精品解析：河南省驻马店市第四中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

八年级数学基础练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ，故B符合题意； 当时，，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意， 故选：B． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解判断并选择，解题的关键是掌握因式分解的方法． 【详解】解：，因式分解不彻底，A选项不符合题意； ，B选项因式分解错误，B选项不符合题意； 错误，没有全部做到因式分解，C选项不符合题意； ，D选项符合题意； 故选：D． 4. 如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的． 【答案】A 【解析】 【分析】x，y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得： 则分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 如图，已知是的角平分线，且，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点作垂直于，垂直于，由为角的平分线，根据角平分线定理得到，再根据三角形的面积公式表示出与的面积之比，把以及的比值代入即可求出面积之比． 【详解】过点作于，于． 为平分线， ， ∵， ． 故选：A． 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式， ∴|m|=1且m-1≠0， 解得m=-1， 则m的值为-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 9. 甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题中等量关系：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，据此列出关系式． 【详解】∵甲车的速度为千米/小时，则乙车的速度为（x+15)千米/小时 ∴甲车行驶30千米的时间为，乙车行驶40千米的时间为， ∴根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得． 故选C． 10. 关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：D． 二、填空题（共15分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若方程有增根，则的值是 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可．理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键． 【详解】解：， 在分式方程两边同乘以，得： ， ∵当时，， ∴方程的增根为， 将代入， 得：， 解得：． 故答案为：． 13. 若干学生分宿舍，每间6人余8人，每间8人剩一间不空但不足4人，则宿舍有__间． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组在实际问题中的应用，解题的关键找到题中的不等关系，设宿舍间数为x，则可表示出该班学生人数，根据题意每间人有一间不空也不满，可列出关于x的一元一次不等式组解题即可． 【详解】解：设宿舍有间，根据题意得： 解得：， 因为只能取整数， 所以，宿舍有7间， 故答案为：7． 14. 若=2，则=_____ 【答案】 【解析】 【分析】由=2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【详解】=2，得x+y=2xy 则==， 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想． 15. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 【答案】1 【解析】 【分析】取AC的中点G，根据等边三角形的性质可得CD=CG，根据旋转的性质可得CE=CF，再求出∠DCE=∠GCF，然后利用“边角边”证明△DCE和△GCF全等，推出∠FGC＝∠EDC＝90°，得到点F在直线BG上运动，作DH⊥BG， DF的最小值即为DH． 【详解】解：取AC的中点G，则CG＝CD， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠GCF， 在△CDE和△CGF中， ， ∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°， ∴点F在直线BG上运动， 作DH⊥BG， DF的最小值即为DH， ∵BD2，， ∴DH＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，找出点F的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式，并写出它的所有整数解． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，求不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组步骤，是解题的关键： （1）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， 由①得，， 解得：， 由②得，， 解得：， ∴原不等式组的解集是， ∴整数解为． （2）解：， ∴， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 17. 请你先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】 ，当时，原式. 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可（答案不唯一）． 【详解】 = = =， 当时，原式. 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． 【小问1详解】 解：如图所示： 的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示， 的坐标为； 【小问3详解】 解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．已知的周长为8，，求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可知，然后根据，即可得的长． 【详解】解：的周长为8， ， 是的垂直平分线， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键在于根据题意推出． 20. 已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题： （1）关于的方程的解是______；关于的方程的解是______； （2）关于的不等式的解集是______； （3）若点，请直接写出关于的不等式的解集； （4）请直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案； （2）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）利用两直线交点坐标，结合图象得出答案； （4）根据函数图像分别解不等式，再取公共部分即可． 【小问1详解】 ∵一次函数和图象，分别与轴交于，， ∴关于的方程的解是；关于的方程的解是； 【小问2详解】 根据图象可以得到：关于的不等式的解集是 【小问3详解】 ∵一次函数和的图象交于点 ∴根据图象可以得到：关于不等式的解集为 【小问4详解】 根据图象可以得到：关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为 ∴关于不等式组的解集为 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 21. 为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种运动鞋每双的进价多60元，用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求甲、乙两种运动鞋的进价（用列分式方程的方法解答）： （2）该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元．设甲种运动鞋的进货量为m双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w元，求w与m的函数关系式，并求总利润的最大值． 【答案】（1）甲、乙两种运动鞋的进价分别为200元/双、140元/双；（2）w与m的函数关系式是w＝﹣10m+32000，总利润的最大值是31500元． 【解析】 【分析】（1）根据用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同，可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题； （2）根据题意，可以得到w与m的函数关系式，再根据甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的，可以得到m的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得到w的最大值． 【详解】解：（1）设甲种运动鞋的价格是每双x元，则乙种运动鞋每双价格是（x﹣60）元， ， 解得，x＝200， 经检验，x＝200是原分式方程解， ∴x﹣60＝140， 答：甲、乙两种运动鞋的进价分别为200元/双、140元/双； （2）由题意可得， w＝（350﹣200）m+（300﹣140）×（200﹣m）＝﹣10m+32000， ∵甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的， ∴m≥（200﹣m）， 解得，m≥50， ∴当m＝50时，w取得最大值，此时w＝31500， 答：w与m的函数关系式是w＝﹣10m+32000，总利润的最大值是31500元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验． 22. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）因式分解：． （2）用配方法求的最小值． （3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1） （2）1 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； （3）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ，即的最小值为． 【小问3详解】 解： ， ， ，即的最小值为4． 23. 已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB． （1）问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为　 ，BD，AB，CB之间的数量关系为　 　； （2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明． （3）解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2，则CB= 　 ． 【答案】（1）BD=AE，BD+AB=CB；（2）BD-AB=CB；证明见解析；（3）BC=-． 【解析】 【分析】（1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，AC＝BD，CE＝BC进而可得△ECB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）过点C作CE⊥CB于点C，继而判断出△ACE≌△DCB，进而可得△ECB是等腰直角三角形，继而根据等腰直角三角形的性质和等量代换即可求证结论； （3）过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，先判断△ACE≌△DBC，AC＝BD，CE＝BC得到△BCE是等腰直角三角形，过点D作DH交CB的延长线于点H，继而得到BD＝BH＝2，再利用三角函数值和线段的和差即可求解． 【详解】（1）如图所示，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E， ∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝90°－∠ACB，∠BCD＝90°－∠ACB ∴∠ACE＝∠BCD， ∵BD⊥MN ∴在四边形ACDB中，∠BAC＋∠ACD＋∠ABD＋∠D＝360°， ∴∠BAC＋∠D＝180° ∵∠BAC＋∠CAE＝180° ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝AD 在△ACE和△DBC 中 ∴△ACE≌△DBC（ASA） ∴AE＝BD，CE＝CB ∵∠ECB＝90° ∴△ECB是等腰直角三角形 ∴BE＝ CB ∵BE＝AE＋AB＝BD＋AB BD＋AB＝ CB （2）线段BD，AB，CB之间的数量关系为：BD－AB=CB 证明：如图所示，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E， ∴∠ACE＝90°＋∠ACB， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°＋∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵BD⊥MN ∴∠CAE＝90°－∠AFB，∠D＝90°－∠CFD， ∵∠AFB＝∠CFD ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝CD ∴△ACE≌△BCD（ASA） ∴AE＝BD，CE＝BC， ∵∠BCE＝90° ∴△BCE是等腰直角三角形 ∴BE＝BC ∴BE＝AE－AB＝BD－AB ∴BD－AB＝BC， （3）如图所示，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90－DCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵BD⊥MN ∴∠CAE＝90°－∠AFC，∠BDF＝90°－∠BFD， ∵∠AFC＝∠BFD ∴∠CAE＝∠BDF， ∵AC＝CD ∴△ACE≌△BCD（ASA） ∴AE＝BD，CE＝BC， ∵∠BCE＝90° ∴△BCE是等腰直角三角形 ∴BE＝BC ∴BE＝AB－AE＝AB－BD ∴AB－BD＝BC， ∵△BCE是等腰直角三角形 ∴∠BEC＝∠EBC＝45°, ∵∠ABD＝90° ∴∠DBH＝45° 过点D作DH交CB的延长线于点H， ∴△BDH是等腰直角三角形 ∴BD＝BH＝2， ∴BH＝DH＝， 在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝， ∴CH＝DH＝ ∴BC＝CH－BH＝－ 【点睛】本题是几何变换综合题，涉及到全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等，解题的关键是正确作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学基础练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的． 5. 如图，已知是的角平分线，且，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 不确定 9. 甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是【 】 A. B. C. D. 10. 关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 二、填空题（共15分） 11. 分解因式：_______． 12. 若方程有增根，则值是 _____ ． 13 若干学生分宿舍，每间6人余8人，每间8人剩一间不空但不足4人，则宿舍有__间． 14. 若=2，则=_____ 15. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式，并写出它的所有整数解． （2）解方程：． 17. 请你先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．已知的周长为8，，求的长． 20. 已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题： （1）关于的方程的解是______；关于的方程的解是______； （2）关于的不等式的解集是______； （3）若点，请直接写出关于的不等式的解集； （4）请直接写出关于的不等式组的解集． 21. 为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种运动鞋每双的进价多60元，用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求甲、乙两种运动鞋进价（用列分式方程的方法解答）： （2）该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元．设甲种运动鞋的进货量为m双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w元，求w与m的函数关系式，并求总利润的最大值． 22. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）因式分解：． （2）用配方法求的最小值． （3）用配方法求代数式的最小值． 23. 已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB． （1）问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为　 ，BD，AB，CB之间的数量关系为　 　； （2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明． （3）解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2，则CB= 　 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$