4.4 简单的三角恒等变换-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §4.4简单的三角恒等变换 ★[考试要求] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒 等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆） 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.半角正切公式的有理化 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin a 1-cos a tan 2-1+cos a sin a (1)公式S2a:sin2a= 自主诊断查验 (2)公式Ca:cos2a= 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” (3)公式T2a:tan2a= 或“×”) 2.半角公式（不要求记忆） sin a1-cos a (1)tan 2-1+cos a ) sin a 1-cos a a 1+cos a COS 2 2 (2)设<0<3x,且1cos0创-片，那么sim号的 tan 2 -cos a 1+cos a 符号由受所在象限 值为⑤ () 决定. (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的 知识拓展用活 余弦公式逆求而得来的， () 1.二倍角公式的变形公式 (4)存在实数a,使tan2a=2tana. () (1D1-c0sa=2sin'号1+c0sa=2c0s号.（升 2.sin347°cos148°+sin77°cos58°=() 幂公式) A B② 2 c. D.1 2 (2)1士sina= sin .(升幂公式) 3.化简√1+cos4的结果是 () A.sin 2 B.-cos 2 (3)sin2a- 1-cos 2a cos"a= 1+cos 2a 2 2 C.√2cos2 D.-√2cos2 tan"a- 1-cos 2a 1+cos 2a ,(降幂公式) 4.已知tana=3,则tan2a= 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 三角函数式的化简 函数，则tan0= [例1](1)已知函数f(x)= A.-3 B- tan0-tan(x+θ) π 1-3tan(x+0) 2026'2026 上的奇 c D.3 ·78· 第四章三角函数与解三角形 (2)已知0<0<π， 教考衔接上面2024年新课标I卷T4源 (1+sin0+cosθ) sin 2 于人教A版必修一P255,习题T5 则 √2+2cos0 (1)已知cosa+-言cos(a-)=号， 规律方法 求tan atan B的值； (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)B知cosa十m=司sina十sing- 3 (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之 求cos(a-)的值. 间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找 式子和三角函数公式之间的联系点， 日跟踪训练 1.化简：sin2a-2cos2a sin a4 sin a+2 3π 2.已知tana= 2,则 cos 2-a cos(-a)- s1n(π-a) = ( A.-1 B.1 C.-3 D.3 题型2 三角函数式的求值 》[角度1]给角求值 例2一1]黄金三角形有两种，一种是顶角 [角度3]给值求角 为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108 [例2-3]已知cosa= 的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三 5.sin B-10 25 ,且a 角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值 ∈〔0，引c0,)则a+的值是( 为5,1≈0.618，这个值被称为黄金比例. 2 A.牙 B 若1=51，则1-2sin27等于 2 2t√4-t c野 受 A.5+1 B.5-1 规律方法 4 4 (1)给值求值问题一般是将待求式子化简整 c 1 D.4 理，看需要求相关角的哪些三角函数值， 然后根据角的范围求出相应角的三角函 >[角度2]给值求值 数值，代入即可· [例2-2] (2024·新课标I卷，T4)已知 (2)给角求值问题一般所给出的角都是非特 cos(a+B)=m,tan atan B=2,cos (a-B) 殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观 察非特殊角与特殊角之间总有一定的关 A.-3m 系，解题时，要利用观察得到的关系，结 合公式转化为特殊角并且消除特殊角三 c罗 D.3m 角函数而得解. ·79 高考总复习数学 (3)给值求角问题一般先求角的某一三角函 [尝试解答] 数值，再求角的范围，最后确定角.遵照 以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；已知 正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若 角的范图是(05 ,选正、余弦皆可； ②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若 角的范围为 22 ,选正弦较好， 跟踪训练 1.已知cos 至+小则s-归 A B司 c. D.-2② 3 2.已知a∈0，，且2cos2a=cos(至-a小则 sin2a的值为 规律方法 A司 利用三角恒等变换解决实际问题的思路 (1)结合具体图形引进角为参数，利用三角 c D.一8 函数的有关公式进行化简，解决最优化 3.已知e0, sin 28 问题. 2tan a= 则 sinβ+sin23 (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用 2a+B= ( 性问题一样，先建模，再讨论变量的范 B受 围，最后作出结论并回答问题， [注意]注意恰当选择自变量，并利用解直 c D.π 角三角形等知识表示有关线段 题型3 三角恒等变换的综合应用 :跟踪训练 如图，矩形OABC中， [例3 如图，有一块以点O为 圆心的半圆形空地，要在这块 AB=1,OA=2,以B为 N D 圆心，BA为半径在矩形 空地上划出一个内接矩形AB M CD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的 内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA, 垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,则四边形 直径上，另两点B,C落在半圆的圆周上.已 OMPN的周长的最小值为 知半圆的半径长为20m,如何选择关于点 O对称的点A,D的位置，可以使矩形 C温馨提店 学习至此，请完成配套训练课时冲关24 ABCD的面积最大，最大值是多少？ ·80·(2[解析]由题意知，a十e(受，2x）sin(a+)= -是<0，所以osa+助=青，因为g∈（受） 3 所以cas(但至)=-务 cos(a+F)=o[a+)-(B-)] =cos(a+Dos(e于）十sin(a+)sin(eT) [答案] 跟踪训练 1.A [tan(a)=-2,'tan(a+ an(a十)十ian +台)引 -2+1 2.A[a,B都是锐角心0<a十Km,-乏<a一K受. 又coa十0=高sna-n=g, na十m=号msa0=告 则cos2a=cos[(a十B)十(a-B)]=cos(a十B)cos(a-B) 65 cas2a=1-2ima=-9sma=动， sina>0,∴.sina= 9130 130 §4.4 简单的三角恒等变换 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)2sin acos a (2)cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a 8。 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)/(4)/ 2.B[sin347°cos148°+sin77°cos58° =sin(270°+77)cos(90°+58)十sin77°cos58 =(-c0s77°)·(-sin58°)+sin77°cos589 =sin58°cos77°+cos58°sin77°=sin(58°+77°)= sm135-9] 3.D[因为√十cos4=√2cos2,又cos2<0,所以可得 选项D正确.门 4.解析：tan2a= 2tan a 2X3 3 1-tan'a 1-32 4 答案：一是 跃升·关键能力题型1 [例1】(1)[解析]f(x)=an9an(x士 1-3tan(x十f) tanx+tanθ tan&-tanx·tan0 1一3Xm0 ·3 参考答案 tan @(1-tan x.tan 0)-(tan x+tan 0) 1-tan x.tan 0-3(tan x+tan 0) -(tan8+1)·tanx 1-3tan 0-(tan 0+3).tan x ,f(x)是 π 1 2026'2026 上的奇函数， 又y=-(tan0十l)·tanx为奇函数，则分母上的函数 需为偶函数， .tan0+3=0,.tan8=-3. [答案]A (2)[解析]由0E(0x)得0<号<受 日0 所以c0s 所以√2十2c0s8= =2c0s2 又(1+sin9十cos)(sin2-cos2)】 (ir-os号）-2asos8 -2cos 2 cos 0 故原式= -cos 0. 日 2c052 [答案] -cos 0 跟踪训练 1.解析：原式=2 sin ac0sa-2c0sa=22cosa. sin acos a) 2 答案：2√2cosa 2.D[由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得. sn(e+受）-as(经-） cos a+sin a cos(一a)一sin(π-a) cos a-sin a 1 1十2 1+tan a=_ 1-tan&1- =3.] 题型2 [例2-1] [解析]依题意，得t=sin36=n14 sin 72 sin 72 2cos72°， 则1-2sin279 c0s54° 2t√4-f4cos72°√4-(2c0572) c0s54° c0s54° sin36° 4cos72°√/4sin72 4cos72°·2sin724sin144=4· [答案]D [例2-2][解析]由tan atan Bi=2, 得sin asin3=2 cos acos B,cos(a十3)=cos acos B- sin asin B=一cos acos B=m,故cos acos B=-m, cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=3cos acos B=-3m. [答案]A 教考衔接 解：(I)由题意，cos(a十B)=0sB--sin asin=号① cosa-)=计sin6sing=子@ ①+②得cs=月号，②-①得sin asin月=} 所以tan atan B=sin asin-L cos acos B2. 高考总复习数学 (2)由题意，(cosa十cosB)=cos2a十2 cos acos B-+cos2B =0 (sina+sinm2=sima+2 sin in叶simB=号0 ①十②得 2+2(cos acos B+sin asin B)=2+2cos(a-B) =1+113 4936 所以c0s(a一)=一器 [例2-3][解析]1 a(0受)e(0,) s&=osa-9 scos个m羽-3四 10 六cos(a+B)=cos cos月-sin asin=25x3Y四 5 10 ×号又a叶gGo,ietA÷ 51 10 [答案]B 跟踪训练 1.A[根挑要--受-（骨十结合诱导公式求解即可 (径-=m[竖-(+]-o(+x 2.C[由题意可得2(cosa-siia）=cos于cosa十sin平sina, 即2(case-sino(e0sa-sin6y-号((coa叶simo. 由a∈(0，受）可得cosa十sina≠0，所以cosa-sina 9学式两边年方，可得1一血2a=合所以s如a=专] 3.B [因为2tana= sin95n月所以2a sin 28 cos a 2sin Bcos B 2cos B sin B+sin'B 1+sin B' 所以sina十sin asin B=cos acos B, 所以sina=cos acos B-sin asin B-=cos(a十B), 所以o(受-a）-cos(a+m, 图为age(0,2)小所以-a∈(0，）a+e0m, 所以受-a=a+B所以2a十B=受.] 题型3 [例3][解]连接OB,设∠AOB=0,则 AB=OBsin 0=20sin 0,OA=OBcos 0= 20c0s0,且0c(0,受国为A,D关于 原点对称，所以AD=2OA=40cos日. 设矩形ABCD的面积为S,则S=AD·AB=40cos0X 20sin0=40sin2a.因为9e(0,2）,所以当sin20-=1, 即0=于时，S=40m.此时A0=D0=10V2m. 故当A,D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面 积最大，其最大面积是400m ·3 跟踪训练 解析：连接BP,设∠CBP=a,其中O<a<受，则PM= 1-sina,PV=2-cosa,四边形OMPN的周长C=6 2(sina十cosa),因为(sina十cosa)2=1十2 sin acos a 1十sin2a,所以要让周长最小，即让(sina十cosa)最大， 即sin2a最大，因为sin2a在a=子时取到最大值1， 所以当a=至时，周长有最小值为6-2E 答案：6-2√2 §4.5三角函数的图象与性质 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)(π，0)(2)（π，-1）2.[-1,1][-1,1]2ππ 奇函数偶函数[2kπ一元，2kπ][2kπ，2kπ十π](kπ，0) x=kπ 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.D[根据已知得绍=x,得a=2.由不等式2次m一受≤2z 晋≤2x+受（∈刀，解得r-否<x<r十号∈D,所 以函数f)的单调递增区间是[红一晋，k红十号]∈D.] 3.B[由题意可知：1为f(x)的最小值，点， x2为f(x)的最大值点， 则一西。召=号中T=x 且o>0,所以@=号=2.] 4.解析：如fx)=-os受x,f(-x)=-cos(-受） 一cs受x=fx),所以f()为偶函数， 由受x=k元，k∈Z,得x=2k,k∈Z,当=1时， f(x)=一c0s受x的圈象关于直线x=2对称. 由x∈[0,2]，得受x∈[0，]，则由余孩画数的性质可知， 函数f八)=一c0s受x在[0,2]上单调递增，故符合条件 的可以是f)=-0s受 答案：一c0s受（答案不唯一） 跃升·关键能力题型1 [例1】（1D[解析]由2x+合≠受+（∈2， 得x≠晋+经(kE, 2 故画数f)的定义域为{红x≠吾+受，∈Z☑ [答案]D (2)[解析]本题考查了余弦函数的值域. “y=c0s2,E[受，平]由余孩画数的圈象可知x =一 乏时，ym=0, 当x=0时y=1.故y=cosx在[受，牙]上的值 域为[0,1]. [答案][0,1] 98