精品解析：河南驻马店市第四中学2025-2026学年八年级下学期4月阶段检测数学试题

八年级数学 考试时间：100分钟 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列式子：；；；；；；其中不等式有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 若 ，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 关于x的不等式组的整数解的和为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，作直线交于点，交于点，连接，若，，则 的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，一次函数的图象经过点，若 ，则x的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中每一个内角都小于 C. 三角形中有一个内角大于 D. 三角形中每一个内角都大于 8. 在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9. 在中，，，的平分线交于点D，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 8 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则 周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 不等式的解集是______． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 14. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是______ 15. 如图，平分， 于，的面积为，则的面积为______． 三、解答题 16. 计算： （1）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 17. 某校组织七年级和八年级共名同学参加环保活动，七年级平均每人收集个废弃塑料瓶，八年级平均每人收集个废弃塑料瓶为了保证所收集的塑料瓶总数不少于 个，至少需要多少名八年级同学参加活动？ 18. 如图，在 中，，是上一点，且． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． （2）求证： ． 19. 在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ABC是等边三角形． 20. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________，和是的角平分线． 求证：_________． 证明： 21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 22. 一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： （1）关于的一元一次方程的解是___________； （2）若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； （3）关于的不等式组的解集是___________． 23. 在中， ，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点A的对应点为点F． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断 的形状，并证明； （2）如图2，若点F落在内，且的延长线恰好经过点C，，求的度数； （3）如图3，当点F恰好落在外，交于点，连接 ，若，，在 中，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿边向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动．设运动时间为t秒，请求出当为直角三角形时，t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 考试时间：100分钟 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列式子：；；；；；；其中不等式有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，据此逐个进行判断即可． 【详解】，是不等式，符合题意； ，是不等式，符合题意； ，是等式，不符合题意； ，是多项式，不符合题意； ，是不等式，符合题意； ，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有，共4个， 故选：B． 2. 若 ，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 本题可根据不等式的基本性质，逐项判断即可得到正确选项，需注意不等式两边同乘负数时，不等号方向改变. 【详解】解：∵ ，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A选项错误，不符合题意； ∵ ，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B选项正确，符合题意 ∵ ，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，C选项错误，不符合题意. ∵ ，不等式两边同时乘以得，两边同时加得， ∴ D选项错误，不符合题意. 故选：B. 3. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 4. 关于x的不等式组的整数解的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为 ， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 5. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，作直线交于点，交于点，连接，若，，则 的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，直线垂直平分，由垂直平分线的性质可得 ，然后由 的周长，即可获得答案． 【详解】解：由作图可知，直线垂直平分， ∴ ， ∵， ∴ 的周长． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了作图—作已知线段的垂直平分线、垂直平分线的性质等知识，理解线段垂直平分线的作法是解题关键． 6. 如图，一次函数的图象经过点，若 ，则x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，当 时， ， 故选：A． 7. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中每一个内角都小于 C. 三角形中有一个内角大于 D. 三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 8. 在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即 ，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得， ， ，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 9. 在中， ，，的平分线交于点D，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，根据角平分线的定义可得，可得 ，可得 ，根据含角的直角三角形的性质可得的长，利用勾股定理即可得答案． 【详解】∵ ，， ∴ ， ∵为的角平分线， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则 周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，推出 周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得 ， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出 周长的最小值为是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，按照一元一次不等式的求解步骤计算，注意系数化为1时，若系数为负数，需改变不等号的方向即可得到解集． 【详解】解：∵， ∴移项，得， ∴系数化为，得． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得 ， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是______ 【答案】70或40 【解析】 【分析】外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【详解】解：若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故它的顶角是或． 故答案为70或40． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 15. 如图，平分， 于，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长AP交BC于点Q，先证明 可得则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案． 【详解】解：如图，延长AP交BC于点Q， ∵平分， ， ∴ ∴ 的面积为， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，三角形的中线与三角形的面积的关系，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 16. 计算： （1）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 【答案】（1） ，图见解析； （2） ． 【解析】 【分析】（1）先解不等式，再在数轴上表示出来即可； （2）先求解每个不等式，再得出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ， 整理得： ， 解得： ， 在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： ． 17. 某校组织七年级和八年级共名同学参加环保活动，七年级平均每人收集个废弃塑料瓶，八年级平均每人收集个废弃塑料瓶为了保证所收集的塑料瓶总数不少于 个，至少需要多少名八年级同学参加活动？ 【答案】至少需要个八年级学生参加活动 【解析】 【分析】设需要八年级个学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个，由收集塑料瓶总数不少于 个建立不等式求出其解即可． 【详解】解：设需要八年级个学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个， 由题意得：， 解得：， 至少需要个八年级学生参加活动． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于 个建立不等式是关键． 18. 如图，在 中 ，，是上一点，且． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． （2）求证： ． 【答案】（1） 如图即为所求， （2） 证明：∵平分， ∴ ， 在与中，， ∴ ， ∴， ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）先证明 ，得出， ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出 ，即可证明 ，利用线段的和差关系即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ABC是等边三角形． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】只要证明 【详解】（1）证明： , （2）证明：由（1）得： 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的判定：等角对等边，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 20. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________，和是的角平分线． 求证：_________． 证明： 【答案】，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质推出，由角平分线的定义得到，判定，推出． 【详解】解：已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：， ， 和是的角平分线， ，， ， 在和中， ， ， ∴等腰三角形两底角的平分线相等． 故答案为：，. 21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品2包，B种食品4包； （2）选用A种食品6包，B种食品2包． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和 蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求得的范围，设总热量为，得到，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品2包，B种食品4包； 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品6包，B种食品2包． 22. 一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： （1）关于的一元一次方程的解是___________； （2）若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； （3）关于的不等式组的解集是___________． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 23. 在中， ，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点A的对应点为点F． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断 的形状，并证明； （2）如图2，若点F落在内，且的延长线恰好经过点C，，求的度数； （3）如图3，当点F恰好落在外，交于点，连接 ，若，，在 中，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿边向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动．设运动时间为t秒，请求出当为直角三角形时，t的值． 【答案】（1）等边三角形，证明见解析； （2）； （3）t的值为或． 【解析】 【分析】（1）平行线的性质，得到，折叠得到，进而得到 ，三角形内角和得到，即可得出结论； （2）同（1）可得： ，进而得到，折叠，等边对等角，结合三角形的外角推出，求解即可； （3）分或，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： 是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 是等边三角形； 【小问2详解】 解：同（1）法可得：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：同（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意，得： ，，则： ∴当运动到点时，点恰好运动到点， 当为直角三角形时，或， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ②当，则：， ∴， ∴，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，等边对等角，三角形的内角和定理，三角线的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $