32cos 0-2sin 0 =4cos 4 sin 0. 3 在△ABC中，AC=4, BC 由正孩定理得sin Bsin CAR, 即4= BC 1 2 sin(受-） 解得Bc=8sin(受-9）=8cos0, 所以BCAD=4气os99n 又0(0，晋)所以叶晋∈（号） 当且仅当日+ =受即9=若时， sin(0件号)取得最大值1， 所以BC-AD的最大值为8y5 31 跟踪训练 解：(1)证明：在△ABC中，A十B+C=π， .'cos(C-B)sin A=cos(C-A)sin B, .'(cos Ccos B+sin Csin B)sin A =(cos Ccos A+ sin Csin A)sin B, .'cos Ccos Bsin A=cos Ccos Asin B, 又：△ABC为斜三角形，.cosC≠0， .'cos Bsin A=cos Asin B,.'.sin(A-B)=0, A,B为△ABC的内角，A=B. (2)由题意及(1)得， 在△ABC中，，A=B,∴a=b,△ABC是等腰三角形，由 正弦定理得b C 导sin Bsin C: 则=sinC 方csinB又片sinB,即csin B=1, ∴.==sinC=sin(A十B)=sin2B, a ÷一子=sinB-sm2B=snB-4asBB sin'B-4(1-sin2B)sin2B, 令simB=f)=1-41-01=4r-3=4(景)》 i6,又0<sinB<1,即0<K1, 9 当1=是，即smB=时)取最小值，且m 4 6此时A=B≠牙，则C≠受，特合题意. ÷-吉的最小值为一最 a 题型3 [例3][解](1)方法一在△ABD中，由余弦定理的推论 COs A-ADAB BD(2)+2-BD 2AD·AB 2×23×2 即5cosA=16-BD,0 8 同理，在△BCD中，cosC=2+2BD 2X2X2 即cosC=8-BD,@ 8 ①-②得√5cosA-cosC=1, 所以当BD长度变化时，√5cosA一cosC为定值，定值 为1. 方法二在△ABD中，由余弦定理得 BD=AD+AB-2AD·ABcos A=(2√3)2+22-2X 2√3X2cosA, 即BD=16-8√3cosA, 同理，在△BCD中，BD=CD十CB2-2CD·CBeos C =8-8cos C, 所以16-8V3cosA=8-8cosC, 化简得V3cosA-cosC=1, 所以当BD长度变化时W3cosA-cosC为定值，定值为1. (2)S+S =子Ag·AD·sinA+BC.CD·simC =12sinA+4sin C=12sinA++4-4cos C =12sinA+4-4(3cos A-1)2 =-24cos2A+83cos A+12, 令0A,10得(1.2) 所以S+S号=-24t+8√5t+12 +14, 所以当吾即cmsA=时， 6 S+S有最大值为14. 跟踪训练 解：1)由n0会nC=及三孩定理可得， 片。分，即2=十ab C=受c=a+, b2十ab=a2十b2,解得a=b,即A=B, 又C-=受…B=平 ·4 参考答案 (2)由(1)知，c2=b+ab, a=c-b b ,c>b, 由三角形三边关系可得红十b>, b+c>a, 代入化简可得b<c<2b, b b2 令x= 6,则x∈(1,2)fx)=x+x-1,1Kx<2, 1 6-1e(15), “店的取位范国是1,5。 §4.9解三角形及其应用举例 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]：△ABC中，∠ACB=75°，∠CAB 60°，..∠ABC=180°-（∠ACB+∠CAB)=45°， 又：AC=10m,.由正弦定理可得：sin乙ABC AC sin/CAB'则Bc=ACsin∠CAB1oX2 BC .=5√6m. sin∠ABC [答案]B (2)[解析]如图所示： B 在△BCD中，CD=300, A≤ ∠BDC==15,∠BCD= 12 ∠ACB十∠DCA=2+x 0 3 T12 =135°，∠CBD=180°-15°-135°=30°，由正弦定理得： 0=0,年得BD=300E,在△MACD中， BD CD=300,∠DCA==15,∠ADC=∠ADB+∠BDC =135°+15°=150°，∠CAD=180°-15°-150°=15°，所 以AD=CD=300,在△ABD中，由余弦定理得，AB= AD+BD-2AD·BDcos.∠ADB=3002+(300√2)2 2×300×300√2×c0s135°=3002×5，所以AB=300√5. 所以AB两点的距离为300√5. [答案]300√5 跟踪训练 解析：在△BAC中，由正孩定理得AB AC sin∠ACB sin∠ABC 22 AC 所以sin180°-3045°-605-sin(45于605' 即22 AC sin45° sin 45'cos 60+cos 45sin 603' 所以4= AC,所以AC=6+E, 6+2 又∠DAB=90°，∠DBA=45°，所以△ABD为等腰直角 三角形，所以AD=AB=2√2： 在△DAC中，由余弦定理得 CD=√AC+AD-2·AC·ADcos∠DAC =√(W6+√2)2+(2√2)2-2(W6+√2)X2√2cos(90°-30) =23,所以CD=2√5. 答案：2√3 05