精品解析：河南信阳市平桥区2025-2026学年下学期八年级数学第一次质量调研试卷

八年级数学第一次质量调研试卷 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 如果是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 5. 下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 7. 若，则的值等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 8. 已知的三边长分别是、、，满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 10. 如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 二、填空题．（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 比较下列两个数的大小：___________．（用“>”或“<”号填空） 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________. 13. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 14. 第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 15. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕， ，折叠后，点C落在边上的处，并且点B落在边上的处，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．若设，，求下面的值： （1）________，________； （2）求的值． 19. 2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①测得水平距离的长为24米； ②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米； ③图图牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 请你帮助解决涵涵提出的问题． （1）放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ （2）为了让风筝表演更具趣味性，风筝高度需要再降低8米，且的长度不变，则图图应收回多少米的牵引线？ 20. 如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题． 将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 的度数 ________ ________ ________ ________ 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个斜边为的直角三角形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； （3）判断（2）中所画三角形的形状，并说明理由． 22. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ； ． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 23. 课本再现：在等腰中，． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连接． ①的度数为________； ②猜想线段之间的数量关系，并加以证明； （2）如图2，E为上一点，，，则的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一次质量调研试卷 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 如果是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零进行分析即可． 【详解】A．当时，无意义，故此选项错误； B．当时，无意义，故此选项错误； C．是任意实数，都有意义，故此选项正确； D．当时，无意义，故此选项错误． 故选：C． 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.，不是最简二次根式，故A不符合题意； B.是最简二次根式，故B符合题意； C. 不是最简二次根式，故C不符合题意； D、不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，不能含有分母． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的四则运算．根据运算法则逐一验证各选项的正确性，即可． 【详解】解：A选项：，而，故A错误． B选项：，符合二次根式乘法法则，故B正确． C选项：，结果为而非5，故C错误． D选项：，而，故D错误． 故选：B 4. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的概念，勾股定理的概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，据此判断即可． 【详解】中，不确定谁是直角边和斜边， 所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误； 在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误， ∴两人都错， 故选：C． 5. 下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，，， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键． 7. 若，则的值等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 8. 已知的三边长分别是、、，满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可． 【详解】解：A选项：由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B选项：由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C选项：由三角形三个角度和为180°，因为，又，即，所以是直角三角形； D选项：设三个角的度数分别为，，，即，解得：，三个角分别为54°，58.5°，67.5°，因而不是直角三角形． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的内角和定理，灵活的应用直角三角形的判定方法是解决问题的关键． 9. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】设边数为，利用多边形外角和为定值，以及边形内角和公式，列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为． ． 解得 ． ∴这个多边形是十边形． 10. 如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈雕龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）． 二、填空题．（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 比较下列两个数的大小：___________．（用“>”或“<”号填空） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键． 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 13. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【解析】 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 14. 第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】先由勾股定理得，再由完全平方公式得，进而得，再由三角形的面积为，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积为． 15. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕， ，折叠后，点C落在边上的处，并且点B落在边上的处，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由30°直角三角形易得长，根据翻折和对边平行可得和为等边三角形，那么就得到长，相加即可． 【详解】解：∵和对折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，注意使用翻折前后得到的对应边相等，解题的关键是掌握对应角相等这个知识点及30°直角三角形边角关系等知识． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．若设，，求下面的值： （1）________，________； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接代值进行求解即可； （2）根据完全平方公式可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴． 19. 2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①测得水平距离的长为24米； ②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米； ③图图牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 请你帮助解决涵涵提出的问题． （1）放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ （2）为了让风筝表演更具趣味性，风筝高度需要再降低8米，且的长度不变，则图图应收回多少米的牵引线？ 【答案】（1）此时风筝的高度是安全的 （2）图图应收回4米的牵引线 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得米，然后问题可求解； （2）由题意易得米，然后根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：，，， 由勾股定理得：米， 所以， 所以此时风筝的高度是安全的； 【小问2详解】 解：风筝高度需要再降低8米，此时米， 根据勾股定理得，米， 所以此时风筝线的长为26米， 米． 答：图图应收回4米的牵引线． 20. 如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题． 将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 的度数 ________ ________ ________ ________ 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）填表如下： 正多边形的边数 的度数 （2）存在，12； （3）不存在，理由如下： 假设存在正边形使得， 得， 解得， 又是正整数， 所以不存在正边形使得． 【解析】 【分析】（1）根据多边形外角和公式求出多边形的每个外角，再根据三角形的外角性质以及平角的定义求出即可； （2）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可； （3）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）如图ABCDE为正五边形，∠FAE=∠AEG=，∠1=∠2=∠3， ∴ ， 同理可求得正六边形、正七边形、正八边形中的度数； 填表如下： 正多边形的边数 的度数 （2）存在正十二边形，使其中的． 理由是：由（1）得 ∴， 解得， 即当多边形是正十二边形时，能使其中的； （3） 略 【点睛】本题考查了正多边形的外角问题以及三角形的外角性质，能求出正多边形的每个外角的度数是解此题的关键，注意：正边形的每个外角=． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个斜边为的直角三角形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； （3）判断（2）中所画三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图1，即为所求； （2） 如图2，即为所求； （3） 所画三角形为直角三角形．理由： ，，， ， ， ∴所画三角形为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查的是作图——应用与设计作图，勾股定理及其逆定理． （1）根据勾股定理画出图形即可； （2）根据勾股定理画出图形即可； （3）先判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ； ． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 【答案】（1），；； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； 结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）设两小正方形的边长分别为，，则有，，然后化简得，，然后通过剩余部分的面积为即可求解． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：，； ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：设两小正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴剩余部分的面积为． 23. 课本再现：在等腰中，． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连接． ①的度数为________； ②猜想线段之间的数量关系，并加以证明； （2）如图2，E为上一点，，，则的长为________． 【答案】（1）①； ②，证明如下： ∵、是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在中，， 在中，，即， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质和证明即可；②利用①的结论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证得结论； （2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求出，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：①∵、是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② 略 【小问2详解】 解：如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接， 则，， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $