精品解析：安徽省宿州市泗县 2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若规定数轴上向右为正，则下列各数在原点左侧的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据若规定数轴上向右为正，则数轴上向左为负求解即可. 【详解】解：若规定数轴上向右为正，则数轴上向左为负， 则符合题意， 故选：A 2. 据安徽省政府工作报告提出，2025年城镇将新增就业68万人左右．将数据“68万”用科学记数法表示为，其中n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数． 先将68万化成680000，再写成的形式，其中，n为正整数，解答即可． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 3. 如图，平面镜与水平面的夹角，一束光线照射到平面镜后反射，人射光线与平面镜的夹角，则反射光线与水平面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据题意求得，再根据三角形内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：C． 4. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体的上面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： ． 故选：D． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据整式乘法的定义和运用法则，积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 6. 已知实数a，b满足，，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，再代入，求出的取值范为即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴A、C、D错误，不符合题意，B正确，符合题意 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，，交于点F，连接并延长交于点G．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，先证明得到，再根据平行四边形的性质得到，进而证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，又， ∴， 故选：C． 8. 一个不透明的盒子里装有20个白球、5个红球，这些球除颜色外其他都相同．每次从盒内抽出一球，如果抽出白球，则将白球放回箱内，如果抽出红球，则不将红球放回箱内．已知小慧在规定时间内共抽出红球3次，记第一次抽到红球的概率为，第二次抽到红球的概率为，第三次抽到红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，让红球的个数除以球的总数即为所求的概率． 【详解】解：由题意：第一次抽到红球的概率为， 第二次抽到红球的概率为， 第三次抽到红球的概率为， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，以为直径的半圆与交于点E，与交于点F，且，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式，连接、、、，证明，求出，由勾股定理得出，从而可得，求出，得出为等边三角形，从而可得，再由弧长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为， 故选：A． 10. 如图，在等腰三角形中，，，，E为的中点，D为上一动点，将绕点D顺时针旋转后得到对应线段，连接，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，由旋转的性质可得，，求出，连接，由等腰三角形的性质可得，，求出，，得出点F的轨迹在的边上，当时，最小，此时F在上， 再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴， 如图，连接， ， ∵在等腰三角形中，，，，E为的中点， ∴，， ∴，， ∴， 故点F的轨迹在的边上， 当时，最小， ∵， ∴此时F在上，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根，再计算减法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程的解与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知为圆O的直径，和圆O相切于点B，，，交圆O于点D，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定， 作，根据切线的性质得，根据勾股定理求出，接下来说明，可求，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解析：如图，过点D作于点E． ∵是的切线， ∴. ∵，，根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象与一次函数交x轴于点，交y轴于点． （1）______； （2）点C在一次函数图象上，将点C向下平移4个单位长度后得到点D，若线段与抛物线有交点，则点C的横坐标m的取值范围是______． 【答案】 ①. 6 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，点的平移问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）可得点C的坐标为，点D的坐标为，则轴，设与抛物线交于点E，则点E的坐标为．令，解得，，找到临界位置，即可求解线段与抛物线有交点时标m的取值范围． 【详解】解析：（1）将代入得：， ∴， 将代入得： ∴， ∴， 故答案为：6； （2）∵点C在一次函数图象上， ∴点C的坐标为， ∵将点C向下平移4个单位长度后得到点D， ∴点D的坐标为， ∴轴， 设与抛物线交于点E，则点E的坐标为． 令，解得，， 如图： ∵线段与抛物线有交点， ∴m的取值范围是：或． 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，按照解分式方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后验根即可得到答案，熟记分式方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， ， 即， 解得， 检验：将代入， ∴是原分式方程的根． 16. 有A，B两种食品，营养成分（部分）如下表： 营养成分 热量 蛋白质 A食品 600千焦/包 15克/包 B食品 900千焦/包 9克/包 现有A，B两种食品共18包，所含热量共计14100千焦，则两种食品所含蛋白质共有多少克？ 【答案】两种食品所含蛋白质共有204克 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设A种食品有x包，则B种食品有包．根据A，B两种食品共18包，所含热量共计14100千焦为等量关系列出关于x的一元一次方程，解出x，进而可求出两种食品所含蛋白质的量． 【详解】解：设A种食品有x包，则B种食品有包． 由题意可得， 解得， 即A食品有7包，B食品有11包， 故所含蛋白质共有：（克）． 答：两种食品所含蛋白质共有204克． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 图1是一盏台灯，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．支架的夹角可调节，且，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离h的取值范围．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点A作于点E，过点B作于点G，过点延长到，使得点在上，则四边形为矩形．当时，解直角三角形求出，，由求出此时的长，当时，同理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点G，延长到，使得点在上，则四边形为矩形． 当时，如图1． ∵， ∴， 在中，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 当时，如图2． ∵， ∴，． 在中，，， ∴， ∴． 故台灯的旋钮A到桌面的距离h的取值范围是． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点B，C均在格点上．点A是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）画出关于对称的； （2）作出边上的中点O，作，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】该题考查了轴对称作图，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是正确作图． （1）根据轴对称作图方法作图即可； （2）如图，连接与交于点，则点即为所求．连接与交于点，连接与交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接与交于点，则点即为所求． 连接与交于点，连接与交于点，则点即为所求． 理由：∵， ∴是直径， ∴点为圆心，即为中点； 根据轴对称可得， ∵， ∴， ∴是中位线， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交反比例函数的图象于A、B两点，交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接、，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）过点B作轴于点E，根据反比例函数性质可知，，再结合已知条件得出，求出点的坐标，从而得到，故点B的纵坐标为，再求出点的坐标，即可得解； （2）根据反比例函数和一次函数的交点坐标求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点E， 由反比例函数性质可知，， ∴， ∴． 在中，令，得， ∴， ∴， ∴． 故点B的纵坐标为． 将代入，得， ∴点B的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：令，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 故． 20. 【问题提出】 给出以下2025个平方数：，，，，，规定可以在其中的每个数前任意添加“”号或“”号，所得的代数和记为P，求满足条件的P的最小非负数值． 【探究发现】 （1）设相邻四个正整数依次为，，，，计算： ① ； ② ． （2）数学兴趣小组发现，根据上述结果，任意连续8个正整数的平方和可以通过适当添加“”号或“”号和为0，写出一种方案，使得，，，，的和为0： ； 【问题解决】 （3）请你根据上述方案，探究符合条件的最小P值 【答案】（1）①4；②；（2）；（3）最小P值为1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据完全平方公式计算即可得解；②根据完全平方公式计算即可得解； （2）根据（1）中的规律归纳总结即可得解； （3）由（2）可得：任意连续8个正整数的平方和可以通过添加“”号或“”号和为，结合，得出要使P为最小非负数值，则使，，，和为，则从第一项起，每连续项一次添上符号，，，，，，，即可，且前面的符号必须是，才能使P为最小非负数，由此即可得解． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）由（1）中的规律可得：； （3）由（2）可得：任意连续8个正整数的平方和可以通过添加“”号或“”号和为， ∵， ∴要使P为最小非负数值，则使，，，和为，则从第一项起，每连续项一次添上符号，，，，，，，即可，且前面的符号必须是，才能使P为最小非负数， ∴此时P的值为1， ∴符合条件的最小P的值为1． 六、（本题满分12分） 21. 据国家统计局发布的数据显示，2024年全国31个省（直辖市）居民人均可支配收入频数统计表部分信息如下（单位：万元）： 收入 频数 3 13 3 3 3 其中31个省（直辖市）居民人均可支配收入最低为甘肃省26612元，最高为上海市88366元，其中的省份如下： 省份 人均可支配收入 四川 34325 河北 34665 海南 34829 江西 36007 安徽 36782 湖南 36947 回答下列问题： （1）表中a的值为 ； （2）我国2024年31个省（直辖市）居民人均可支配收入的中位数为 ； （3）结合图表信息，推断下列说法合理的是 ；（填序号） ①2024年31个省（直辖市）居民人均可支配收入的平均数一定高于万元 ②2020～2024五年内安徽省居民人均可支配收入增长率最高的是2021年 ③以2024年增长率估测，2025年安徽省居民人均可支配收入为38671元 （4）就2024年我国31个省（直辖市）居民人均可支配收入给出一条合理的建议． 【答案】（1）6 （2）34829元 （3）①② （4）从2024年我国31个省（直辖市）居民人均可支配收入来看，最高的是最低的3倍多，发展欠缺均衡，需进一步加快均衡发展 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，中位数，平均数，折线统计图，正确读懂统计图与统计图是解题的关键． （1）用31减去其他组的频数即可得到答案； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据折线统计图中的数据计算求解即可； （4）从均衡发展的角度出发，言之合理即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：把这31个省份的居民人均可支配收入按照从低到高排列，中位数为第16名的收入， ∵， ∴中位数为34829元； 【小问3详解】 解：， ∴2024年31个省（直辖市）居民人均可支配收入的平均数一定高于万元，故①正确； 安徽省2021年的增长率为， 安徽省2022年的增长率为 安徽省2023年的增长率为 安徽省2024年的增长率为， ∴2020～2024五年内安徽省居民人均可支配收入增长率最高的是2021年，故②正确； 元，故③错误； 故答案为：①② 【小问4详解】 解；从2024年我国31个省（直辖市）居民人均可支配收入来看，最高的是最低的3倍多，发展欠缺均衡，需进一步加快均衡发展． 七、（本题满分12分） 22. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P． （1）若点P到x轴的距离为6，求b的值； （2）作直线轴，交y轴于点，P到的距离为h，求h的最小值； （3）记的面积为S，当时，求b的取值范围， 【答案】（1） （2）h最小值为4 （3）或 【解析】 【分析】本题待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质、抛物线与轴的交点，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题关键. （1）先求出顶点坐标，再根据若点P到x轴的距离为6，即可求解； （2）根据顶点坐标求出P到的距离为，由此求出最小值即可； （3）设点A的坐标为，点B的坐标为，利用根与系数关系求出，代入已知条件解不等式组即可. 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为， 由题意可得，，解得． 【小问2详解】 由题意可得，． ∵， ∴， 故当时，h有最小值4． 【小问3详解】 设点A的坐标为，点B的坐标为， 由题意可得，，， ∴， ∴， 解得， ∴或． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在等边三角形中，D，E分别是上的点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，将沿翻折得到对应的，过点F作，交于点H，交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，． 又∵， ∴． （2） 证明：由翻折可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，再根据即可证明； （2）由翻折可知，，，证明，得到四边形为平行四边形，即可证明； （3）先证明，得到，根据三角函数得到，设，根据即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴． 又∵， ∴， ∴． 过B作交于I， ∵，， ∴， ∴． 由（2）可知，， 设，则，， 此时． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数，折叠的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若规定数轴上向右为正，则下列各数在原点左侧的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 据安徽省政府工作报告提出，2025年城镇将新增就业68万人左右．将数据“68万”用科学记数法表示为，其中n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 如图，平面镜与水平面的夹角，一束光线照射到平面镜后反射，人射光线与平面镜的夹角，则反射光线与水平面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数a，b满足，，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，，交于点F，连接并延长交于点G．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 一个不透明的盒子里装有20个白球、5个红球，这些球除颜色外其他都相同．每次从盒内抽出一球，如果抽出白球，则将白球放回箱内，如果抽出红球，则不将红球放回箱内．已知小慧在规定时间内共抽出红球3次，记第一次抽到红球的概率为，第二次抽到红球的概率为，第三次抽到红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法判断 9. 如图，在中，以为直径的半圆与交于点E，与交于点F，且，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰三角形中，，，，E为的中点，D为上一动点，将绕点D顺时针旋转后得到对应线段，连接，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 13. 如图，已知为圆O的直径，和圆O相切于点B，，，交圆O于点D，则______． 14. 已知二次函数的图象与一次函数交x轴于点，交y轴于点． （1）______； （2）点C在一次函数图象上，将点C向下平移4个单位长度后得到点D，若线段与抛物线有交点，则点C的横坐标m的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 有A，B两种食品，营养成分（部分）如下表： 营养成分 热量 蛋白质 A食品 600千焦/包 15克/包 B食品 900千焦/包 9克/包 现有A，B两种食品共18包，所含热量共计14100千焦，则两种食品所含蛋白质共有多少克？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 图1是一盏台灯，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．支架的夹角可调节，且，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离h的取值范围．（精确到，参考数据：，，） 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点B，C均在格点上．点A是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）画出关于对称的； （2）作出边上的中点O，作，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交反比例函数的图象于A、B两点，交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接、，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 20. 【问题提出】 给出以下2025个平方数：，，，，，规定可以在其中的每个数前任意添加“”号或“”号，所得的代数和记为P，求满足条件的P的最小非负数值． 【探究发现】 （1）设相邻四个正整数依次为，，，，计算： ① ； ② ． （2）数学兴趣小组发现，根据上述结果，任意连续8个正整数的平方和可以通过适当添加“”号或“”号和为0，写出一种方案，使得，，，，的和为0： ； 【问题解决】 （3）请你根据上述方案，探究符合条件的最小P值 六、（本题满分12分） 21. 据国家统计局发布的数据显示，2024年全国31个省（直辖市）居民人均可支配收入频数统计表部分信息如下（单位：万元）： 收入 频数 3 13 3 3 3 其中31个省（直辖市）居民人均可支配收入最低为甘肃省26612元，最高为上海市88366元，其中的省份如下： 省份 人均可支配收入 四川 34325 河北 34665 海南 34829 江西 36007 安徽 36782 湖南 36947 回答下列问题： （1）表中a的值为 ； （2）我国2024年31个省（直辖市）居民人均可支配收入的中位数为 ； （3）结合图表信息，推断下列说法合理的是 ；（填序号） ①2024年31个省（直辖市）居民人均可支配收入的平均数一定高于万元 ②2020～2024五年内安徽省居民人均可支配收入增长率最高的是2021年 ③以2024年增长率估测，2025年安徽省居民人均可支配收入为38671元 （4）就2024年我国31个省（直辖市）居民人均可支配收入给出一条合理的建议． 七、（本题满分12分） 22. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P． （1）若点P到x轴的距离为6，求b的值； （2）作直线轴，交y轴于点，P到的距离为h，求h的最小值； （3）记的面积为S，当时，求b的取值范围， 八、（本题满分14分） 23. 如图，在等边三角形中，D，E分别是上的点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，将沿翻折得到对应的，过点F作，交于点H，交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $