精品解析：上海市宝山中学2024-2025学年第二学期期中考试高一数学试卷

上海市宝山中学2024学年第二学期期中 高一年级 数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分100分，考试时间90分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸的相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共12题，每题3分） 1. 函数的最小正周期是___________． 2. 已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 3. 在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 4. 角为第一象限角，，则___________ 5. 已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 6. 已知向量、的夹角为，且，，则___________ 7. 已知锐角，满足，，则___________． 8. 函数值域为___________． 9. 已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为___. 10. 求函数的定义域_______ 11. 如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 12. 已知是内部一点，，，且，则的面积为________. 二、选择题（本大题共4题，每题3分） 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等； B. 1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； C. ； D. 锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． 14. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 关于函数的判断，正确的是（ ） A. 振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B. 振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C. 振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D. 振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 16. 已知x、，，且a是常数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 已知，，且与的夹角为， （1）求的值， （2）若，求的值． 18. （1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 19. 已知函数． （1）求的严格增区间； （2）求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 20. 已知，且的内角A满足为函数最大值． （1）求函数的值域及角A的值； （2）在（1）的条件下，又，求边的最小值． 21. 已知函数，其中． （1）若，且，求的解析式； （2）若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝山中学2024学年第二学期期中 高一年级 数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分100分，考试时间90分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸的相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共12题，每题3分） 1. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 2. 已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度， 且半径，所以扇形的弧长为. 故答案为：. 3. 在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据向量夹角的概念求解. 【详解】向量与向量的夹角是的补角，而， 故. 故答案为：. 4. 角为第一象限角，，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可． 【详解】角为第一象限角，， ． 故答案为：． 5. 已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可． 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 6. 已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 7. 已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 8. 函数值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数变形得，再结合余弦函数的范围和二次函数的值域求解即可得答案. 【详解】解：函数变形得， 由于， 所以当时，函数有最大值，； 当时，函数有最小值，， 故函数值域为 故答案为： 9. 已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为___. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用周期算出，再代入点即可》 【详解】由题意，可得，即，所以，即， 由函数经过点且为单调递减区间的零点，所以，解得，又由，所以， 故答案为：. 【点晴】此题考根据函数图像求解析式，属于简单题. 10. 求函数的定义域_______ 【答案】 【解析】 【分析】由，求解即可. 【详解】∵函数有意义，, ∴函数的定义域为. 故答案为： 11. 如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则，，， 因为，即，则，可得， 又因为正方形的边长为， 由题意可得，整理可得，即， 因为，则，可得或，解得. 故答案为：. 12. 已知是内部一点，，，且，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，设D为AC中点，则，可得，从而可得O为BD的中点，进而可得，由可得，再由即可求出. 【详解】在中，由可得， 设D为AC中点，则， ，O为BD的中点，， ，， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题. 二、选择题（本大题共4题，每题3分） 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等； B. 1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； C. ； D. 锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的相关概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，终边相同的角不一定相等，故A选项错误； 对于B选项，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角为1弧度，故B选项错误； 对于C选项，由于，是第三象限角，故； 对于D选项，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．正确. 故选：D 14. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】在中，由得：或，而，则，因此得， 于是得，是钝角三角形， 当是钝角三角形时，取钝角，， 即是钝角三角形不能推出， 所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件. 故选：A 15. 关于函数的判断，正确的是（ ） A. 振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B. 振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C. 振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D. 振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 16. 已知x、，，且a是常数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意化简方程组可得，令，即，结合函数单调性可得，再代入计算即可． 【详解】, ，得， 即， 令， 在上均为增函数， 在上单调递增， 又，即， 且，， ，即， ． 故选：C ． 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 已知，，且与的夹角为， （1）求的值， （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【小问1详解】 因为，，且与的夹角为，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 18. （1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 19. 已知函数． （1）求的严格增区间； （2）求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. 【小问2详解】 由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 20. 已知，且的内角A满足为函数最大值． （1）求函数的值域及角A的值； （2）在（1）的条件下，又，求边的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数值域及最值，利用整体法计算即可； （2）由题意可得，结合基本不等式求解即可． 【小问1详解】 ， ， 当，即时，取得最大值， ， 为函数最大值时，； 【小问2详解】 由（1）知，设，角对应边为， ，解得， 由余弦定理，即， （当且仅当时取等）， 即边的最小值为． 21. 已知函数，其中． （1）若，且，求的解析式； （2）若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【小问1详解】 函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. 【小问2详解】 ， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $