甘肃甘南州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期期中考试模拟试卷高一数学

临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.OB-04+BC=() A.AC B.CA C.OC D.AB 【答案】A 【详解】OB-OA+BC=AO+OB+BC=AB+BC=AC 2.若复数：=a-l+5(a+i为纯虚数，其中a∈R,i为虚数单位，则a+i=（) 1-m A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】A 【详解】因复数：=a-1+5(a+1)i为纯虚数，则有a-1=0且5(a+1)≠0，解得a=1, 所以a+1-1+-0+i=1+2i+2 1-i1-i(1-i)1+i)1-i-2 =1 3.已知向量a=(2,1),b=(1,-3),则a+25=() A.(4,-5) B.(4,7) C.(0,-5) D.(0,7) 【答案】A 【详解】因a=(2,1),b=(1,-3),则ā+2b=(2,1)+2(1,-3)=(4,-5) 4.已知0<<π， 且coco(a-pA)+iin(B-a)=号则co 2 2 A. 1 2 B C. 3 D.- 5 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式，可得cos的值，根据半角公式，即可得答案 【详解】由题得cosBcos(a&-B)+sinBsin(B-a)=cosBcos(a-B)-sin Bsin(a-B) cos(B+a-B)=cosa=- 又0<a<元，所以学是换角，所以co号写 cosa+1 2 5.若向量a,五满足a+=a-=2=4,则+2=() A.√3 B.213 C.413 D.813 【答案】B 【分析】结合已知条件求出a6, 可，， 再利用向量的模的公式求解即可， 【详解】由2d=4得，日=2， a+-a-得，a+=a-,即时+2a-6+f=-2a.b+计，所以ai=0 又a+=4,所以+2a.6+=日+4-16，即2+=16，所以=12 所以a+28=Va+20=日+4a.6+=V2+4x0+4×12-52= 6.已知5sma-cos+写到-0，则tma（) A.-3 B.-3 C.3 D.3 3 5 3 【答案】A 535 -sin a 2cosa=0, .cosa =3v3 sina,tan a= sin a coS a 3v3sin a 9 35 tana-tan 25 6 93 9 6 -10 1+tanatan 6 1+53 93 7.若c0sa= 4 5 且a&是第四象限角，则sin a+ 等于() 4 B. 岭 72 D. 7√2 10 10 10 10 【答案】B 【详解】根据三角恒等式sinm2a+cos2a=l,可得：sinu=±1-cos2a 根据题目可知，是第四象限角，第四象限角的正弦值为负数，因此可得 sina ,h-16-1 根据两角和的正弦公式si血(A+B)=si血Acos B+cosAsin B,令A=a,B=交 4可得 sina+- sin a cos+cosasin 4 4 4 代入特殊角sin=cos √2 4 42 101010 8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinA-sinB)(a+b)=c(sinB+sinC), 且三角形ABC的面积为 ,则b2+4c2的最小值为() 4 A.2 B.2W2 C.4 D.42 【答案】C 【分析】借助正弦定理、余弦定理和基本不等式计算即可得 【详解】因为(sinA-sinB)(a+b)=c(sinB+sinC), 所以(a-b)(a+b)=c(b+c),即a2=b2+c2+bc, 所以cosA-+cd-1,又A∈(0，E,所以A=年 2bc 2 由三角形ABC的面积为5，得csin子 n2πV3 ,可得bc=1, 4 34 所以+42≥264c=4c=4,当且仅当b=2c,即b=V5c=5时取等号 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知ā，b为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是() A.a+b=1 B.(a+)l(a-) C.若c=2a+6,则cos<G,a-5 D.若os<d.a号剥的最小值为 2 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解 【详解】由题意得a.5=0,所以a+=(a+b)-2+2a.6+b2=+=1+1=-2, 所以a+=V2,故A错误：由(a+b)(a-)--b2=|--0,所以(a+b)1(a-b), 故B正确：又a:c-a(2a+b)=2a+a.b=2d-2, 所以=(2a+b)°=4定+4a.6+=4d°=5，所以=5， 动照芝收 1-=-2ia+--2cosa时--1同+子 当问-号时，只-d原所以-的最小值为放D正确 10.已知{}是由复数组成的数列，三1=(5。-3)26(i为虚数单位)，且名=1+i,则() A. 32=1+31 32 B.52+53=3 C.5-32+53-54+L-5206=1013V5 D.若5-5o2s=1,则-二226的最小值为√5-1 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行 分析求解即可. 【详解】z4=(3-3)-6=(2-3)）=3- 进一步m2=3-三41=3-(3-二)=二4，即数列{2n}周期为2 己知3=1+i,计算得z2=3-=2-i,3=3=1+i,以此类推，奇数项都为1+i,偶数项 都为2-i选项A2=2-i=2--1-31+1+1,A错误 z11+i(1+i)1-i)2 选项B.2=31=1+i,因此2+3=(2-i)+(1+i)=3,B正确。 选项C.与-52+53-54+-52026=(5-52)+(53-54)++(52025-52026). 因为5-2=(1+i)-(2-i)=-1+2i,所以总和为1013(-1+2i), 模长1013(-1+2i)=1013×√(-1)2+22=10135，C正确 选项D.22025=乙1=1+i,2026=32=2-i. 1z-2202s=1表示复平面上以1,1)为圆心、半径为1的圆，|z-2026是圆上点到(2，-1)的距离， 两定点距离为1206-20sl=V2-1)2+(1-1=V5,因此|z-22d的最小值为V5-1,D 正确 bsinCtasin B 11.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan(A+C)= bcosC+acos B' b2sin AsinC=3,角B的平分线与AC交于点D,则() A.B= 3 B.S.4nc=3 C.b的最大值为23 D.BD的最大值为1 【答案】ABD 【分析】由题设及三角形内角关系，结合三角恒等变换得cosB=-二判断A,再由已知，三 b2= J 3 角形面积公式及正弦定理求面积判断B,根据 sin AsinC sinAsin(-A),应用三角恒 3 等变换和正弦函数的性质求范围判断C,由等面积法得BD=4 ,结合ac=4、基本不等 +c 式求最大值判断D. 【详解】由A+B+C=π，则A+C=元-B,故tan(A+C)=-tanB= bsinC+asin B bcosC+acosB' 由正弦边角关系得-tanB=sin Bsinc+sin Asin B sin B cosC't sin cossin sin c +sin Asm cos B sin Bcos C +sin Acos B' 而sinB≠O,则-sin B cosC-sinAcos B=cos BsinC+sin AcosB, 所以cos Bsin C+sin B cosC+2 sin Acos B=0,则sin(B+C)+2 sin Acos B=0, 所以sinA+2 sinAcosB=0,而sinA≠0，可得cosB=-1 2 由0<B<元，可得8=2 ,A对， 1 S.csin B-1 6 stmAsic.sin B3 2 sin2B -2sinB-2√3 ,B对， 2 3 3 3 由题设、 sin Asin C sin Asin(5-4④sim4sin 3cosA-co 3m0 3 3 3 3 2 sin AcosA-Is 2sin4 3 sin 2--0s24)incos241 1 4 4 4 4 4 24+-,而0<4<且m2} 1 >0且亚<2A+亚<5 64 6 66 64 所以sn24+司斗，显然be126+回，故无最大值，c错， 由题意SBc=S4o+Sao→V5=)cBD-sin2+a-BD.in2 2 22 2 所以5a+BD=5,可得BD= a+c 由SABc= arnB=B,可得ac=4,则ca+ 2 4 即(a+c≥16一a+c之4，当且仅当a=c=2时取等号，所以BD=4<1,D对 a+c 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若向量a,6满足=1，=3，a+26=4,则a.6= 【答案幻月 【i详解】因为a+2万=+4a.6+46=1+4a.6+4x3=16,所以a-6= 13.如图，在平面四边形ABCD中，=7，sc=8,CD=45,c0s∠CAB-),∠BCD- 3 则△ACD的面积是 【答案】15 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解 【详解】在三角形ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos.∠CAB, 即4=49+4C2-2AC,解得4C=5,co9∠4CB=8°+5-72-1 2×8×5-2 而0<乙AC<R,则ACB管又BcD-经因此/ACD 所以△ACD的面积是 1 π SAnD-2:4V3sin=15 14. 已知c+片则m2a 6 【答案】 9 分析】先利用透导公式把目标角2。+。转化为与已知角口+相关的二倍角形式，再用 6 二倍角公式代入已知的cos(乙+)=】计算出结果 3 【详解】2a+5=m(2a++2=sm2a+爱，而2a+g-2a+?+号 6 6 6 6 于是sim a叫a月maj2awe1-2得1 故答案为： 7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知复数z=(m2-2-8)+(m2+3-10)i,i为虚数单位. (1)若复数z的实部与虚部相等，求实数m的值： (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； 【答案】(1)m 2-5 (2)(2,4) 【分析】(1)根据复数的定义由实部与虚部相等，列方程可得结果： (2)利用第二象限点坐标的特征，解不等式即可. 【详解】(1)易知复数z的实部为2-2m-8,虚部为m2+3m-10, 2 依题意可得m2-2m-8=m+3m-10,解得m=: (2)易知复数z在复平面内对应的点坐标为(m2-21-8,m2+3-10) m2-2m-8<0 由第二象限特征可知 r+31-10>0'解得2<m<4:因此实数m的取值范围为(2,4. 16.（15分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,√3 c sin A-acosC=2c-b. (1)求角A: @D为三角形ABC外点，且与点B位于直线4C的同，4CD-答，cD-1,若&-5， c=√7，求△ABD的面积. 【容案】@)A-号 (2)V7 【分析】(1)根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得A= 3 (2)在△ACD中，结合余弦定理得AD=√万，结合正弦定理得sm∠C4D= 14 ,进而求得 s咖∠BAD=2W5 最后根据面积公式求解即可. 【详解】(1)解：因为√3 csinA-acosC=2c-b, 所以√3 sinCsin A-sin AcosC=2sinC-sinB, √3 sin CsinA-sin Acos C=2sinC-sin(4+C）, 3sin Csin 4-sin AcosC=2sinC-sin AcosC-cos AsinC, 因为Ce(0,,所以simC>0,所以V3sin4+cosA=2,即mA+石=L 又4(G召则有4+君-子所以4 3 2)解：因为∠4cDζb-B,cD=1 所以在△ACD中，AD2=AC2+CD2-2AC.CD cos∠ACD, 所以AD=3+1-23c0s亚=7，即4D=V7, 6 因为在△ACD中， AD CD sin∠ACD sin ZCAD' 所以sin∠CAD= CDsin.∠ACD Sin Sn AD 7 14 因为∠CAD∈0， 2),所以cos∠C4D=3W2 14 所以mnB4D=simI∠CAD=im5s∠CAD-ssinCAD-5.32_17_27 3 3 2142147 所以SA4BD= A0mD}万x万25 21 7 B 17.(15分)已知a+b=(6,0),a-b=(-2,2). (1)若c=(1,2),且c=a+b,求，4的值； (2)若1/a,且d=35,求c的坐标. 【答案】@A= 。1 2=-2 (2)c=(6,3)或c=(-6,-3) 【分析】(1)根据向量坐标运算可得ā，五，再结合题意建立关于九，u的方程并求解： (2)根据向量共线设c=(2k,k),再结合向量的模的坐标运算求解k即可。 a+b=(6,0) 【详解】(1)已知 ,解得=(2,1)，b=(4,-1) a-b=（-2,2) 由c=2ā+b,代入坐标得：1,2)=2(2,1)+(4，-1)=(21+44，-)， 「2+4=1 A- 则久-=2，解得：3 1 (2)设c=a=(2k,k)(k为实数)， 由c卡3W5,可得：√(2)2+2=kN5=35,解得|k=3,即k=3或k=-3, 所以c=(6,3)或c=(-6,-3) 18.(17分)如图，在三角形ABC中，D,E分别为边AB,BC上的点，且AD:DB=BE:EC=2:1, AE与CD交于点P,记C=CD,CA=a,CB=b. D (I)求的值，并用a,B表示cD,CP: @若同=l.同=2，a6-号求∠APB的余弦值， 【容】0=号而-+6，P-5 3 3 23 13 【分析】(1)利用向量的线性运算，结合A,P,E三点共线的条件，建立关于入的方程求解 PA.PB (2)先求出PA,PB的表达式，再利用向量夹角公式cos8= PAPE 计算 【详解】(I)由CA=a,CB=b,得AB=C2-cA=b-a 因为40：0B=21,所以而-孤-6-a 3 则而-丽+而=a6-创a+动 3 因此4-c-04径：号 3 由BE:BC=2:1,得cE=}cB=b,则A正=CE-CA=b-a 因为A,P,E三点共线，所以AP与A正共线， 即存在实数从，使得=丽，即（管归+2头5个a (2-1=-4 21则4-2，代入化简可得：子1=-2，解得：又-多 3 所以 3=34 2)因为同=1，-2，a6=号临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.OB-04+BC=() A.AC B.CA C.OC D.AB 2.若复数=a-l+5(a+l)i为纯虚数，其中a∈R,i为虚数单位，则a+i =() 1-i A.i B.-i C.1 D.-1 3.已知向量=(2,1)，b=(1,-3),则ā+2b=（) A.(4,-5) B.(4,7) C.(0,-5) D.(0,7) 4.已知0<<元，且co6cos(a-A)+sn6sn(B-a)=-)则cog-（) 2 B月 D 5.若向量a,五满足a+=-2=4,则+2=() A.√3 B.2W13 C.413 D.&3 6.已知5ma-csa+胃到-0，则ta-君)（） A.-3 B.-3 c.3 D. 5 3 5 3 7.若coa-号且a是第四象限角，则sna+ 4 等于() A.-② 10 B. C.-72 D.75 10 10 10 8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinA-sinB)(a+b)=c(sinB+sinC), 且三角形ABC的面积为 ,则b2+4c2的最小值为() 4 A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知ā，b为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是() A.a+b=1 B.(a+B)L(a-B) C.若c=2a+b,则cos<c,a>- √5 5 D.若cos<da号，则归-d的最小值为5 10.已知{n}是由复数组成的数列，二1=(5n-3)i2o26(i为虚数单位)，且z=1+i,则() 色=1+3i A.2 B.52+53=3 C.51-52+53-4+L-2026=1013V5 D.若5-52025=1，则-=226的最小值为√5-1 1l.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,ta(A+C)= bsinC+asin B bcosC+acos B b2sin AsinC=3,角B的平分线与AC交于点D,则() A.B=2 B.S.BC =V3 C.b的最大值为2√3 D.BD的最大值为1 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量ā，6满足同=1，=5，a+2=4,则a万= 13.如图，在平面四边形A8CD中，A8=7,C=8,CD=45,cos∠CAB=号，∠BCD= 3 则△ACD的面积是 B 14.已知o后+a}则sm2a+12 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知复数z=(2-2-8)+(2+3m-10)i,i为虚数单位. (1)若复数z的实部与虚部相等，求实数m的值： (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围； 16.(15分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,√3 c sin A-acosC=2c-b. (1)求角A: ②)D为三角形ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，∠ACD=C,CD=1,若b=V3! c=√7，求△ABD的面积. 17.(15分)已知a+b=(6,0),a-b=(-2,2). (1)若C=(1,2),且c=a+b,求九，u的值： (2)若c1a,且=3W5,求c的坐标. 18.(17分)如图，在三角形ABC中，D,E分别为边AB,BC上的点，且AD:DB=BE:EC=2:1, AE与CD交于点P,记CP=CD,CA=a,CB=b. D E (1)求1的值，并用a,B表示cD,CP: a诺问=l,同=2，a.6=号求∠APB的余弦值. 19.(17分)在三角形ABC中，a2=b2+c2+bC,b=4. (1)求∠A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求。ABC 的面积 c0sB=-3 1 条件①： 条件②： tanc= 条件③：bcosC+ccosB=27 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因复数为纯虚数，则有且，解得， 所以. 3．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，，则. 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式，可得的值，根据半角公式，即可得答案. 【详解】由题得 ，又，所以是锐角，所以． 5．若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件求出，，，再利用向量的模的公式求解即可 . 【详解】由得，， 由得，，即，所以. 又，所以，即，所以. 所以. 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，故， ． 7．若，且是第四象限角，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据三角恒等式，可得： 根据题目可知，是第四象限角，第四象限角的正弦值为负数，因此可得 根据两角和的正弦公式，令，，可得 代入特殊角，可得. 8．在三角形ABC中，角的对边分别为，已知，且三角形ABC的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理、余弦定理和基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 所以，即， 所以，又，所以， 由三角形ABC的面积为，得，可得， 所以，当且仅当，即时取等号. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误；由，所以，故B正确；又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 10．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为.选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 11．在三角形ABC中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（    ） A． B． C．b的最大值为 D．BD的最大值为1 【答案】ABD 【分析】由题设及三角形内角关系，结合三角恒等变换得判断A，再由已知，三角形面积公式及正弦定理求面积判断B，根据，应用三角恒等变换和正弦函数的性质求范围判断C，由等面积法得，结合、基本不等式求最大值判断D. 【详解】由，则，故， 由正弦边角关系得，即， 而，则， 所以，则， 所以，而，可得， 由，可得，A对， 由，B对， 由题设 ，而，且且， 所以，显然，故无最大值，C错， 由题意 所以，可得， 由，可得，则， 即，当且仅当时取等号，所以，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，满足，，，则______． 【答案】 【详解】因为，所以. 13．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在三角形ABC中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是 . 14．已知，则___________. 【答案】 【分析】先利用诱导公式把目标角转化为与已知角相关的二倍角形式，再用二倍角公式代入已知的计算出结果. 【详解】，而， 于是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，为虚数单位． (1)若复数的实部与虚部相等，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的定义由实部与虚部相等，列方程可得结果； （2）利用第二象限点坐标的特征，解不等式即可. 【详解】（1）易知复数的实部为，虚部为， 依题意可得，解得； （2）易知复数在复平面内对应的点坐标为， 由第二象限特征可知，解得；因此实数的取值范围为. 16．（15分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)D为三角形ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得； （2）在中，结合余弦定理得，结合正弦定理得，进而求得，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以， ， ， 因为，所以，所以，即， 又，则有，所以. （2）解：因为，，， 所以在中，， 所以，即， 因为在中，，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 17．（15分）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解； （2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可. 【详解】（1）已知，解得，. 由，代入坐标得：， 则，解得：； （2）设（为实数）， 由，可得：，解得，即或， 所以或. 18．（17分）如图，在三角形ABC中，D，E分别为边AB，BC上的点，且，AE与CD交于点P，记，，． (1)求的值，并用，表示，； (2)若，，，求的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合三点共线的条件，建立关于的方程求解. （2）先求出的表达式，再利用向量夹角公式计算. 【详解】（1）由，，得. 因为，所以， 则. 由，得， 因此. 由，得，则. 因为三点共线，所以与共线， 即存在实数，使得，即 所以，则，代入化简可得：，解得：. 因此. （2）因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为，所以． 19．（17分）在三角形ABC中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，三角形ABC的面积. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【详解】（1），， ，，. （2）条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，， ，， ， ，，，， ； 条件③， ，其中为三角形ABC的外接圆的半径， ， ，，， ，，，，， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（    ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．若，且是第四象限角，则等于（ ） A． B． C． D． 8．在三角形ABC中，角的对边分别为，已知，且三角形ABC的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 10．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 11．在三角形ABC中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（    ） A． B． C．b的最大值为 D．BD的最大值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，满足，，，则______． 13．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 14．已知，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，为虚数单位． (1)若复数的实部与虚部相等，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； 16．（15分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)D为三角形ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 17．（15分）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的坐标. 18．（17分）如图，在三角形ABC中，D，E分别为边AB，BC上的点，且，AE与CD交于点P，记，，． (1)求的值，并用，表示，； (2)若，，，求的余弦值． 19．（17分）在三角形ABC中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 学科网（北京）股份有限公司 $