专题01 三角8大题型（期中专项训练）高一数学下学期沪教版

专题01 三角 题型一、由终边或终边上的点求三角函数值 题型二、各象限角三角函数值的符号 题型三、正、余弦齐次式的计算（重点） 题型四、诱导公式（考点） 题型五、两角和与差公式（重点） 题型六、二倍角公式（重点） 题型七、正弦定理的应用 题型八、余弦定理的应用（难点） 题型一、由终边或终边上的点求三角函数值 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 【答案】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由已知点到原点的距离， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则______. 【答案】 【分析】根据三角函数定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的始边为轴的非负半轴，终边上有一点，则________． 【答案】 【分析】由三角函数定义即可求解. 【详解】由三角函数定义可知，. 故答案为：. 题型二、各象限角三角函数值的符号 4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第________象限角． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案为：二 5．已知，，则角是第_____象限角. 【答案】三 【分析】根据三角函数在各个象限的符号求解即可. 【详解】由，则角是第一、三象限角， 又，则角是第三象限角. 故答案为：三. 6．若是第四象限角，则点在第_____________象限. 【答案】三 【分析】根据正、余弦函数的符号法则，得，,即可得到答案. 【详解】是第四象限角，则， 故点在第三象限， 故答案为:三 题型三、正、余弦齐次式的计算 7．（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 【答案】2 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由，可得 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （2） 题型四、诱导公式 10．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式，逐项验证即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：D. 11．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 【答案】/ 【分析】由条件结合三角函数定义求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点， 所以点到原点的距离为， 所以， 所以， 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的关系以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 可得，所以； 故答案为： 13．（24-25高一下·上海普陀·期中）化简：________． 【答案】 【分析】根据诱导公式直接进行化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 14．（24-25高一下·上海青浦·期中）若，则__________. 【答案】 【分析】由诱导公式结合题意可得答案. 【详解】注意到，则. 故答案为： 15．已知，则的值为______________； 【答案】 【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. 【详解】， ， ， ， . 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 【答案】或 【分析】根据题意，分角的终边在一条直线上和角的终边在上两种情况讨论，确定的值，得到答案. 【详解】根据单位圆，若集合中恰有2个元素，则满足以下两钟情况： 当角的终边在一条直线上，此时，可取除的任意角； 当角的终边在上来回跳，此时，取值只能为， 故的取值为或. 故答案为：或. 17．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有______个真子集． 【答案】/ 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 18．（24-25高一下·上海·期中）若，则__． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】. 故答案为：. 19．（24-25高一下·上海·期中）化简__________. 【答案】 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 20．（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则__________． 【答案】4 【分析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】. 故答案为：4. 21．（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 题型五、两角和与差公式 22．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 23．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 24．（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 25．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 【答案】 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 26．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【答案】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 27．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知都是锐角，，，则_____. 【答案】 【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【详解】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 28．（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则_____. 【答案】/ 【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【详解】由题设，，， 所以. 故答案为： 29．（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可得，利用锐角三角形可求得，可求范围. 【详解】 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 30．（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为 ， ，所以 ， 又 ， 所以 ，又 31．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 题型六、二倍角公式 32．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则______. 【答案】 【分析】根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 33．（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由角的终边与角的终边关于轴对称，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 34．（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 35．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 36．（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， 所以. 37．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系求，，再结合两角差余弦公式求， （2）结合（1）根据商的关系求，，再利用二倍角公式求，再结合两角差正切公式求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， （2）由（1），，，， 所以，， 所以， 所以. 所以. 38．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【详解】（1）由题：， . （2）因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 39．（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解； （2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】（1）由韦达定理得， 所以； （2）由（1）得， ， 因为，， 故，则， 解得，所以， 故. 40．（24-25高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题意，由单位圆中三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由单位圆中三角函数的定义可得，. （2）由二倍角公式可得， . 41．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）先求在的值域，在利用在上恒成立，即在上恒成立，即在的值域含在即可. 【详解】（1）由题意有， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； （2）由在上恒成立，即在上恒成立， 由得，所以，即， 所以， 即. 题型七、正弦定理的应用 42．在中，“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】结合诱导公式根据正弦定理和充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】在中，等价为， 若，则，由正弦定理得成立，即必要性成立， 若，则由正弦定理得，即成立，即充分性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C 43．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 44．（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 45．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 【答案】/ 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 46．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 47．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)或 【分析】（1）由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理进行求解． 【详解】（1）由正弦定理得，，得， 故无解． （2）由正弦定理得，，得， 因为，所以或． 48．（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 49．已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. （2）设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 50．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 51．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．      【答案】 【分析】在中，可得，，，结合正弦定理，即可求解 【详解】如图所示，由题意得，在中，可得， ，， 所以 由正弦定理得． 因此，点与灯塔的距离为是.    故答案为：. 52．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 题型八、余弦定理的应用 53．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 54．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 55．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 56．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则_____． 【答案】 【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理， 可得，设， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由，可得， 因为 ， 所以， 故答案为：. 57．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 【答案】; 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故， 由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为： 58．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】 【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接， 因为，所以，， ， 在中，由余弦定理得 因，则，得， 所以， ， 扇形OBC的面积为， 所以图中阴影区域的面积为. 故答案为： 59．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 60．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】0（1）由条件根据同角关系和二倍角公式求，，结合面积公式求结论， （2）由条件结合余弦定理求，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，， 又， 所以的面积， 所以求的面积为； （2）由（1）， 由余弦定理可得， 又，， 所以， 所以， 所以的周长为． 61．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 62．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角； （2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； （2）因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 试卷第1页，共3页 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角 题型一、由终边或终边上的点求三角函数值 题型二、各象限角三角函数值的符号 题型三、正、余弦齐次式的计算（重点） 题型四、诱导公式（考点） 题型五、两角和与差公式（重点） 题型六、二倍角公式（重点） 题型七、正弦定理的应用 题型八、余弦定理的应用（难点） 题型一、由终边或终边上的点求三角函数值 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则______. 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的始边为轴的非负半轴，终边上有一点，则________． 题型二、各象限角三角函数值的符号 4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第________象限角． 5．已知，，则角是第_____象限角. 6．若是第四象限角，则点在第_____________象限. 题型三、正、余弦齐次式的计算 7．（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则______． 9．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 题型四、诱导公式 10．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 12．（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 13．（24-25高一下·上海普陀·期中）化简：________． 14．（24-25高一下·上海青浦·期中）若，则__________. 15．已知，则的值为______________； 16．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 17．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有______个真子集． 18．（24-25高一下·上海·期中）若，则__． 19．（24-25高一下·上海·期中）化简__________. 20．（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则__________． 21．（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 题型五、两角和与差公式 22．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 24．（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 25．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 26．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 27．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知都是锐角，，，则_____. 28．（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则_____. 29．（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是________． 30．（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 31．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 题型六、二倍角公式 32．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则______. 33．（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 34．（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________. 35．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则________． 36．（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 37．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 38．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 39．（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 40．（24-25高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. (1)求，的值； (2)求，的值. 41．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 题型七、正弦定理的应用 42．在中，“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 43．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 44．（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为__________. 45．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 46．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 47．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 48．（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 49．已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 50．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 51．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．      52．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 题型八、余弦定理的应用 53．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 54．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 55．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 56．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则_____． 57．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 58．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 59．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 60．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 61．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 62．（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $