8.3用公式法解一元二次方程2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学 下册

第八章·一元二次方程 3 用公式法解一元二次方程 第1课时 公式法 夯基础 1.用公式法解方程 5=-7x 时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是 ( ) A.0,-5,-7 B.1,-7,-5 C.1,7,-5 D.1,-5,-7 2.如果一元二次方程 能用公式法求解，那么必须满足的条件是 ( ) A. B. C. D. 3.已知a 是一元二次方程 的较小的根，则下面对a的估值正确的是 ( ) A.-1.5<a<-1 B.2<a<3 C.-4<a<-3 D.4<a<5 4.对于实数a,b,定义运算“※”:a※ 例如： 1=23.若x※x=-1,则x 的值为 ( ) A.1 B.0 C.0 或1 D.1或-1 5.在用求根公式 x = 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了 a,b,c 得 到x= 则她求解的一元二次方程是 ( ) A. B. C. D. 6.已知关于x的一元二次方程 x+a-4=0(a>0),设方程的两个实数根分别为x₁,x₂(其中. 若y 是关于a的函数，且. ,若y>0,则( ) A.0<a<3 B.0<a<5 C. a>3 D. a>5 7.欧几里得的《几何原本》中记载了形如 0(p>2q>0)的方程根的图形解法：如图，画 Rt△ABC,使∠ACB = 90°,AC=2q,AB=p,以 B 为圆心BC 为半径画圆,交射线AB 于点D，E.则该方程较大的根是( ) A. CE 的长度 B. CD 的长度 C. AE 的长度 D. DE 的长度 8.方程 的实数根为 . 9.在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为:a☆ 则方程 2☆x=x★8 的解为 10.如下所示可将x= 转化为方程 我们规定： 方程 称为 的还原方程. 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则 的还原方程是 . 11.如图，点A 在数轴的负半轴，点B 在数轴的正半轴，且点A 对应的数是2x-1，点B对应的数是 已知AB=5,则x 的值为 . 12.解方程: (1)(3x-1)(x+1)=1; (2) 0; (3) 13.关于 x 的一元二次方程为 (1)求出方程的根； (2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数? 练能力 14.解下列关于x的方程： 15.数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁.“整体思想”就是一种非常重要的数学思想. 例如,已知(2025-a)(2023-a)=2022,求( 的值.分析：多项式2025-a 与2 023-a 在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数 2，因此,可以将2 025-a 与2 023-a 看作两个“整体”,设2025-a=x,2023-a=y,则.x-y=2, xy=2022,∴(2025-a)²+ 4048. (1)已知a 是一元二次方程 1=0的一个实数根，求 的值； (2)解方程: 第2课时 根的判别式 夯基础 1.下列一元二次方程中没有实数根的是 ( ) A. B. C. D. 2.关于x 的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实根 D.不确定 3.关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c= ( ) A.-8 B.4 C.-2 D.1 4.已知方程 有 两 个 实 数 根，则 的化简结果是 ( ) A. m-1 B. m+1 C.1-m D.±(m-1) 5.对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算例如： 则关于x的方程的根的情况为 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 6.关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则b²-2(1+2c)= . 7.若关于x 的一元二次方程 有实数根，则p 的取值范围是 . 8.当m<0时,关于x 的方程 根的情况是 . 9.关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的最小整数值为 . 10.已知一次函数y= kx+b(k≠0)的图象不过第三象限，则方程 的根的个数为 . 11.对于一元二次方程 下列说法： ①若a-b+c=0,则它有一根为一1 ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根 ③若c 是方程 的一个根，则一定有 ac+b+1=0成立 ④若b=2a+3c,则一元二次方程 bx+c=0有两个不相等的实数根. 其中正确的 (填序号). 12.不解方程，判断下列方程根的情况. 13.已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围； (2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解. 14.关于x 的方程. 2x+2m-1=0有实数根. (1)求m 的取值范围； (2)若m 为正整数，求此时方程的根. 练能力 15.在平面直角坐标系中,若点 P 的坐标为(m,n),则称关于 x的方程 为点 P 的对应方程.已知点 A(1,1),B(-2,4),则线段AB上任意点的对应方程的实数根有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 16.已知一次函数 y=x+2m+8(m为常数)的图象过一、二、三象限，且关于x的一元二次方程 m-1=0有实数根，则所有满足条件的整数 m 的值之和是 . 17.已知关于x 的一元二次方程其中a,b,c分别为△ABC 三边的长. (1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由. 18.如图,四边形 ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是 Rt△ABC 和 Rt△BED 对应边长,易知 这时我们把关于x 的一元二次方程 称为“勾系数一元二次方程”.请解决下列问题： (1)方程 是不是“勾系数一元二次方程” (填“是”或“不是”); (2)求证：关于x 的“勾系数一元二次方程 必有实数根； (3)若x=-1是“勾系数一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE 周长为3 ,求△ABC 的面积. 第1课时公式法 1. C 2. A 3. A 4. A 5. A 6. B 7. C 8. x₁=3,x₂=-3 12.解:(1)原方程化为 ∵a=3,b=2,c=-2, (3)原方程整理，得 a=1,b=4,c=-3, 13.解:(1)由题意,得m≠1. 这里a=m-1,b=-2m,c=m+1, (2)由(1),得 ∵方程的两个根都为正整数， 是正整数， ∴m-1=1或m-1=2, 解得m=2或3，即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数. 14.解: 设 则上式可化为m(m-3)-3m+8=0, 或 当 时， 当 时， 综 上 所 述， 15.解:(1)∵a 是一元二次方程 1=0的一个实数根， 原式 (2)设 原方程化为 整理，得 解得 经检验， 均为方程m-1=的解, 当m=-1时, 即 ∴该方程没有实数根， 当m=2时, 即 解得 ∴原方程的解为 第2课时根的判别式 1. D 2. A 3. C 4. C 5. B 6.-2 7. p≠0 8.有两个不相等的实数根9.0 10.1个或2个 11.①②④ 12.解:(1)原方程整理,得 这里a=2,b=3,c=4, ∴方程没有实数根； (2)这里 ∴方程有两个相等的实数根； (3)这里a=1,b=4k,c=-1, 无论k为何值， ∴方程有两个不相等的实数根. 13.解:(1)∵一元二次方程 x+m=0有两个不相等的实数根， 且m-4≠0, 且m≠4; (2)m满足条件的最小正整数为m=1，此时方程为 解得 14.解:(1)∵关于x的方程 0有实数根， ∴m≤1; (2)∵m≤1,m:是正整数,∴m=1,方程为x²-2x+1=0,∴(x-1)²=0, 15. A 解析：设直线AB 的解析式为y= kx+b,解得 ∴直线AB 的解析式为y=-x+2,设直线 AB上的任意一点为(a,-a+2), ∴这个点的对应方程为 2)=0, ∵-2≤a≤1,当a=-2有最小值-12,当a=1有最大值-3, 即△<0, ∴线段AB 上任意点的对应方程都没有实数根. 16.-3 17.解:(1)△ABC 是等腰三角形.理由如下: ∵x=-1是方程的根, ∴a+c-2b+a-c=0, ∴a-b=0, ∴a=b, ∴△ABC 是等腰三角形; (2)△ABC 是直角三角形.理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△ABC 是直角三角形. 18.解:(1)是; (2)证明: ∴“勾系一元二次方程” 必有实数根； (3)当x=-1时,有 即 即 学科网（北京）股份有限公司 $