精品解析：安徽省宿州市泗县安徽省泗县第三中学2025-2026学年九年级下学期4月阶段检测

数学作业（一） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 近年我国海水淡化技术稳步增强，预计到2025年，我国在这项技术上，将达到每日290万吨的技术水平，将290万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 计算（-2x2）3的结果是（ ） A. -6x5 B. -8x6 C. -6x6 D. -8x5 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是某景区2026年春节8天的游客人数统计表（单位：万人）： 日期 除夕 初一 初二 初三 初四 初五 初六 初七 人数 46 47 47 42 57 50 69 47 下列说法一定正确的是（ ） A. 这8天游客人数的方差比较大 B. 这8天游客人数的中位数是49.5 C. 这8天游客人数的众数是47 D. 这8天游客人数的平均数是50 7. 春节过后，企业开始恢复生产，某企业月份总产值比月份翻了一番，月份因企业转型和出口受影响等方面的原因，总产值比月份减少了，该企业月份比月份总产值增加了（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点．当为整数时，（ ） A. 0 B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，，在边上选一点，使得与相似，则满足条件的点的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 已知直线与反比例函数的图象交于两点，点分别在轴和轴上．若，则的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 8 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 12. 化简：___________． 13. 如图，内接于，于点，，，，则劣弧的长为___________．（结果用表示） 14. 在矩形中，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在点处． （1）如图1，若点在边上，且为等腰直角三角形，则___________． （2）如图2，若，交于点，交于点，，则的长为___________． 三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上（网格线的交点），点，点，点． （1）以点为旋转中心将顺时针旋转后得到，并写出点的坐标； （2）以原点为对称中心，作出的中心对称图形； （3）借助网格，请用无刻度直尺在上取一点，使． 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某施工队承包修建的高速公路项目，开工后比原计划的进度提高了，结果提前1个月完成了任务，求实际每月修建高速公路的千米数． 18. 数学活动课上，同学们探究“连续三个正奇数和与积的关系”时，发现了如下结论： ①；②；③；④； 根据以上规律完成下面问题： （1）第⑤个式子为_________； （2）猜想第个等式，并说明其正确性； （3）若三个连续正奇数之积是这三个数和的55倍，则这三个正奇数分别是多少？ 五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某项高铁工程需要打通一段隧道，如图，工程队利用无人机勘探隧道的长度，无人机飞行高度为，在处测得隧道一边端点的俯角为，然后沿着平行于的方向飞行了，在处测得隧道另一边端点的俯角为（已知五点在同一平面上），求隧道两端之间的距离．（结果精确到，参考数据：，） 20. 已知是的直径，点为延长线上一点，为的切线，点为切点，过点作交延长线于点，交于点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图1，连接，若三点共线，求证：； （2）如图2，若，求的长． 六．（本题满分12分） 21. 为了庆祝元旦，实验学校计划开展“迎新年，展素养”元旦联欢活动，为了解同学们对文娱节目的喜欢程度，随机抽取本校部分同学对最喜爱的文娱节目进行了调查，每人限选一项，并将收集的数据制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次一共抽取了_______名学生进行调查，其中“小品”所占圆心角的度数是_______，请把条形统计图补全； （2）若实验学校共有2000名学生，请估算最喜爱的文娱节目是“相声”的人数； （3）在喜欢歌曲的5位同学中，张丹和张彤是双胞胎姐妹，如果从这5个人中随机选择两人作为节目推广员，求恰好选中双胞胎姐妹的概率． 七．（本题满分12分） 22. 如图，在中，是的两条高，交于点，点为延长线上一点，，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）求证：． 八．（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线上，点在抛物线上， ①若轴，且，求点的坐标； ②若，设，若的长度随值的增大而增大，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学作业（一） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用实数大小比较的基本规则：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此即可求解． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数， ∴最小的数一定在和中， ∵，，且， ∴， ∴最小的数是． 2. 近年我国海水淡化技术稳步增强，预计到2025年，我国在这项技术上，将达到每日290万吨的技术水平，将290万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：290万， 故选：D． 3. 计算（-2x2）3的结果是（ ） A. -6x5 B. -8x6 C. -6x6 D. -8x5 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方和幂的乘方的法则计算即可 【详解】解：（-2x2）3=-8 x6 故选：B 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，左视图为： 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对选项A：， ∴ A错误； 对选项B：， ∴ B错误； 对选项C：， ∴ C错误； 对选项D：，符合完全平方公式，因式分解正确， ∴ D正确． 6. 下面是某景区2026年春节8天的游客人数统计表（单位：万人）： 日期 除夕 初一 初二 初三 初四 初五 初六 初七 人数 46 47 47 42 57 50 69 47 下列说法一定正确的是（ ） A. 这8天游客人数的方差比较大 B. 这8天游客人数的中位数是49.5 C. 这8天游客人数的众数是47 D. 这8天游客人数的平均数是50 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据各统计量的定义计算判断即可． 【详解】解：将8天的游客人数从小到大排列为： A选项 方差描述数据波动，没有明确比较标准，无法确定方差一定较大，A错误； B选项 8个数据的中位数为排序后第4个与第5个数据的平均数，第4个和第5个数据均为，B错误； C选项数据中出现次数最多（共3次），众数为，C正确； D选项 总人数和为，D错误． 7. 春节过后，企业开始恢复生产，某企业月份总产值比月份翻了一番，月份因企业转型和出口受影响等方面的原因，总产值比月份减少了，该企业月份比月份总产值增加了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设月份总产值为，依次计算出月份和月份的总产值，再计算月份相对月份的增长率即可得到结果． 【详解】解：设该企业月份总产值为，则月份总产值为， 月份总产值为， 月份比月份总产值增加的百分比为，选项符合题意． 8. 已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点．当为整数时，（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：依题意知，，， 故，且， ， 于是， ∴， 又为整数， ∴， 故，， 故选B 9. 如图，在四边形中，，，，，在边上选一点，使得与相似，则满足条件的点的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论①当时；②当时，即可解答． 【详解】设，则， ∵与相似， ∴①当时， ∴， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②当时， ∴， ∴， 解得， 经检验，，是分式方程的解且符合题意， 综上，满足条件的点的个数有个． 故选C． 10. 已知直线与反比例函数的图象交于两点，点分别在轴和轴上．若，则的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，再分别过点C,D作证明，又因为，得，，，运算得，运用三角形的面积公式列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：分别过点C,D作如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 设 ∴ ∵直线与反比例函数的图象交于两点， ∴，， ∴， 即 ∵， ∴， 即， 解得． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题求解函数自变量的取值范围，需结合二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解，取公共范围即可． 【详解】解：根据题意，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不能为零，可得不等式组， 解不等式，得， 结合，可得自变量的取值范围是且． 12. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 13. 如图，内接于，于点，，，，则劣弧的长为___________．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理算出，，再得出，运用圆周角定理得，同理得出，最后把数值代入弧长公式计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵于点，，， ∴， ∵于点，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴（负值已舍去）， ∴劣弧的长． 14. 在矩形中，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在点处． （1）如图1，若点在边上，且为等腰直角三角形，则___________． （2）如图2，若，交于点，交于点，，则的长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）在矩形中，，由等腰直角三角形的性质，可得，由折叠的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得； （2）延长交的延长线于点，证明，可得，设，根据勾股定理可得，证明，可得，，可得，由，可得的长． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴； （2）解：延长交的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得， 经检验，是原方程的根． ∴， ∴，即， ． 三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、化简绝对值，再进行加减混合运算即可． 【详解】解： 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上（网格线的交点），点，点，点． （1）以点为旋转中心将顺时针旋转后得到，并写出点的坐标； （2）以原点为对称中心，作出的中心对称图形； （3）借助网格，请用无刻度直尺在上取一点，使． 【答案】（1） 解：如图，即为所作： 点的坐标为； （2） 解：如图，即为所作： （3） 点即为所求： 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别找到、、的对应点并相连即可； （2）根据对称性质找到、、的对应点并相连即可； （3）取点和相连，并与交于点，此时点、点和点组合成的三角形与点、点和点组合成的三角形相似，且相似比满足． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某施工队承包修建的高速公路项目，开工后比原计划的进度提高了，结果提前1个月完成了任务，求实际每月修建高速公路的千米数． 【答案】 【解析】 【分析】设原计划每月修建高速公路，根据题意列出分式方程求解检验即可． 【详解】解：设原计划每月修建高速公路， 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解． ． 答：实际每月修建高速公路． 18. 数学活动课上，同学们探究“连续三个正奇数和与积的关系”时，发现了如下结论： ①；②；③；④； 根据以上规律完成下面问题： （1）第⑤个式子为_________； （2）猜想第个等式，并说明其正确性； （3）若三个连续正奇数之积是这三个数和的55倍，则这三个正奇数分别是多少？ 【答案】（1） （2） 第n个式子为， 证明，左边 ，右边， 左边右边， 原等式成立； （3）11、13、15 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，确定分子、分母即可求解； （2）根据（1）中的式子找出规律即可； （3）由题意得，解分式方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，第⑤个式子为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，得， 整理得，， 因式分解得，， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符题意，舍去， ∴， ∴这三个正奇数为11、13、15． 五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某项高铁工程需要打通一段隧道，如图，工程队利用无人机勘探隧道的长度，无人机飞行高度为，在处测得隧道一边端点的俯角为，然后沿着平行于的方向飞行了，在处测得隧道另一边端点的俯角为（已知五点在同一平面上），求隧道两端之间的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】隧道两端之间的距离约为． 【解析】 【分析】分别过两点作于点于点，四边形为矩形，可得，解，可得，解，可得，即可得之间的距离． 【详解】解：分别过两点作于点于点，则， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴隧道两端之间的距离约为． 20. 已知是的直径，点为延长线上一点，为的切线，点为切点，过点作交延长线于点，交于点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图1，连接，若三点共线，求证：； （2）如图2，若，求的长． 【答案】（1） 证明：如答图1，连接． 为的切线， ． ， ， ．， ， ． 三点共线， ． ， ． ，即． ． ， ． ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得，结合题意证得，，，，即可解答； （2）连接，过点O作于点，得四边形为矩形，设，则．在和中，由勾股定理列方程，解得，再由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如答图2，连接，过点O作于点． 由（1）得，， 四边形为矩形． ， ． ． 设，则． 在和中，由勾股定理，得， ，解得． ． ， ． 六．（本题满分12分） 21. 为了庆祝元旦，实验学校计划开展“迎新年，展素养”元旦联欢活动，为了解同学们对文娱节目的喜欢程度，随机抽取本校部分同学对最喜爱的文娱节目进行了调查，每人限选一项，并将收集的数据制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次一共抽取了_______名学生进行调查，其中“小品”所占圆心角的度数是_______，请把条形统计图补全； （2）若实验学校共有2000名学生，请估算最喜爱的文娱节目是“相声”的人数； （3）在喜欢歌曲的5位同学中，张丹和张彤是双胞胎姐妹，如果从这5个人中随机选择两人作为节目推广员，求恰好选中双胞胎姐妹的概率． 【答案】（1）20，54， 补全条形统计图如图所示． （2）400名 （3） 【解析】 【分析】（1）用其他的人数除以百分比即可求出总数，求出喜爱“小品”的人数，再用乘以“小品”的比例即可求出“小品”所占圆心角的度数，根据喜爱“小品”的人数补全统计图即可； （2）用总数乘以最喜爱的文娱节目是“相声”的比例即可； （3）5位同学依次用1、2、3、4、5表示，双胞胎姐妹用2、4表示，画树状图，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：（名）． 本次一共抽取了20名学生进行调查． 其中喜爱“小品”的人数为（人） “小品”所占圆心角的度数是． 【小问2详解】 解：（名）． 答：实验学校最喜爱的文娱节目是“相声”的人数约为400名． 【小问3详解】 解：5位同学依次用1、2、3、4、5表示，双胞胎姐妹用2、4表示，画树状图如图所示： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中符合条件的共有2种， 故恰好选中双胞胎姐妹的概率是． 七．（本题满分12分） 22. 如图，在中，是的两条高，交于点，点为延长线上一点，，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）求证：． 【答案】（1） 证明：是的高，， ． 是的高， ． ． ， ． 在和中． ． （2） （3） 证明：如图，连接，过点作，交于点． ， ． ． ， ． ． ， ． ． ， ． ． ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质． （1）由可得； （2）设，则．由勾股定理可得，，先证，则，可得，由勾股定理可得，可求的值； （3），连接，过点作，交于点．先证，则，可得，所以．由，，可证．则，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，设，则． ，． 由（1）知． ． ， ． ，即． ． 在中，． ． 【小问3详解】 略 八．（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线上，点在抛物线上， ①若轴，且，求点的坐标； ②若，设，若的长度随值的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为，抛物线的表达式为 （2）①点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，函数平移的性质，进行解答，即可． （1）根据待定系数法求出函数解析式，再根据函数平移的规律，即可； （2）①根据轴，，得到点，的坐标，根据，则，求出，即可；②根据，得到点，的坐标，推出，根据二次函数的图象和性质，即可． 【小问1详解】 解：把点代入， ， 解得， ∴抛物线的表达式为，即； ∵抛物线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的表达式为，即． 【小问2详解】 ①当轴时， ∴，的横坐标相等 ∴ ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵， ∴，化简，得， ∴． 当时，点的坐标为，点的坐标为； 当时，点的坐标为，点的坐标为． ②当时，点的坐标为，点的坐标为． ∴ ∵，开口向下，对称轴为：， ∴当时，的值随值的增大而增大，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $