湖南邵东市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次监测数学试卷

2026年上学期高二第一次监测数学试卷 时间：120分钟；分数：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)已知集合A={x∈Nx<4,集合B={-1,0,1},则图中阴影部分所表示的集 合为() B A.{-1,2,3} B.{-1,0,2,3} C.{-10,12,3} D.{0,2,3} 2.(本题5分)已知直线2x+w+6=0与直线(a-1)x+y+a2-1=0平行，则a=() A.2 B.-1或2 C.-1 D.-2或1 3.(本题5分)1+2x)1+x)的展开式中x2的系数是() A.10 B.15 C.20 D.30 4.(本题5分)甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计 划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一 部电影的概率为() B3.5 C.25 5 4 D.243 5.（本题5分)己知数列a}满足4=1，a2=2,41=a,·a(0n≥2），记b.=log,(a,ai),S。 为数列{b}的前n项和，则S。=() A.63 B.127 C.255 D.256 6.(本题5分)“a=0”是“圆(x-四2+y-a+62=16上恰有一点到坐标原点的距离为2的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 试卷第1页，共5页 7(本题5分)设耳及分别是椭圆C:言+广-1的左、右焦点，圆+y=0-与柄 圆C在第一象限内的交点为P,延长PF与椭圆C交于点Q,若P=2Q,则椭圆C的 离心率为() A. B c. 3 3 D 8.(本题5分)已知函数fw)=f'0e-f0)x+x2,若f)≥x+a-1)x+b恒成立， 则ab的最大值为() A.1 B C.2 D.e 二、多选题（共18分） 9.(本题6分)若复数==-1-4i,则下列结论正确的是（) A.z的虚部为-4i B.z的共轭复数为-1+4i c.=17 二3+5i D.1-2 10.（本题6分)已知函数f(国=Asi血(ox+A>0,o>0,4<的部分图象如图所示， 2 则下列结论正确的是() 5π O 12 6 A.A=2 B.f(x)的最小正周期为π C.x=-工是fx)的一条对称轴 D.f(x)向右平移严个单位得到的函数是奇函数 6 试卷第2页，共5页 11.(本题6分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是棱AB,AD 的中点，点P在线段CM上运动，下列选项正确的是() A.M,D,D,C四点共面 B.存在点P,使得∠BPD=90° C.平面CMN截正方体ABCD-AB,C,D所得的截面图形是五边形 D.点B到平面CN的距离是 2 三、填空题（共15分） 12.(本题5分)现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期 一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要 求不安排在星期五，则不同的安排方式共有 种 -x2+2x+3,x≤2， 13.(本题5分)已知函数f(x)= x',x>2 (a>0且a≠1)，若函数f()的值域 是R,则实数a的取值范围是 14.（本题5分)抛物线y2=2px(D>0)的焦点为F,过F的直线1与抛物线交于A,B两点 (其中点A位于第一象限)，出=3常，M是线段AB的中点，且点M纵坐标为2，则p= 四、解答题（共77分） 2 1 15.(本题13分)已知二项式 =-2x 的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中含x项的系数： (2)求展开式的第六项. 试卷第3页，共5页 16.(本题15分)记▲ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2、b2、c2成等 差数列 (1)若a=1,b=2,求▲ABC的面积 (2)求证：sin Asin(B-C)=sinCsin(A-B) 17.(本题15分)如图，在直三棱柱ABC-4BC,中，AC=BC=A4,D是棱A4的中点， 2 DC1⊥BD. (1)证明：DC1⊥BC: (2)求二面角A-BD-C1的大小. (3)在线段BC上是否存在一点工，使得DB与平面BCD所成角的正弦值为 若存在求 5 出该点的位置，若不存在请说明理由？ 18.(本题17分)已知函数f(x)=(2x-1)e. (I)证明：在曲线y=f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线y=3x的斜率相等； (2)当x≥1时，不等式f(x)≥kx-2恒成立，求实数k的取值范围. 试卷第4页，共5页 19.(本题17分》已知双腊线r若茶=1a>0,60的滨心学为 ”，其焦点到渐近线的 距离为1，点P为圆O:x2+y2=1上一动点. (1)求双曲线的标准方程： (2)若过点P可以作双曲线Γ的两条切线，12，且切点分别为A,B. (1)设直线41,2的斜率分别为k,k2,求k2的值： PA.PN (i)设4,2分别交圆O于点M,N,试探究 是否为定值？若是，请求出这个 IPB·PM 定值 试卷第5页，共5页 高二第一次月考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C A A A B BC AB 题号 11 答案 BC 1．A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 2．C 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 3．C 【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中的系数为. 4．C 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 5．A 【分析】通过对数变换将递推式转化为线性递推，发现是公比为2的等比数列，进而可求其前6项和. 【详解】由题意得，两边同时取对数得 ， 设，且有， ， ，，则， 满足，所以是以2为公比，1为首项的等比数列， 即，. 6．A 【分析】依题意，圆与圆相切，求出的值即可判断结论. 【详解】圆，圆心为，半径， 到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径， 圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切， 有，或， 当时，化简得，解得或； 当时，化简得，方程无解， 则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或， 所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件. 7．A 【分析】由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率. 【详解】如图，连接， 线段是圆O的直径，所以， 设，所以， 在直角三角形中，，整理得， 在直角三角形中，， ，得，即． 故选：A. 8．B 【分析】求导并利用赋值法求出函数，再等价变形给定不等式并构造函数，按分类，利用导数求出最小值，进而求得，然后构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 则，解得，于是， 又，则，， 不等式， 令，依题意，恒成立， 当时，，函数在R上单调递增， 而时，，不恒成立； 当时，恒成立，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此的最大值是，此时， 而，故的最大值是. 9．BC 【分析】利用复数的概念及运算即可判断. 【详解】对于A，z的虚部为，故A错误； 对于B，z的共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．AB 【分析】根据图象可得函数的最大值最小值，结合解析式可求，由此判断A；观察图象可得函数的周期，由此判断B；根据最小正周期求出，将点代入函数解析式可求，根据正弦函数性质求函数的对称轴判断C；求出平移之后的函数解析式，结合函数奇偶性的定义判断D. 【详解】观察图象可得函数的最小值为，最大值为，所以，故选项A正确； 观察图象可得函数的最小正周期，故选项B正确； 由，得，又，所以， 将点代入中，得， 所以，，又，所以， 故函数， 令，，可得，， 所以不是函数的一条对称轴，故选项C错误； 函数的图象向右平移个单位， 所得函数解析式为， 由函数定义域为，定义域关于原点对称，又 所以函数不是奇函数，故选项D错误. 故选：AB. 11．BC 【分析】对于A：可知与为异面直线，进而分析判断；对于B：建系并标点，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解；对于C：作辅助线，进而分析截面；对于D：利用等体积法求点到面的距离. 【详解】对于选项A：因为与为异面直线，所以，，，四点不共面，故A错误； 对于选项B：建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，，可得， 又因为，，，，则， 可得，， 假设存在点使得，则， 整理得，解得（舍去），或， 所以存在点，使得，故B正确； 对于选项C：如图，直线与，的延长线分别交于，， 连接，分别交，于，，连接，， 则五边形即为所求的截面图形，故C正确． 对于选项D：设点到平面的距离为， 由正方体的棱长为2可得，， 且， 可得，， 由，即，可得， 所以点到平面的距离是，故错误． 12． 【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种， 若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种， 故不同的安排方法有种. 13． 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 14． 【分析】方法一：过作，过作，利用抛物线的定义和相似三角形的性质，结合点差法进行求解即可； 方法二：利用抛物线上的点到焦点的距离公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】方法一：由题知，设，则，， 延长交准线于点，过作，过作， 则，，显然相似于， 所以，即，所以，所以， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 设，，则， 得，所以， 所以， 又因为，所以. 方法二：由题知， 设直线的倾斜角为，则有， 所以直线的斜率为，由方法一， 得. 15． (1)-280 (2) （1）根据二项式展开式的通项得，令，可求，由此可求结论； （2）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． （2）二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为． （3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系及三角形面积公式计算即可求解； （2）由余弦定理及可得，根据正弦定理及两角和差的正弦公式化简即可得证. 【详解】（1）由题意可得，将，代入可得， 则， 因为，所以， 所以的面积为； （2）由余弦定理及可得， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 即， 化简可得. 17．(1)证明见解析 (2) (3)存在，的中点 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；通过法向量的夹角来求二面角的大小； （3）设出点的坐标（用参数表示），再求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列出方程，求解参数判断是否存在及位置. 【详解】（1）直三棱柱中，侧棱面，面，. 假设，， ，，， ，故. 又，，平面， 平面，平面，. （2）如图所示：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：, 则， 设平面的一个法向量为， 则：，令，得，故. 设平面的一个法向量为， 则：，取，得，故. 所以， 由图易知二面角为锐二面角，故， 所以二面角的大小为. （3）设在线段上，令，，得， 则. 设线面角为，由（1）知平面的法向量为. ， 所以， 解得，符合要求， 所以存在满足条件的点，为线段的中点. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分析的单调性及取值情况，可得有唯一解，从而证得在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）分离参数，构造新函数，通过分析新函数的最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2）当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． 19．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是，1 【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解； （2）（ⅰ）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解；（ⅱ）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解， 当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解. 【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为， 由题意可得， 又因为，所以，， 故双曲线的标准方程为； （2）（ⅰ）设，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得： ， 则由得：， 化简得：， 则，为上述方程的两个根，故， 而，所以 （ⅱ）为定值1. 证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知， 此时，即； 当，都存在时，设，，的中点为， 由，即， 由于切点弦所在的直线方程为，所以， 因此，即，，三点共线， 又由（ⅰ）可知与均为直角三角形，故，， 则，，而， 所以，故，， 所以，即 学科网（北京）股份有限公司 $