精品解析：北京市第一六六中学2025一2026学年度4月阶段测试试卷 九年级数学

2025-2026学年北京166中九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵主视图和左视图均为长方形 ， ∴该几何体为柱体， ∵俯视图为长方形， ∴该几何体为长方体． 2. 我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1040000000人左右，将1040000000用科学记数法表示应为（ ） A. 1.04×1010 B. 1.04×109 C. 10.4×109 D. 0.104×1011 【答案】B 【解析】 【分析】1040000000用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果． 【详解】解：1040000000的绝对值大于表示成的形式， ∵，， ∴1040000000表示成， 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值． 3. 如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（ ） A. B. C. D. π 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可得． 【详解】解：由数轴可知，点表示的无理数大于3且小于4． A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转．若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从所有等可能的情况中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解． 【详解】解：由题意知，A，B两辆汽车经过该路口时共有4种等可能的情况，分别是：A直行B右转，A直行B直行， A右转B右转，A右转B直行， 因此经过该路口的两辆汽车都直行的概率为． 故选A． 【点睛】本题考查简单概率的计算，根据题意列出所有等可能的情况是解题的关键． 6. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据任意多边形的外角和为360度，判断即可． 【详解】解：六边形的外角和是． 故选：C． 7. 某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有名学生，估计喜欢木工的人数为（ ） A. 64 B. 380 C. 640 D. 720 【答案】C 【解析】 【分析】用乘以样本中喜欢“木工”的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴估计喜欢木工的人数为640人， 故选C． 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． 8. 如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①由绕顶点A逆时针旋转至，得到△AEF≌△ABC，又由∠BAD＝60°，即可证明；②由ABCD，得到∠EDH＝∠DAB＝60°，又由ADBC，得到∠AEF＝120°，进一步得∠DEH＝60°，∠DHE＝60°，结论得证；③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，证明△BHC、△DMH和△BHM是等边三角形，得到DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，点H为CD的中点，再证明△CKH∽△AKB，进一步得到AD＝3HK；④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，分别用AD表示出△ACF和的面积，即可得到结论． 【详解】解：①∵将绕顶点A逆时针旋转至， ∴△AEF≌△ABC， ∴∠EAF＝∠BAC， ∵∠BAD＝60°， ∴∠CAF＝∠EAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD＝60°， 故①正确； ②∵ABCD， ∴∠EDH＝∠DAB＝60°， ∵ADBC， ∴∠AEF＝∠ABC＝180°－∠BAD＝120°， ∴∠DEH＝180°－∠AEF＝60°， ∴∠DHE＝180°－∠EDH－∠DEH＝60°， ∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°， ∴△DEH是等边三角形， 故②正确； ③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，如图1， ∵△EDH是等边三角形， ∴∠BHC＝∠EHD＝60°， ∵ADBCHM， ∴∠BCH＝∠EDH＝60°，∠DHM＝∠BCH＝60°， ∴∠CBH＝180°－∠BCH－∠BHC＝60°，∠BHM＝180°－∠DHM－∠BCH＝60°， ∴△BHC是等边三角形， ∵HMADBC， ∴∠DHM＝∠BCH＝60°，∠DMH＝∠BHM＝60°， ∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°， ∴△DMH和△BHM都是等边三角形， ∴DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD， ∴点H为CD的中点， ∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK， ∴△CKH∽△AKB， ∴， ∴， ∴AD＝3HK， ∴2AD＝3HK错误， 故③错误； ④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，如图2，则∠BNC＝90°， ∵ABCD， ∴∠DCN＝180°－∠BNC＝90°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠BCN＝30°， ∴BN＝BC＝AD，CN＝BC＝AD， ∴AN＝AB＋BN＝2AD＋AD＝AD， ∴AC＝＝AD， 由①可知，∠CAF＝＝60°，AC＝AF， ∴△ACF是等边三角形， ∴等边三角形△ACF的高为AC＝AD， ∴ , ∵的边AB上的高＝CN＝AD， ∴， ∴， 故④正确， 综上，①②④正确， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、图形的旋转、平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 10. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零． 【详解】解：方程 的判别式为 ． 根据题意，，即 ， 解得 ． 故答案为：． 12. 方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】将，两点代入反比例函数求得和的值，再计算求值即可； 【详解】解：∵点和在反比例函数图象上， ∴，， ∴， 故答案为：0； 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键． 14. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____ 【答案】19cm##19厘米 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，结合△ABD的周长从而得到结论． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD= AB+BD+CD =13cm， ∵AC=6cm， ∴△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=13+6=19cm， 故答案为：19cm． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，点E在边上，连接并延长，交的延长线于点F．若，，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】结合矩形的性质，证明，即可得，即可求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 16. 一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 【答案】 ①. 1 ②. 2100 【解析】 【分析】（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费=100×租住一人间的间数+150×租住三人间的间数，可得出关于的二元一次方程，结合均为自然数且，即可得出结论； （2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论． 【详解】解：（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间， 根据题意得：， 化简得：， ∴， 又∵均为自然数，且， 当时， ，不是整数； 当时， ，是整数； 当时， ，不是整数； 当时， ，不是整数； ∴， ∴他们租住了1间一人间． （2）设间一人间住男士，间一人间住女士，． 男士住一人间人，剩余男士人需要住三人间． 女士住一人间人，剩余女士人需要住三人间． 当时，男士：， ∴男士三人间数量为9， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； ∴租住一晚的住宿房费最少为2100元． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题，每题5分，第20、21、24、26题，每题6分，第27、28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，绝对值，特殊角的三角函数值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．将特殊角的三角形函数值代入，然后去括号，绝对值，最后进行计算即可得． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握和运用解一元一次不等式组的步骤是解决本题的关键．首先解每一个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴． 0 ∴原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， 设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 21. 如图，在中，，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使，连接BE、BF、CF、AD． （1）求证：四边形BFCE是菱形； （2）若，，求AD的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质得到，即可得出四边形是菱形； （2）先证四边形是平行四边形，得，再求出，由勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 证明：是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是边的中点， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得：，四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ∵ ∴ ∴，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由两点坐标待定系数法求得一次函数解析式，再令即可求得点横坐标； （2）根据题意列出不等式，再求出使不等式成立时的取值范围即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得 ， ∴该一次函数的表达式为， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：当时，， 化简得：， ∵时，不等式要一直成立， ∴要小于的最小值， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数和不等式的关系，掌握不等式的解集范围是解题关键． 23. 某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息． a．七、八年级学生平均每天阅读时间统计图： b．九年级学生平均每天阅读时间： 21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50 c．七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数： 年级 七 八 九 平均数 26.4 35.2 36.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ； （2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数； （3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，则之间的大小关系为 ． 【答案】（1）37 （2）32.8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动程度越小，结合统计图与数据进行判断即可． 【小问1详解】 解：由中位数是第8位上的数可知，中位数为37， 故答案为：37； 【小问2详解】 解：由题意知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为， ∴三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为32.8； 【小问3详解】 解：由方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动程度越小， 观察七、八年级的统计图以及九年级的数据可知，九年级的数据波动最大、八年级的数据波动最小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，方差等知识．解题的关键在于从题干中获取正确的信息． 24. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF． （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）若CF＝5，，求⊙O半径的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AO＝. 【解析】 【分析】（1）连接OD，利用点D是半圆的中点得出∠AOD与∠BOD是直角，之后通过等量代换进一步得出∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°从而证明结论即可； （2）通过得出＝，再证明△ACF∽△CBF从而得出AF＝10，之后进一步求解即可. 【详解】证明：连接OD， ∵点D是半圆的中点， ∴∠AOD=∠BOD=90°. ∴∠ODC+∠OED=90°. ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD. 又∵CF=EF， ∴∠FCE=∠FEC. ∵∠FEC=∠OED， ∴∠FCE=∠OED. ∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°. 即FC⊥OC. ∴FC是⊙O的切线. （2）∵tanA＝， ∴在Rt△ABC中，＝. ∵∠ACB＝∠OCF＝90°， ∴∠ACO＝∠BCF＝∠A. ∴△ACF∽△CBF， ∴＝＝＝. ∴AF＝10. ∴CF2＝BF·AF. ∴BF＝. ∴AO＝＝. 【点睛】本题主要考查了圆的切线证明与综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 25. 脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 【答案】（1）见详解 （2）①②③8 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先逐个描点，再依次连接，即可作答． （2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答． ②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答． ③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点． （1）当时，比较，的大小； （2）当时，记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，若在图形上存在两点、（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出当时，、的值，通过比较得到、的大小关系； （2）抛物线的对称轴为，分和两种情况讨论 【小问1详解】 解：， 抛物线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，可得：， ， 当时，可得：， ， ； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为， ①当时，抛物线开口向上， ， ，即， 两边平方得， 整理得， 设， 当时，解得， ，开口向上， 根据二次函数的图象可得的解集为或， ， 要存在点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小， 则点需要在对称轴的两边或者在对称轴的左边， ， ，， 在对称轴的右边， ∴需要在对称轴的左边才能满足条件， 此时， 解得； ②当时，抛物线开口向下， ， ，即， 两边平方得， 整理得， 设， 当时，解得， ，开口向上， 根据二次函数的图象可得的解集为， ， 要存在点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小， 则点需要在对称轴的两边或者在对称轴的右边， ， ，， 在对称轴的右边，在对称轴的左边或右边，都满足条件， ， 综上，或． 27. 如图，在中，，，点D在射线上，将射线绕点D逆时针旋转，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接． （1）如图1，若，求证：． （2）如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，，结合题意得到是的中位线，由此即可求证； （2）①按题意补全图形：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．②在的延长线上取一点，使，连接，，令交于点Q．证明，再证得到和，接着利用三角形内角和证明，再证得到，最后利用中位线定理得到，从而推出． 【小问1详解】 证明：根据题意，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点是线段的中点， 又∵F为的中点， ∴是的中位线，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形如下：在图2中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． ②，证明如下： 在的延长线上取一点，使，连接，，，令交于点Q， ，， 垂直平分， ， ， 由旋转得，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ∴， 在中，， ， ， ∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， ，为的中点， 是的中位线， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数． （1）如图1，点，在，，中，点_________是点C的“垂切点”，垂切系数_________． （2）点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为_________． （3）已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），4 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题中的定义可知，过点的切线为，通过作图可判断出只有的垂直平分线可以是，从而求得垂切系数a； （2）由定义可知，过点C的切线即为与过点A，半径为2的，的公切线，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点，利用解直角三角形求出，进而求出，利用勾股定理可求得此时点C的横坐标，由于与的外切圆始终存在切点C，当外切圆的圆心在x轴正半轴上时，存在最大值为2，从而得到点C横坐标在x轴正半轴上的取值范围，同理利用轴对称的性质可得到点C横坐标在x轴负半轴上的取值范围； （3）由于点P关于点C的垂切系数a满足，作出相关图象，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D，利用勾股定理求得，，的值，从而得出的取值范围，由点M和点N的坐标可知点M在直线上，为一条水平长度为4的线段，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可，分情况讨论与与为半径的圆环区域的交点情况，即可求得t值，并最终得到t的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，过点的切线为， 如图，在，，三个点中，只有的垂直平分线可以是， ∴点是点C的“垂切点”，此时， ∴垂切系数； 【小问2详解】 解：由定义可知，过点C的切线即为与过点A，半径为2的，的公切线， 要使点A在x轴上，且点A是点C的“垂切点”， 如图，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点， ∵，，， 在和中，， ∴， ∴， 过点作， 在中，，， ∴， 同理可得， ∵与的外切圆始终存在切点C， ∴当外切圆的圆心在x轴正半轴上时，存在最大值为2， ∴的取值范围是， 同理，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点， ∵，，， 在和中，， ∴， ∴， 过点作， 在中，，， ∴， ∴， 同理可得， ∵与的外切圆始终存在切点C， ∴当外切圆的圆心在x轴负半轴上时，存在最小值为， ∴的取值范围是， 综上所述，点C横坐标取值范围是或． 【小问3详解】 解：由题意知，点P关于点C的垂切系数a满足， 如图，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴当在以O为圆心，4为半径的上运动时，始终保持点P关于点C的垂切系数a满足， ∴的取值范围是， ∵，， ∴点M在直线上，为一条水平长度为4的线段， 如图，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可， 当与半径为的相切时，即，解得， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 综上所述，t的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京166中九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 2. 我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1040000000人左右，将1040000000用科学记数法表示应为（ ） A. 1.04×1010 B. 1.04×109 C. 10.4×109 D. 0.104×1011 3. 如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（ ） A. B. C. D. π 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转．若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有名学生，估计喜欢木工的人数为（ ） A. 64 B. 380 C. 640 D. 720 8. 如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 10. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为__． 12. 方程的解为_______． 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则______． 14. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____ 15. 如图，在矩形中，点E在边上，连接并延长，交的延长线于点F．若，，，则的长为______． 16. 一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题，每题5分，第20、21、24、26题，每题6分，第27、28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 21. 如图，在中，，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使，连接BE、BF、CF、AD． （1）求证：四边形BFCE是菱形； （2）若，，求AD的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息． a．七、八年级学生平均每天阅读时间统计图： b．九年级学生平均每天阅读时间： 21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50 c．七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数： 年级 七 八 九 平均数 26.4 35.2 36.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ； （2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数； （3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，则之间的大小关系为 ． 24. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF． （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）若CF＝5，，求⊙O半径的长． 25. 脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点． （1）当时，比较，的大小； （2）当时，记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，若在图形上存在两点、（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点D在射线上，将射线绕点D逆时针旋转，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接． （1）如图1，若，求证：． （2）如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数． （1）如图1，点，在，，中，点_________是点C的“垂切点”，垂切系数_________． （2）点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为_________． （3）已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $