8.3 用公式法解一元二次方程 课堂随练2025-2026学年鲁教版数学八年级下册

第八章·一元二次方程 3 用公式法解一元二次方程 第1课时公式法 列清单·划重点 知识点① 一元二次方程的求根公式(难点) 一般地，对于一元二次方程 c=0(a≠0),当 时，它的根是 ，这个式子称为一元二次方程的求根公式. 知识点② 公式法解一元二次方程(重点) 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 注意 (1)应用求根公式的前提条件是 当 时可直接判断此方程无实数根；(2)公式法是解一元二次方程的万能法，适用于任何一元二次方程，但在应用时一定要将原方程化为一般形式. 知识点③ 用公式法解一元二次方程的步骤 1.化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式： 2.定:确定a,b,c 的值; 3.算:计算 的值； 4.求:若 则利用求根公式求出方程的根；若 则原方程没有实数根. 明考点·识方法 用公式法解一元二次方程 典例用公式法解下列方程： (3)2x(x+2)-1=0. 思路导析先将方程化为 的形式，求出 当 时，代入求根公式求解，当 时，方程无实数根. 变式1 用公式法解一元二次方程 时，首先要确定a，b，c 的值，下列叙述中，正确的是 ( ) A. a=3,b=-1,c=7 B. a=3,b=1,c=-7 C. a=3,b=-1,c=-7 D. a=3,b=1,c=7 变式2用公式法解一元二次方程，得 则该一元二次方程是 . 变式3 用公式法解下列方程： (3)(x+1)(x-5)=2. 第2课时根的判别式 列清单·划重点 知识点① 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 的根的情况可由 来判定.把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示. 知识点② 利用根的判别式，判断根的情况 (1)当 时，方程有 的实数根，即x= ； (2)当 时，方程有 的实数根，即 (3)当 时， 无意义，所以方程 . 明考点·识方法 考点① 不解方程，判断方程根的情况 典例1 不解方程，判断下列方程根的情况： 变式你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗?如果将这三个连续整数中最小的数设为x，那么可得方程 2)²，则该方程的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 考点② 不解方程，根据方程根的情况确定字母的值(或范围) 典例2已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围； (2)若m 为满足条件的最大整数，求此时方程的根. 思路导析(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式大于0，从而列出关于m 的不等式，解不等式即可；(2)根据(1)中所求m的取值范围，求出m，再代入方程，然后求出方程的根即可. 变式 使得关于x 的方程 有实数根的最大整数c= 考点③ 不解方程，根据判别式证明方程根的情况 典例3 已知关于x 的方程 (1)求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为5，求k 的值. 变式 已知关于x 的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于-1，求 k 的取值范围. 第1课时 公式法 【列清单·划重点】 知识点 【明考点·识方法】 典例 解:(1)∵a=1,b=-5,c=3, (2)将方程变形，得 ∴a=4,b=12,c=9, ∴a=2,b=4,c=-1, 变式1B 变式2 变式3 解:(1)∵a=3,b=-5,c=-1, 37>0, (3)整理成一般式，得 ∴a=1,b=-4,c=-7, 44>0, 则 第2课时 根的判别式 【列清单·划重点】 知识点1 知识点2 (1)两个不相等 (2)两个相等 (3)无实根 【明考点·识方法】 典例1 解： ∴方程有两个相等的实数根； (2)移项,得 ∴方程没有实数根； (3)由原方程得 ∴方程有两个不相等的实数根. 变式 A 典例2 解：(1)∵关于x的一元二次方程 m-1=0有两个不相等的实数根， ∴m<2; (2)∵m为满足条件的最大整数，m<2，∴m=1,∴原方程为 解得. 变式 4 典例3 解:(1)证明: 4>0, ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. 当k+1=5时,k=4;当k-1=5时,k=6. 综上所述，k的值为4或6. 变式 解:(1)证明: ∴此方程总有两个实数根； ∵此方程恰有一个根小于-1， ∴k+3<-1,解得k<-4, 即k 的取值范围为k<-4. 学科网（北京）股份有限公司 $