精品解析：北京清华大学附属中学数学2025-2026学年第二学期九年级数学统一练习

2025—2026学年第二学期统一练习04数学 （清华附中初23学部） 2026．4．02 二、填空题（共8小题，每题2分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握两种图形的定义：轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形.根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，由数轴得，，据此逐项判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， A、，，故A选项错误； B、，，，， ，故B选项错误； C、，，，故C选项错误； D、，，，故D选项正确． 故选：D． 3. 芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为米．某一层介质的厚度为米．已知该层介质的厚度是金属连线的宽度的倍，则的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将金属连线宽度转换为科学记数法，再根据倍数关系计算介质厚度，并调整为标准科学记数法形式． 本题考查了科学记数法，解题关键是明确科学记数法的表示方法是解题关键． 【详解】∵ 金属连线宽度 米， 又∵ 介质厚度 金属连线宽度， ∴ ， ∵ ， ∴ 米． 故选：D． 4. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 5. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( ) A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的含义，取出再放回型概率问题，列表或画树状图求概率，是解决本题的关键． 画出树状图，得到等可能结果总数，两次都给弟弟洗的结果数，代入概率计算公式解答即可． 【详解】画树状图： 由树状图可知，共有4种等可能结果，两次都给弟弟洗（设为事件A）的结果有1种， ∴两次都给弟弟洗的概率为，， 即此事件发生的概率 故选：A． 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AH⊥BC交CB的延长线于点H，若BA平分∠DBH，AD＝5，CH＝4，则AH＝（　　） A. 2.5 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，根据角平分线的定义、圆周角定理、圆内接四边形的性质得到∠ADC＝∠ACD，根据等腰三角形的性质得到AC＝AD＝5，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接AC， ∵BA平分∠DBH， ∴∠ABH＝∠ABD， 由圆周角定理得，∠ACD＝∠ABD， ∴∠ABH＝∠ACD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABH＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AC＝AD＝5， 在Rt△AHC中， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 7. 如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】由作图可知，在和中， ， ， 即 ． 故选：D． 8. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键． 首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，根据图象得出当时，y的值最大，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图所示三条抛物线分别经过A、D、C， B、D、C，A、B、D， 当经过A、D、C三点时，由图像得：当时，y的值最大，即取得最大值， 故选：C 二．填空题（共8小题，每题2分） 9. 使式子有意义的x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴二次根式的被开方数需满足，且分式的分母， 即， 解得． 10. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 11. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【详解】解：， 方程两边乘，得， 整理，得． 当，即时，分式方程无解． 当时，，分式方程无解． 把代入整式方程，得，解得． 综上，m的值为1或． 故答案为：1或． 12. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【答案】##240度 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 13. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如下表： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 根据数据，估计袋中黑球有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6，进而可估计口袋中白球的个数，从而得到黑球的个数． 【详解】解：根据表格，摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，则可估计口袋中白球的个数约为(个)， ∴估计袋中黑球有20-12=8个 故答案为：8． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的方法，大量重复实验时事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确，求出摸到白球的概率是解题关键． 14. 如上图，点 A 在双曲线 y＝上，且 OA＝4，过A作 AC⊥x 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分线交OC于B，则△ABC 的周长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组 ，解之即可求出△ABC的周长． 【详解】解：∵OA的垂直平分线交OC于B， ∴AB=OB， ∴△ABC的周长=OC+AC， 设OC=a，AC=b， 则：， 解得a+b=2， 即△ABC的周长=OC+AC=2cm． 故答案为2cm． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题． 15. 如图在中，，且，点在上，点是线段上一个动点，以为直径作，点为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，解直角三角形，连接，过点作交的延长线于点，可得，即得，再由锐角三角函数可得，最后根据垂线段最短即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点， ∵点为直径上方半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即， ∴当点与点重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 16. 随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活，某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作，该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率，已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完，现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成___个单位的家务工作． 【答案】78 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，解题的关键是要得到24小时内的最大工作量，需先计算不同模式单次满电的工作量和周期耗时，通过计算不同安排的总工作量，即可得到最大值． 【详解】解：由题意得，机器人初始为满电状态， “快速模式”：单次工作量（单位），单次耗时（小时）， “节能模式”：单次工作量（单位），单次耗时（小时）， 安排2次“快速模式”，再安排2次“节能模式”，总耗时为（小时）， 总工作量为：（单位）； 验证其他安排： 若全为“快速模式”，最多可安排5次工作（最后一次无需充电），总耗时（小时），总工作量； 若全为“节能模式”，最多可安排3次工作（最后一次无需充电），总耗时（小时），总工作量； 其他混合安排的总工作量均小于78个单位， 小时内最大完成工作量为78个单位． 三．解答题（本题共68分，第17-23每题5分，第24-25题6分，第26-28题7分．） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集分别表示在数轴上： 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简，然后a在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】化简得：原式=；当时，原式=． 【解析】 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a=0代入计算即可求出值． 【详解】原式= = =． 当a取﹣2，2，3，分式无意义． 当时，=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 如图，点F在平行四边形的对角线上，，连结，使得平分， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质及解三角形，熟练掌握菱形的判定与性质及解三角形是解题的关键． （1）根据题意得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义可得，然后可证，则有，最后问题可证； （2）过点B作于点H，由（1）得：四边形是菱形，，则有，进而可得，，，然后问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点B作于点H，如图所示： 由（1）得：四边形是菱形，， ∵，， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 21. 在平面直角坐标系中，函数与函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先将代入求出，再将点代入即可求解． （2）根据题意，当时，分别求出，的值，再根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：函数与函数的图象交于点， 将点代入， 解得， 将点代入， 解得． 【小问2详解】 解：如图所示， 把代入， 解得， 把代入， 解得， ∵当时，的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，， 解得：． 22. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 【答案】预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米，根据冰场的面积是原空地面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入中即可求出预留的左、中、右通道的宽度． 【详解】解：设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米． 23. 七年级某班的学生进行了体能测试，以下是该班20名男生的测试成绩（百分制），对该组数据进行整理、描述、分析，得到部分信息： a．这20名男生体能测试成绩如下： b．这20名男生体能测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，： c．这20名男生成绩数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 众数 中位数 请根据所给信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）补全频数分布直方图； （3）现在要从甲、乙、丙三个选手中选取两个人代表该班参加学校运动会，为了更加全面的了解三名选手的实力，班主任询问了本次测试三个人的成绩，得知他们恰好是本次测试成绩的前三名，但不知道每个人对应的分数，班主任又从体育老师那调取了三位同学之前三次模拟测试的成绩，计算四次成绩的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．若甲、乙、丙三位选手的成绩如下： 成绩1 成绩2 成绩3 本次测试成绩 甲 93 94 95 乙 96 94 95 丙 93 94 94 则这三位选手中首先入选的是___________；若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，则落选的那位选手为___________． 【答案】（1）88，87 （2）见详解 （3）乙；甲 【解析】 【分析】该题考查了中位数、平均数、方程和众数的定义，频数分布直方图，解题的关键是理解题意． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出和的人数，再画图即可． （3）根据题意求出三人前三次成绩之和，乙本次成绩取最小时得出依然是乙四次成绩之和最大，即乙四次成绩平均数最大，故乙首先入选，再根据第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，分两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：将这20名男生成绩从大到小排列如下： 故这20名男生成绩数据的中位数，众数， 故答案为：88，87． 【小问2详解】 解：根据题意的人数是2人， 的人数是8人， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：根据表格可得： 甲前3次成绩的和为， 乙前3次成绩的和为， 丙前3次成绩的和为， ∵甲、乙、丙三人的成绩都在95，94，93这三个分数中，但是不确定各自对应的分数， 乙比甲和乙总分分别多出3和4分，故无论乙取上述三个数中的任何一个值，则乙的总分都最多，故平均分最高， 因此这三位选手中首先入选的是乙． 若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同， 即甲和丙的平均数相同，则本次测试甲要比乙少1分， 当甲本次测试成绩为93，乙本次测试成绩为95，丙本次测试成绩为94时， 此时甲四次成绩的平均数为， 丙四次成绩的平均数为， 根据数据可得甲的方差大于丙的方差， 当甲本次测试成绩为94，乙本次测试成绩为93，丙本次测试成绩为95时， 甲四次成绩的平均数为， 丙四次成绩的平均数为， 甲的方差，丙的方差，甲的方差等于丙的方差，故此种情况舍去， 则落选的那位选手为甲， 故答案为：乙；甲． 24. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接交于G，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，进而利用平行线的性质证明切线即可． （2）首先通过求的长，再利用得到的长，最后利用求的值即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 【小问2详解】 如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，中位线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，借助相似找到边长的等量关系是解决问题的关键． 25. 在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来．三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作、、，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 6.5 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.5 4.8 6.1 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与V，与V，与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象： （2）以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号． _________号杯，______号杯，_______号杯； （3）根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为______（精确到小数点后1位），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为_____（精确到小数点后1位）． 【答案】（1）见解析 （2）2，1，3 （3）5.8，4.4 【解析】 【分析】（1）利用描点法补全函数图象即可； （2）观察（1）中的函数图象即可求解． （3）观察（1）中的函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：如图，补全函数图象如下： 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，三个杯子从左到右分别是2号杯，1号杯，3号杯； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，2号杯与3号杯中的水面高度约为，1号杯的水面高度约为； ∵， ∴操作完成后三个杯子的高度约为． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式计算即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，结合折叠的性质得出翻折后的抛物线的解析式，从而得出图形，表示出，再结合二次函数的性质计算即可 【小问1详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵过点作轴的垂线， ∴垂线的方程为， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴图形为， ∵点和点是图形上的点，且， ∴，， ∴， ∵过点作轴的垂线交轴于点， ∴， ∵随着的增大而增大， ∴随着的增大而增大， ∵，且， ∴当时，随着的增大而增大． 【点睛】某点关于水平线对称后的新点为． 27. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接交直线于点F，点E为中点，连接． （1）如图1，若，求证：： （2）如图2，若D为线段上一点，且，连接，延长至M，使．延长至N，使，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明： （2）过点作，交的延长线于点，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质，证明即可． 【小问1详解】 证明：，， 线段绕点A逆时针旋转得到线段， ， ， ， ，点E为中点， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：过点作，交的延长线于点， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． （1）若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ① ② ③ ④ （2）若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ （3）直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____ 【答案】（1）①④ （2），或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接画出符合条件的图象即可； （2）分析圆与点N轨迹的临界条件即可解决； （3）正确理解题目的存在性以及轨迹的动态问题即可找出两个临界从而解决问题． 【小问1详解】 解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得与， 此时点E坐标为， 点R坐标为， 故答案为：①④． 【小问2详解】 解：如图，连接、，过点A作且， 连接，过点B作且， 连接、，过点作交于点J，过点F作交于点K， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，，，， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为点N轨迹，当圆与线段相切时，存在等腰直角，此时 点N是M关于l和线段的“对垂点”， ，，过点F作，有， ， ， ， 当圆往下平移至圆心与M点重合时， 此时点N与点E重合，t为最小值，， ； 当圆继续往下平移时， 如图，作等腰直角与等腰直角，连接，同理可得N点轨迹为线段， 当圆与线段相切交于点时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在与中， ， ， ， ， 即， 当圆继续往下平移至交线段与唯一公共点Y处时， 此时， 即， ， 综上所述，，或． 故答案为：，或． 【小问3详解】 解：如图，连接、、、，过点A作且，过点B作且，过点C作且，过点D作且，过点H作交于点J，过点G作交直线于点Q，过点作交直线于点U，取与交点为点V，连接、、、， 容易证得，，，， 即点N轨迹为正方形， 又，， 正方形在直线上运动， 当正方形平移至点E在直线上时，只存在一个“对垂点”，如下图， 此时点N坐标为，，， 当正方形继续向下平移直到点G与点重合时，此时只存在一个“对垂点”，如下图， 此时，， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形，动点与轨迹问题，勾股定理，圆的性质等知识点，准确找到主动点与从动点的几何关系并且构造相似从而找出从动点轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期统一练习04数学 （清华附中初23学部） 2026．4．02 二、填空题（共8小题，每题2分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为米．某一层介质的厚度为米．已知该层介质的厚度是金属连线的宽度的倍，则的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( ) A. B. C. D. 1 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AH⊥BC交CB的延长线于点H，若BA平分∠DBH，AD＝5，CH＝4，则AH＝（　　） A. 2.5 B. C. 3 D. 7. 如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题2分） 9. 使式子有意义的x的取值范围是________． 10. 分解因式：_____． 11. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 12. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 13. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如下表： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 根据数据，估计袋中黑球有________个． 14. 如上图，点 A 在双曲线 y＝上，且 OA＝4，过A作 AC⊥x 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分线交OC于B，则△ABC 的周长为_____． 15. 如图在中，，且，点在上，点是线段上一个动点，以为直径作，点为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为______． 16. 随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活，某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作，该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率，已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完，现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成___个单位的家务工作． 三．解答题（本题共68分，第17-23每题5分，第24-25题6分，第26-28题7分．） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，然后a在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 20. 如图，点F在平行四边形的对角线上，，连结，使得平分， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数与函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 23. 七年级某班的学生进行了体能测试，以下是该班20名男生的测试成绩（百分制），对该组数据进行整理、描述、分析，得到部分信息： a．这20名男生体能测试成绩如下： b．这20名男生体能测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，： c．这20名男生成绩数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 众数 中位数 请根据所给信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）补全频数分布直方图； （3）现在要从甲、乙、丙三个选手中选取两个人代表该班参加学校运动会，为了更加全面的了解三名选手的实力，班主任询问了本次测试三个人的成绩，得知他们恰好是本次测试成绩的前三名，但不知道每个人对应的分数，班主任又从体育老师那调取了三位同学之前三次模拟测试的成绩，计算四次成绩的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．若甲、乙、丙三位选手的成绩如下： 成绩1 成绩2 成绩3 本次测试成绩 甲 93 94 95 乙 96 94 95 丙 93 94 94 则这三位选手中首先入选的是___________；若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，则落选的那位选手为___________． 24. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接交于G，若，，求的值． 25. 在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来．三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作、、，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 6.5 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.5 4.8 6.1 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与V，与V，与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象： （2）以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号． _________号杯，______号杯，_______号杯； （3）根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为______（精确到小数点后1位），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为_____（精确到小数点后1位）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接交直线于点F，点E为中点，连接． （1）如图1，若，求证：： （2）如图2，若D为线段上一点，且，连接，延长至M，使．延长至N，使，连接，若，求证：． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． （1）若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ① ② ③ ④ （2）若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ （3）直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $