平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 考点目录 平面向量与解三角形综合问题 三角恒等变换与解三角形综合问题 考点一 平面向量与解三角形综合问题 例1.(25-26高二上·贵州毕节·期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 sin(A+C)(sinB-sinC)=sin24-sin2C. (1)求角A的大小： ②若c=2D是线段BC上的一点，且满足BD=2DC,MD-2,求ABC的面积. 3 例2.(25-26高三上江苏南京·期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且√3 a sin B-bcosA-b=0. (1)求A; (②)若ABC的面积为V5,且AM=MB,CN=2NM,求CW的最小值. 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 例3.(25-26高三上·福建福州月考)已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a= b+c cos B+cosC (1)求角A: (2)若MA+MB+MC=0,且AM=1,求ABC外接圆半径R 例4.(25-26高三上河北保定·月考)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (sinA sinB +sinC)(c-a+b)=3csinB. (1)若a=23,求ABC外接圆的半径： (2)若b=3,c=2,BD=2DC,求线段AD的长. 2 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 变式1.(24-25高一下·黑龙江佳木斯期中)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，bcosA=c且 b=1 (1)求B: 11 ②)若4B:AC<,求+的取值范围 a c 变式2.(24-25高一下·四川凉山期末)己知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，且sinA=2sinB, 2-bcosC=ccos B (1)求b: (2)若c=2,求ABC的面积； (3)若ABC为锐角三角形，且2BD=DA,求CD的取值范围 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 变式3.(24-25高一下广东广州期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b), n=(cosA,sinB),且m/n (1)求角A; (2)若ABC的面积为2√3，a=2V5,且BC=2DC,求|AD1. 变式4.(24-25高一下·广东汕头·期末)△ABC为锐角三角形，内角A,B,C的对边分别为a,b,C已知0为△ABC的外 心，D为4C上一点，且AD=!AC,2cosB(acosC+cc0sA)=b (1)求角B; (2)若a=√3，求△ABC面积的取值范围； (3)若b=√5，求0B+30D的取值范围 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 考点二 三角恒等变换与解三角形综合问题 例1.(25-26高一下·江西宜春·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 3csin A-acos C=2c-b. (1)求角A; @D为BC外-点，且与点B位于直线4C的铜，∠4cD-名CD=1,若6=5，c=万，求△48D的面 积 例2.(25-26高一下山东枣庄·月考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 2cosC(acosB+bcosA)=c. (1)求角C的值 2)若c=V万，ABC的面积为3V ,求ABC的周长. 2 (3)若ABC为锐角三角形，且c=2,求ABC的周长取值范围. 5 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 例3.(2026山西晋城一模)在ABC中，C=2A+2B,sinB= (1)求cosA: (2)若BC=11,求ABC的面积. 例4.(2026天津河西·一模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(2b-cc0sA=acosC, a=√7，b=1. (1)求A的值； (2)求ABC的面积； (3)求c0s2B-A)的值. 6 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 变式1.(2526商-下安徽合肥月考)已知函数f八=6sim2x+写}-20sx+看)，将f八图象上所有的点向 右平移”个单位长度，得到函数gx)的图像 6 3π7π ①)求gx在46 上的值域： (2)若锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a=2,gA=0,求√5c-b的取值范围. 变式2.(25-26高一下山东泰安·月考)己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 cos A 2b-a (1)求C; (2)若c=3,求a+b的取值范围； (③)若该三角形为锐角三角形，求a+b的取值范围。 > 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 变式3.(2526高一下广西玉林月考)4BC中，角A,B,C对边分别为a,b,G,ac0sB=5, bsinA (1)求∠B的大小： (2)若b=√2，acosB=√5，求ABC的面积. 变式4.(2026~天津南开一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知c+b-5sinC-sin4, a sin C-sin B b=V7,a=25c (I)求角B的大小： (2)求a的值； (3)求c0sB-2A)的值， 6平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 考点目录 平面向量与解三角形综合问题 三角恒等变换与解三角形综合问题 考点一 平面向量与解三角形综合问题 例1.(25-26高二上·贵州毕节·期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 sin(A+C)(sinB-sinC)=sin24-sin2C. (1)求角A的大小： ②若c=2,D是线段BC上的一点，且满足BD=2DC,4D=2,求ABC的面积. 3 【容案】04-月 35 2 【详解】(1)因为sinA+C)(sinB-sinC)=sin2A-sin2C, 所以sinB(sinB-sinC)=sin2A-sin2C,即sin2B-sinBsinC=sin2A-sinC, 所以b2-bc=a2-c2，即b2+c2-a2=bc, 所以4：2-行又40动故4号 (2)因为BD=2DC,所以AD-AB=2AC-AD), 所以=B+C, 3 所以网-传+子g6音c+c 所以子合+音×2×分化简容公+b-2=0,解得6=3度5=4（舍去 999 9 故S。ABC= x2539 2 2 例2.(25-26高三上江苏南京·期中)己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√5 asin B-bcosA-b=0. (1)求A; (2)若ABC的面积为√5，且AM=MB,CN=2NM,求CW的最小值. 【答案】0)4-骨 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 225 3 【详解】(1)由正弦定理，√3 asin B-bcosA-b=0可转化为V3 sin Asin B-sin BcosA-sinB=0, 在三角形中，sinB>0恒成立，两边同除sinB,得√sinA-cosA-l=0, 即21-名-1，则m-爱-则A--及或4-西， 66 66 则A=或刀（舍去）， 3 故A= 3 (2) B 由题可知，M为AB的中点，N为CM的三等分点，且CN=2CM 又CM=AM-AC=AB-AC, 2 cv-号CM-B-40=46-2 AC 32 3 3 由scc血4-号c55,可得c:4 1 2 2 1 AB+AC-4 AB·AC= 31 V9 9 91 vas2+4b2-268 9 9 2c= 422 2 3 当且仅当写c-b时，即力=5c=2时，等号废立 故C的最小值为22 例3.(25-26高三上·福建福州月考)己知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a= b+c cos B+cosC' (1)求角A; (2)若MA+MB+M元=0，且AM=1,求ABC外接圆半径R 【答案】()A= 3 ②R=2 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 【详解】(1)由a= b+c -得a cos B+acosC=b+c, cos B+cos C 根据余弦定理，得aa+c2-b+a.。+-c=b+c 2ac 2ab 化简得(a2-b2-c2)(b+c)=0, b+c>0,a2=b2+c2, 4月 (2)令D是BC的中点，则MB+MC=MD+DB+MD+DC=2MD, .MA+MB+MC=0, .M--MD.M-2 由(1)知，A=交， ' 所以48C外接图半径R=网-网-月 例4.(25-26高三上·河北保定·月考)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (sinA sinB sinc)(c-a+b)=3csinB. (1)若a=2√5，求ABC外接圆的半径： (2)若b=3,c=2,BD=2DC,求线段AD的长 【答案】(1)2 ②2g 3 【详解】(l)因为sinA+sinB+sinC)(c-a+b)=3 csinB, 所以由正弦定理得3bc=(b+c+a(b+c-a=(b+c)2-a2=b2+c2-a2+2bc, 所以b2+c2-a2=bc, 则由余弦定理得cosA-+c2-a21 2bc2 又4(0，，所以4-号 设ABC外接圆的半径为R, 23 则R= a =2. 2sinA√5 (2)由BD=2DC,得AD-AB=2AC-2AD, 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 所以AD=}AB+2AC, 3 3 则0-0+号c+2×兮号acam肾-+g+号c 1 9 9 33 9 9 2 1 4 152 ×4+×9+-×3×2× 9 9 9 29 所以4D=0=2国 3 变式1.(24-25高一下黑龙江佳木斯期中)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，bcosA=c且 b=1 (1)求B; 巴法孤C<分果上的取能范司 a c 【答案】0号 (2)2V2,+∞】 【详解】(1)：bcosA=c,b=1,.c0sA=c, 在ABC中，由余弦定理得cosA-+c-。_1+c-a-c,化简整理得a+c2=1=, 2bc 2c :由余弦定理得cosB-。+c2-公-0， 2ac :B∈(0，，B= 2 2)由1)知8号 :孤c分aac=丽CoA-=d分0e9 2 在R1△48C中，：a=be0sC=cosC,c=bsin C=sihC,又0<e<2 2 0.1+1=-1+1_sinc+cosc 21 十一 a c cosC sinC sinC.cosC ce(a),itme) =mc4sc-sc-引，因为c0所以c+引 则t∈1，V2),P=(sinC+cosC)2=1+2sinC-cosC, .sin C.cosC=2-1 11sinC+cosC2t 2 2,asinC.cosC 1, 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 .f问.=-e同上单邃格写 2 又y=2在ue0, 上单调递减， 2 ·由复合函数的单调性可得’= 网说：，子8 t- 即1+1的取值范围为(22，+∞】 "a c 变式2.(24-25高一下·四川凉山期末)己知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，且sinA=2sinB, 2-bcosC=ccosB. (1)求b: (2)若c=2,求ABC的面积； (3)若ABC为锐角三角形，且2BD=DA,求CD的取值范围， 【答案】(1)1 Qv5 4 (72 633 【详解】(1)因为2-bcosC=ccos B, 由余弦定理可得cx+c-6+6x+-C-2,解得a=2. 2ac 2ab 又因为sinA=2sinB,由正弦定理得a=2b,所以b=1. (2)由(1)可知：a=2,b=1,且c=2, 由余弦定理得cosC=。2+b-c1 2ab 4' 且Ce(0,,可得sinC=-eos'c= 4 所以8C的面积S0nC=正 4 (3)由(1)可知：a=2,b=1, 由余弦定理可得c=Va2+b2-2 abcosC=√5-4cosC, 且ABC为锐角三角形， 4<1+5-4cosC 则 5-4cosC<4+1 ,解得0<c0sC<2, 1 6 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 因 $$2 \overrightarrow { B D } = \overrightarrow { D A } ，$$ ，可得 $$\overrightarrow { C D } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C A } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { C B }$$ $$\overrightarrow { C D } = \frac { 1 } { 9 } \left( \overrightarrow { C A } + \overrightarrow { C B } + \overrightarrow { C A } \cdot \overrightarrow { C B } \right) = \frac { 1 } { 9 } \left( 1 7 + 8 \cos C \right) \in \left( \frac { 1 7 } { 9 } ， \frac { 7 } { 3 } \right) ，$$ 可得 $$| \overrightarrow { C D } | = \frac { 1 } { 3 } \sqrt { 1 1 + 8 \cos C } \in \left( \frac { \sqrt { 1 7 } } { 3 } ， \frac { \sqrt { 2 1 } } { 3 } \right) ，$$ 所以 $$| \overrightarrow { C D } |$$ 的取值范围为 $$\left( \frac { \sqrt { 1 7 } } { 3 } ， \frac { \sqrt { 2 1 } } { 3 } \right) .$$ 变式3.(24-25高一下广东广州·期末)在 ABC 中，内角A，B，C的对边分别为 a， ，b，c，向量 $$\overrightarrow { m } = \left( a ， \sqrt 3 b \right) ，$$ $$\overrightarrow { n } = \left( \cos A ， \sin B \right) ，$$ ，且m $$/ / \overrightarrow { n } .$$ (1)求角 A； (2)若 ABC 的面积为 $$2 \sqrt 3 ， a = 2 \sqrt 3 ，$$ $$且 \overrightarrow { B C } = 2 \overrightarrow { D C }$$ ，求 $$| \overrightarrow { A D } |$$ 【答案 $$l \left( 1 \right) A = \frac { \pi } { 3 } ；$$ $$\left( 2 \right) \sqrt 7 .$$ 【详解】(1)由m $$/ / \overrightarrow { n }$$ 及 $$\overrightarrow { m } = \left( a ， \sqrt 3 b \right) ， \overrightarrow { n } = \left( \cos A ， \sin B \right) ，$$ ，得 $$a \sin B = \sqrt 3 b \cos A ，$$ 在 ABC 中，由正弦定理得 $$\sin A \sin B = \sqrt 3 \sin B \cos A ，$$ ，而 B∈(0，π)， ，即 sinB>0， 解得 $$\sin A = \sqrt 3 \cos A ，$$ $$则 \tan A = \sqrt 3$$ ，又 A∈(0，π)， ，所以 $$A = \frac { \pi } { 3 }$$ (2)由 ABC 的面积为 $$2 \sqrt 3 ，$$ 得Src= $$S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } b c \sin A = \frac { \sqrt 3 } { 4 } b c = 2 \sqrt 3 ，$$ 5，解得 bc=8， 由余弦定理得 $$1 2 = a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c \cos A = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b c ，$$ ，解得 $$b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 2 0 ，$$ 由 $$\overrightarrow { B C } = 2 \overrightarrow { D C } ，$$ 得 $$\overrightarrow { A C } - \overrightarrow { A B } = 2 \overrightarrow { A C } - 2 \overrightarrow { A D } ，$$ ，则 $$\overrightarrow { A D } = \frac { 1 } { 2 } \left( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } \right) ，$$ 所以| $$| \overrightarrow { A D } | = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } \right) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 b c \cos A } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 0 + 8 } = \sqrt 7$$ 变式4.(24-25高一下广东汕头·期末) △ABC 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c .已知O为 △ABC 的外 D为AC上一点，且 $$\overrightarrow { A D } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A C } ， 2 \cos B \left( a \cos C + c \cos A \right) = b .$$ (1)求角B； (2) $$a = \sqrt 3 ，$$ 求 △ABC 面积的取值范围； (3)若 $$b = \sqrt 3 ，$$ 求 $$| \overrightarrow { O B } + 3 \overrightarrow { O D } |$$ 5的取值范围. 【答案 $$\left( 1 \right) \frac { \pi } { 3 }$$ $$\left( 2 \right) \left( \frac { 3 \sqrt 3 } { 8 } ， \frac { 3 \sqrt 3 } { 2 } \right)$$ 6 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 (3[V5-1,2 【详解】(1)因为2cosB(acos C+ccos A)=b,由正弦定理得：2cosB(sin AcosC+sin Ccos A)=sinB, sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin(n-B)=sin B, 所以2 cos B sin B=sinB,又0<B<π，所以sinB>0, 1 即cosB=2由0<B<, 所以B=T」 3 2》声超意有5ccs如8-×5x当 24, 由正弦定理有： sinAsin C,所以c=asinc-V3sinC =c sin A sin A 由)由8-号所以4+C行，所 sinc-sin(B sin Beos 4+cos Bsin cosco1 sin A sin A sin A 2 sin A 2 tan A'2 0<A<2 又。48C为悦角三角形，所以0<C<号，所以4行所以m4小 h 3 4+C2a 3 所以0<<5， tan A 3V53v5 所以△ABC面积的取值范围为 82 √3 (3)设R为a48C外接圆的半径，由正弦定理有B行=2=2R,即R-1. b 2 所以OA=OB=OC=R=1,由余弦定理有cos∠AOB= oa+O-B 2OA OB 所以OA.OB=OAOB Cos ZA0B=OA0B 10+o-AB_1+1-c2 20A0B 2 同理0A.0C=1+1-,0B0C=1+1a 2 2, OB+30D=0B+30A+AD=0B+304+3AD=0B+304+AC =0B+30A+0C-0A=20A+0B+0C, 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 所以0B+30D=20A+0B+0C,所以oB+30D=20A+0B+0C=(20A+0B+0C) =40+0B2+0C2+40A.0B+40A.0c+20B.0元=404+0B+0C+404A.0B+40A.0C+20B.0C =4+1+1+4x+1-c+4x1+1-N+2x1+1-d-10-2c2-g, 2 2 2 又由正弦定理得a=2 Rsin A=2sinA,c=2 Rsin C=2sinC, 所以2c2+a2=8sim2C+4sin2A=8×1=c0s2C+4×1-cos24-6-4cos2C-2cos2A 2 2 =6-4am2g-4小2o24=6+4om昏-242as24 +coscos24+sin sim24-2cos26+25sin24, 又君4<号所以写<24<，所以0<sm24s1,所以6<202+0≤6+25， 所以4-2V3≤0B+30D<4,即V5-1≤0B+30D<2, 所以0B+30D的取值范围为[V5-1,2 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 考点二 三角恒等变换与解三角形综合问题 例1.(25-26高一下·江西宜春·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 3csin A-acos C=2c-b. (1)求角A: @D为BC外-点，且与点B位于直线4C的铜，∠4CD-gCD=1,若6=5，c=,求△4BD的面 积 【答案】04=月 (2)√7 【详解】(1)解：因为3 csin A-acosC=2c-b, 所以√5 sin C sin A-sin AcosC=2sinC-sinB, 3sin Csin 4-sin AcosC=2sin C-sin(A+C), 3 sin C sin A-sin AcosC=2sin C-sin A cosC-cos Asin C, 因为Ce(0,π，所以sinC>0, 所以5sinA+cosA=2,即simA+=l, 6 又4+后（》有4+号所以4 2)银：因为∠4D-gb=5,c0=1, 所以在△ACD中，AD2=AC2+CD2-2AC·CD cos∠ACD, 所以AD:=3+1-25c05=7,即AD=N万， 6 AD 因为在△ACD中， CD sin∠4CD sin∠CAD' 5元 所以sin∠CAD= CDsin∠ACD_sin6_N5, AD V714 因为∠C4D0引，所以sC4D3N 14 所以sin∠BAD=sin ?-∠CAD]=sin cos∠CAD-cos?sin∠CAD 3 3 33211√72万 214214=7, 0 平面向量与解三角形综合问题、三角恒等变换与解三角形综合问题专项训练 所以5m4BADm∠8D-5xx2-5 7 B D C 例2.(25-26高一下山东枣庄·月考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2cosC (acosB+bcos4)=c. (1)求角C的值 2)若c=V万，4BC的面积为3Y 3,求ABC的周长。 (3)若ABC为锐角三角形，且c=2,求ABC的周长取值范围 【答案】0c-骨 (2)5+√7 3)(2+2V5,6] 【详解】(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcos4A=sinC, 整理得：2 cosCsin(A+B)=sinC,:Ce(0,π，sinC≠0，sinA+B)=sinC, 1 .:.cosC= 又0<c<,c=骨 （2)由余弦定理得7=d+b-263a+b-3ab=7, :S= absinc=ah3 1 4 ab= 2，ab=6,a+b3-18=7,0+b=5, “aABC的周长为5+√万. (3)由正弦定理得。=6=c。4 sn1 sin"sinc石，可得a=年 sin4.6= sing, 4 sin4+4。 4 ∴.a+b+c= sinB+2=4 =2v3sinA+2cosA+2=4sin4+ +2 6 “△ABC为锐角三角形，且C=T, 3 10