2025-2026学年浙教版七年级数学下册期中模拟卷

七年级数学下学期期中模拟卷 范围：浙教版七下1~3章（相交线与平行线、二元一次方程组、整式的乘除） 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•西湖区校级月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•慈溪市校级月考）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•西湖区校级期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（2025春•慈溪市校级期中）若是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025春•拱墅区校级期中）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+3n等于（　　） A．ab B．a+b C．a2b3 D．a2+b3 6．（2025春•温州校级期中）如图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，则下列选项中∠3的同旁内角为（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 7．（2025春•上城区校级期中）若关于x，y的多项式x•（x2﹣mx+3）+x2•（4mx2+3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．5 8．（2025春•宁波期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　） A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5 9．（2025春•江北区校级月考）已知实数x，y满足（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2，则代数式x2+y2的值为（　　） A．4 B． C． D．5 10．（2025春•西湖区校级月考）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 二．填空题（共6小题） 11．（2025春•杭州月考）计算：12x6÷（﹣3x2）＝ 　 　 ． 12．（2025春•浙江期中）如图，已知BE平分∠ABC，且∠CDB＝25°，当∠ABC＝ 　 　 时，AB∥CD． 13．（2025春•绍兴期中）若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　 　 ． 14．（2025春•丽水期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为　 　 ． 15．（2025春•滨江区校级期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买　 　 盒． 16．（2025春•西湖区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F，点C、D的落点分别是C′、D′，ED′交BC于G，再将四边形C′D′GF沿FG折叠，点C′、D′的落点分别是C″、D″，GD″交EF于H，下列四个结论：①∠GEF＝∠GFE；②2∠EFC＝∠EGC+180°；③∠EGD″＝2∠EFG；④∠EHG＝3∠EFB．其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 三．解答题（共8小题） 17．（2025春•浙江期中）计算： （1）（14a2+7a）÷（7a）； （2）（﹣1）2025+（π﹣3.14）0+2﹣2． 18．（2025春•上城区校级期中）解下列方程组： （1）； （2）． 19．（2025春•西湖区校级期中）先化简，再求值： （1）（x﹣1）2+x（3﹣x），其中； （2）4a（3a+2）﹣（1+2a）（1﹣2a），其中2a2+a﹣2＝0． 20．（2025春•龙泉驿区期中）如图，如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 21．（2025春•秀洲区校级期中）规定；形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． （1）方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为　 　 ，它们组成的“共轭一方程组”的解为　 　 ． （2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 22．（2025春•西湖区校级期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需490座． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数m 300≤m＜400 400≤m＜500 m≥500 收费标准（元/人） 40 30 15 赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： 问题1 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ 问题2 请你为七年级师生求出所有恰好能提供490座的租车方案． 问题3 八、九年级各有多少人参加春游？ 23．（2025春•杭州校级期中）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【问题解决】 （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积，并写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系； （2）根据（1）题中的等量关系，解决以下问题： ①若m+n＝7，m2+n2＝29，求mn的值； ②已知（2027﹣a）2+（a﹣2025）2＝8，求（2027﹣a）（a﹣2025）的值； ③如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，若AB＝8，两正方形的面积之和S1+S2＝34，求阴影部分的面积． 24．（2025春•西湖区校级月考）已知直线AB∥CD，点E，G为直线AB上不重合的两个点，EF∥GH，分别交直线CD于点F，H，EP平分∠AEF交CD于点P． （1）如图1，试说明：∠PHG＝∠FEG； （2）如图1，若∠EPF：∠PHG＝1：3，求∠EFD的大小． （3）如图2，点M为线段GH延长线上一点，连结EM，FM．若∠HFM＝∠HMF，试探索∠PEM与∠EMF的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期中模拟卷 范围：浙教版七下1~3章（相交线与平行线、二元一次方程组、整式的乘除） 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•西湖区校级月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 2．（2025春•慈溪市校级月考）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【解答】解：A、方程组符合二元一次方程组的定义，故A符合题意； B、原方程组为三元一次方程组，故B不符合题意； C、原方程组为二元二次方程组，故C不符合题意； D、原方程组为分式方程组，故不D符合题意； 故选：A． 3．（2025春•西湖区校级期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【解答】解：要在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，线段PN最短，理由是垂线段最短． 故选：C． 4．（2025春•慈溪市校级期中）若是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把x＝2，y＝1代入后得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：∵是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解， ∴代入得：2a﹣1＝3， 解得：a＝2， 故选：B． 5．（2025春•拱墅区校级期中）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+3n等于（　　） A．ab B．a+b C．a2b3 D．a2+b3 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的计算方法将原式化为4m×8n即可． 【解答】解：∵4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数， ∴22m+3n＝（22）m×（23）n＝4m×8n＝ab， 故选：A． 6．（2025春•温州校级期中）如图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，则下列选项中∠3的同旁内角为（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 【答案】B 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此可得答案． 【解答】解；如上图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，∠3的同旁内角为∠2， 故选：B． 7．（2025春•上城区校级期中）若关于x，y的多项式x•（x2﹣mx+3）+x2•（4mx2+3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．5 【答案】D 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则进行计算，然后再根据结果中不含x2项，得出x2项的系数为0，即可得出答案． 【解答】解：x•（x2﹣mx+3）+x2•（4mx2+3x+5） ＝x3﹣mx2+3x+4mx4+3x3+5x2 ＝4mx4+4x3+（5﹣m）x2+3x， ∵结果中不含x2项， ∴5﹣m＝0， ∴m＝5． 故选：D． 8．（2025春•宁波期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　） A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5 【答案】D 【分析】利用加减消元法判断即可． 【解答】解：小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时， 利用①×2+②×（﹣5）消去x，得：10x﹣4y﹣10x﹣15y＝8+9，即﹣19y＝17， 则a、b的值可能是a＝2，b＝﹣5， 故选：D． 9．（2025春•江北区校级月考）已知实数x，y满足（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2，则代数式x2+y2的值为（　　） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】把第1个多项式中的7写成4+3，第2个多项式中的1写成，然后每个多项式都写成一个完全平方公式与一个常数的和，再根据完全平方数的非负性，列出关于x和y的方程，解方程求出x，y，再代入所求式子进行计算即可． 【解答】解：（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2， ， ， ∵， ∴（x+2）2+3的最小值为3，最小值为， ∴， 解得：x＝﹣2，， ∴x2+y2 ， 故选：B． 10．（2025春•西湖区校级月考）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 【答案】B 【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α，可得x+y36°α，所以∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2025春•杭州月考）计算：12x6÷（﹣3x2）＝ 　﹣4x4 ． 【答案】﹣4x4． 【分析】利用单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣4x4， 故答案为：﹣4x4． 12．（2025春•浙江期中）如图，已知BE平分∠ABC，且∠CDB＝25°，当∠ABC＝ 　50°　 时，AB∥CD． 【答案】50°． 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：∵BE平分∠ABC， ∴， ∵∠CDB＝25°， ∴当∠ABD＝∠CDB时AB∥CD， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2∠CDB＝50°， 故答案为：50°． 13．（2025春•绍兴期中）若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　0　 ． 【答案】0． 【分析】利用完全平方公式即可求得答案． 【解答】解：∵n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1， ∴（2024﹣n）（n﹣2023） ＝0， 故答案为：0． 14．（2025春•丽水期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】由题意得出，据此知m+n＝﹣1，再代入计算即可． 【解答】解：由题意知，， 则4m+4n＝﹣4， ∴m+n＝﹣1， ∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1， 故答案为：﹣1． 15．（2025春•滨江区校级期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买　10　 盒． 【答案】10． 【分析】设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，由题意列出方程组，得x+y+a＝138，即丙礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，丙礼盒n个，由题意得：98m+138n＝1100，求出方程的非负整数解，即可解决问题． 【解答】解：设设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元， 由题意列二元一次方程组得： ， ①+②得：x+y+a＝138， 即丙礼盒每盒138元， 设乙礼盒m个，丙礼盒n个， 由题意得：98m+138n＝1100， ∵m、n为非负整数， 当且仅当m＝7，n＝3时，方程成立， ∴7+3＝10（盒），即李老师一共买礼盒10盒， 故答案为：10． 16．（2025春•西湖区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F，点C、D的落点分别是C′、D′，ED′交BC于G，再将四边形C′D′GF沿FG折叠，点C′、D′的落点分别是C″、D″，GD″交EF于H，下列四个结论：①∠GEF＝∠GFE；②2∠EFC＝∠EGC+180°；③∠EGD″＝2∠EFG；④∠EHG＝3∠EFB．其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据平行线的性质得到∠DEF＝∠GFE，根据折叠性质得到∠GEF＝∠DEF，即可得到∠GEF＝∠GFE，故①正确； 根据平行线的性质得到∠EGC+∠GED＝180°，根据折叠的性质得到∠GED＝2∠DEF＝2∠GEF，结合∠EFC＝∠EGC+∠GEF，即可求出2∠EFC＝∠EGC+180°，故②正确； 先证明∠D′GF＝2∠EFG，根据折叠性质得∠D′′GF＝∠D′GF，结合∠EGD′′+∠D′′GF+∠D′GF＝180°，得到当∠EGD′′＝∠D′′GF＝∠D′GF＝60°时，∠EGD′′＝2∠EFG，故③错误； 根据∠D′′GF＝∠GED＝∠GEF+∠FED＝2∠EFB，即可得到∠EHG＝∠EFB+∠D′′GF＝3∠EFB，故④正确，符合题意； 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE． 根据折叠的性质得，∠GEF＝∠DEF， ∴∠GEF＝∠GFE． 故①正确，符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠EGC+∠GED＝180°， 根据折叠的性质得，∠GED＝2∠DEF＝2∠GEF， ∵∠EFC＝∠EGC+∠GEF， ∴2∠EFC＝2∠EGC+2∠GEF＝∠EGC+∠GED+∠EGC＝∠EGC+180°， 故②正确，符合题意； ∵∠GEF＝∠GFE，∠D′GF＝∠GEF+∠GFE， ∴∠D′GF＝2∠EFG， 根据折叠的性质得，∠D′′GF＝∠D′GF， ∵∠EGD′′+∠D′′GF+∠D′GF＝180°， ∴当∠EGD′′＝∠D′′GF＝∠D′GF＝60°时，∠EGD′′＝2∠EFG， 故③错误，不符合题意； ∵∠D′′GF＝∠D′GF＝∠EGB＝∠GED＝∠GEF+∠FED＝2∠EFB， ∴∠EHG＝∠EFB+∠D′′GF＝∠EFB+2∠EFB＝3∠EFB． 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 三．解答题（共8小题） 171．（2025春•浙江期中）计算： （1）（14a2+7a）÷（7a）； （2）（﹣1）2025+（π﹣3.14）0+2﹣2． 【答案】（1）2a+1； （2）． 【分析】（1）利用多项式除以单项式运算法则计算即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【解答】解：（1）（14a2+7a）÷（7a） ＝14a2÷7a+7a÷7a ＝2a+1． （2）原式． 18．（2025春•上城区校级期中）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用代入法解答即可； （2）利用加减法解答即可． 【解答】解：（1）， 把②代入①，得x+2×2x＝10， x+4x＝10， ∴x＝2， 把x＝2代入②，得y＝2×2＝4， ∴方程组的解为； （2）， ①﹣②×2，得3x﹣2y﹣2x+2y＝9﹣14， x＝﹣5， 把x＝﹣5代入②，得﹣5﹣y＝7， ∴y＝﹣12， ∴方程组的解为． 19．（2025春•西湖区校级期中）先化简，再求值： （1）（x﹣1）2+x（3﹣x），其中； （2）4a（3a+2）﹣（1+2a）（1﹣2a），其中2a2+a﹣2＝0． 【答案】（1）x+1，； （2）16a2+8a﹣1，15． 【分析】（1）先利用完全平方公式，单项式与多项式的乘法，整式的加减化简，再代入求值； （2）先利用单项式与多项式的乘法，平方差公式，整式的加减化简，再整体代入求值． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣2x+1+3x﹣x2 ＝x+1， 将代入，得原式； （2）原式＝12a2+8a﹣（1﹣4a2） ＝12a2+8a﹣1+4a2 ＝16a2+8a﹣1， ∵2a2+a﹣2＝0， ∴2a2+a＝2， ∴8（2a2+a）＝16a2+8a＝16， ∴原式＝16a2+8a﹣1＝16﹣1＝15． 20．（2025春•龙泉驿区期中）如图，如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）148°． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCF＝∠1，结合已知证得∠DCF+∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得EF∥DC； （2）先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠ACD的度数，最后根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【解答】（1）证明：∵DH∥AC， ∴∠DCF＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DCF+∠2＝180°， ∴EF∥DC； （2）解：∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB， ∵∠BHD＝64°， ∴∠ACB＝64°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝32°， ∵EF∥DC， ∴∠ACD+∠2＝180°， ∴∠2＝148°． 21．（2025春•秀洲区校级期中）规定；形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． （1）方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为x+3y＝5　 ，它们组成的“共轭一方程组”的解为　　 ． （2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】（1）x+3y＝5；；（2）﹣3，﹣6． 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 【解答】解：（1）∵形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”， ∴方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为x+3y＝5， 由题意，得， 解得：， 故答案为：x+3y＝5；； （2）由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为﹣3，﹣6． 22．（2025春•西湖区校级期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需490座． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数m 300≤m＜400 400≤m＜500 m≥500 收费标准（元/人） 40 30 15 赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： 问题1 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ 问题2 请你为七年级师生求出所有恰好能提供490座的租车方案． 问题3 八、九年级各有多少人参加春游？ 【答案】问题1：大巴车每辆每天的租金为800元，中巴车每辆每天的租金为600元； 问题2：租用大巴车8辆，租中巴车3辆，或租用大巴车5辆，租中巴车8辆，或租用大巴车2辆，租中巴车13辆； 问题3：八年级有500人参加春游，九年级有420人参加春游． 【分析】问题1：设大巴车每辆每天的租金为x元，中巴车每辆每天的租金为y元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，列方程组求解即可； 问题2：设七年级师生租用大巴车a辆，租中巴车b辆，a、b为非负整数，由恰好能提供490座，即大巴车和中巴车都坐满，得50a+30b＝490，求解即可； 问题3：现根据题意得出497≤八年级人数≤510，416≤九年级人数≤440，设八年级有m人参加春游，九年级有n人参加春游，情况一：当八年级人数小于500时，即497≤八年级人数＜500，此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于500时，即500≤八年级人数≤510，此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：问题1：设大巴车每辆每天的租金为x，中巴车每辆每天的租金为y， 根据题意，得：， 解得：， 即大巴车每辆每天的租金为800元，中巴车每辆每天的租金为600元， 答：大巴车每辆每天的租金为800元，中巴车每辆每天的租金为600元； 问题2：设七年级师生租用大巴车a辆，租中巴车b辆，a、b为非负整数， 由恰好能提供490座，即大巴车和中巴车都坐满， 得二元一次方程：50a+30b＝490， 解得：或或， 经检验都满足题意； 则租用大巴车8辆，租中巴车3辆，或租用大巴车5辆，租中巴车8辆，或租用大巴车2辆，租中巴车13辆； 问题3：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为6×49+7×29≤八年级人数≤6×50+7×30， 即497≤八年级人数≤510， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为4×48+8×28≤九年级人数≤4×50+8×30， 即416≤九年级人数≤440， 设八年级有m人参加春游，九年级有n人参加春游， 情况一：当八年级人数小于500时，即497≤八年级人数＜500， 此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500， 由题意列二元一次方程组得：， 方程化简得：， 方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于500时，即500≤八年级人数≤510， 此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500， 由题意列二元一次方程组得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上所述，八年级有500人参加春游，九年级有420人参加春游． 23．（2025春•杭州校级期中）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【问题解决】 （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积，并写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系； （2）根据（1）题中的等量关系，解决以下问题： ①若m+n＝7，m2+n2＝29，求mn的值； ②已知（2027﹣a）2+（a﹣2025）2＝8，求（2027﹣a）（a﹣2025）的值； ③如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，若AB＝8，两正方形的面积之和S1+S2＝34，求阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）①10；②﹣2；③． 【分析】（1）用面积公式和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）①利用完全平方公式进行计算即可；②将（2027﹣a），（a﹣2025）2作为整体，利用完全平方公式进行计算即可；③设AC＝a，BC＝b，得到a+b＝8，a2+b2＝34，利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）大正方形的面积＝（a+b）2， 大正方形的面积＝a2+b2+2ab； ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）①∵m+n＝7，m2+n2＝29， 2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2） ＝72﹣29 ＝20， ∴mn＝10； ②∵[（2027﹣a）+（a﹣2025）]＝2027﹣a+a﹣2025＝2，（2027﹣a）2+（a﹣2025）2＝8， ∴[（2027﹣a）+（a﹣2025）]2＝（2027﹣a）2+（a﹣2025）2+2（2027﹣a）（a﹣2025）＝22＝4， 即8+2（2027﹣a）（a﹣2025）＝4， ∴（2027﹣a）（a﹣2025）＝﹣2； ③设AC＝a，BC＝b， ∵AB＝8，S1+S2＝34， ∴a+b＝8，a2+b2＝34， ∴2ab ＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝（a+b）2﹣a2﹣b2 ＝82﹣34 ＝30， ∴ab＝15， ∴． 24．（2025春•西湖区校级月考）已知直线AB∥CD，点E，G为直线AB上不重合的两个点，EF∥GH，分别交直线CD于点F，H，EP平分∠AEF交CD于点P． （1）如图1，试说明：∠PHG＝∠FEG； （2）如图1，若∠EPF：∠PHG＝1：3，求∠EFD的大小． （3）如图2，点M为线段GH延长线上一点，连结EM，FM．若∠HFM＝∠HMF，试探索∠PEM与∠EMF的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换很容易得解； （2）由∠EPF：∠PHG＝1：3，设参数，再根据平行线的性质得到∠EPF（180°﹣∠FEG），从而建立方程求解即可； （3）设∠EMF＝α，∠EMG＝β，则∠HFM＝∠HMF＝α+β，再利用平行线的性质和角平分线得到∠PEM＝∠PEF+FEM＝90°﹣α﹣β+β＝90°﹣α，进而即可得解． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠FEG＝∠EFP， ∵EF∥GH， ∴∠EFP＝∠PHG， ∴∠PHG＝∠FEG； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠EPF＝∠PEA， ∵EP平分∠AEF， ∴∠AEP∠AEF， ∴∠EPF∠AEF， ∵∠AEF+∠FEG＝180°， ∴∠EPF（180°﹣∠FEG）， 由（1）知∠PHG＝∠FEG； ∴∠EPF（180°﹣∠PHG）， ∵∠EPF：∠PHG＝1：3， 可设∠EPF＝x，则∠PHG＝3x， 则x（180°﹣3x）， 解得x＝36°， ∴∠PHG＝108°， ∵EF∥GH， ∴∠EFD+∠PHG＝180°， ∴∠EFD＝72°； （3）解：∠PEM+∠EMF＝90°；理由如下： 设∠EMF＝α，∠EMG＝β，则∠HFM＝∠HMF＝α+β， ∵EF∥GH， ∴∠EFM+∠HMF＝180°，∠FEM＝β， ∴∠EFM＝180°﹣（α+β）， ∴∠EFH＝∠EFM﹣∠HFM＝180°﹣2（α+β）， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFH＝180°﹣2（α+β）， ∵EP平分∠AEF， ∴∠PEF∠AEF＝90°﹣α﹣β， ∴∠PEM＝∠PEF+FEM＝90°﹣α﹣β+β＝90°﹣α， ∵∠EMF＝α， ∴∠PEM＝90°﹣∠EMF， ∴∠PEM+∠EMF＝90°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $