精品解析：湖南株洲市第十三中学2025-2026学年下学期高二三月测试数学试题

2026年上学期高二三月测试 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得集合，根据集合的并集运算即得答案. 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以，所以复数的虚部为. 故选：A. 3. 平面向量，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 因此. 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦和差公式及齐次式化弦为切即可求. 【详解】. 故选：D 5. 已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意联立方程求点的横坐标，由结合弦长公式整理可得关于的方程有且仅有一个解，分类讨论运算求解. 【详解】由题意可得：， ∵直线的斜率存在且不为0，设为，则直线， 联立方程，消去y得：，解得或（舍去）， 即点B的横坐标为， 同理可得：点C的横坐标为， 由题意可得：，即， 整理得：， 由题意结合椭圆的对称性可得：关于的方程有且仅有一个解，则有： 当是方程的根，即，则， 若，则有且仅有一个解，即符合题意； 当不是方程的根，则在内无零点， ∵，则的对称轴， ∴，解得； 综上所述：，故椭圆离心率. 故选：B. 【点睛】易错点点睛： 在处理关于的方程有且仅有一个解的问题时，注意到该方程一定有一解，则需要讨论是否为的根. 6. 已知是椭圆与抛物线的一个交点，定义.设定点，若直线与曲线恰有两个交点与，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线与椭圆联立，得到和，从而得到，画出和图像，根据焦半径公式，得到和，从而表示出的周长，根据的范围，得到答案. 【详解】，解得，， 所以， 直线， 作出函数和的图像， 由图像可得点在抛物线上，在椭圆上， 点为抛物线的焦点， 所以， 点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为， 所以，即 由焦半径公式可得，的周长为 ， 由，得到， 所以的周长的取值范围为. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义，椭圆焦半径公式，椭圆上点的范围，属于中档题. 7. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球）， 又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支） 过点作，而面， 所以面， 设为中点，则二面角为， 所以不妨设， 所以， 所以，令， 所以， 等号成立当且仅当， 所以当且仅当时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解. 8. 已知函数的图象在区间内恰好有5对关于轴对称的点，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】令，，根据对称性，问题可以转化为与的图象在内有个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，， 因为与的图象关于轴对称， 因为函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点， 所以问题转化为与的图象在内有个不同的交点， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示： 因为，当时，， 结合图象及选项可得的值可以是，其他值均不符合要求,. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程判断选项A，再由两点间距离，判断BC，利用切线方程的斜率和韦达定理求解判断选项D. 【详解】对于A，根据题意，，则，故，故A正确； 对于BC，设，则， 而圆的圆心，半径为， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 所以的最小值为，最大值为，故B错误，C正确； 对于D，设，过点的直线方程为：， 联立，， 根据直线与椭圆的相切，则， 化简可得，， 可知是方程的两个根，所以， 所以，当且仅当取等号，故D错误. 故选：AC 10. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图： 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 11. 已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件，条件概率的概率公式逐项计算即可得. 【详解】对A：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，故A正确； 对B：∵，∴， 又∵ 解得，，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 13. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可求平面截得球的截面面积最小值；利设在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可得周长的取值范围． 【详解】过点在平面内作，垂足为，如下图 易知，， 由勾股定理可得，则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面，取最大值，即，所以， 所以平面截得球的截面面积最小值为． 由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面射影为， 如图： 则，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，所以周长的取值范围为． 故答案为：； 【点睛】方法点睛：选择填空题中，遇到求函数的最小值问题，常见的方法有： 1.转化为二次函数的值域问题求解； 2.利用基本（均值）不等式求最值； 3.通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； 4.利用导数分析函数单调性，求函数的最值. 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】由欧拉函数定义，确定中与8互质的数的个数求，且，应用作差法判断的单调性，即可求最大值. 【详解】由题设，则中与8互质的数有，共4个数，故， 在中，与互质的数为范围内的所有奇数，共个，即， 所以，则， 当时，当时，即， 所以的最大值为. 故答案为：4， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. （1）混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； （2）求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； （3）若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设分析知，甲队伍在前4场比赛，每场胜率均为，且甲前3场胜2场且第4场获胜，应用组合数及独立事件乘法公式求概率； （2）分前3场比赛中未出现和出现两种情况，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （3）设表示甲在前3场结束获胜，表示前3场比赛中出现，结合（2）知、，再应用条件概率公式求概率. 【小问1详解】 混双M在前4场中没有比赛的前提下，甲队伍在前4场比赛结束就获胜， 由题意，甲队伍在前4场比赛，每场胜率均为，且甲前3场胜2场且第4场获胜， 所以所求概率为； 【小问2详解】 甲在前3场比赛中，未出现的概率为，3场比赛甲全胜概率为， 甲在前3场比赛中，出现的概率为，3场比赛甲全胜概率为， 所以甲在前3场比赛结束就获胜的概率. 【小问3详解】 设表示甲在前3场结束获胜，表示前3场比赛中出现， 所以. 16. 在中，，D为中点， . （1）若，求的长； （2）若 ，求的长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案； （2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案. 【小问1详解】 在中，， 则 ， 在中， ， 所以. 【小问2详解】 设， 在和中，由正弦定理得，， 又，得， 在中，， 由，有， 所以，整理得：，① 又由，整理得：，② 联立①②得，，即.， 解得或， 又，故， 所以. 17. 已知菱形ABCD中，，四边形BDEF为正方形，满足，连接AE，AF，CE，CF． （1）证明：； （2）求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取CF的中点M，EF的中点N，连接AC，交BD于点O，连接EM，CN，AM，ON．由已知条件可证，再利用线面垂直的判定，即平面ONC，证明平面ONC，即平面ONC，然后根据等边三角形三线合一证明，即可得到平面AEM，最后根据线面垂直的性质证得； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用等面积法可得OC边上的高，由勾股定理可得，进而得到E点坐标，再求出平面BDEF的一个法向量为，利用线面角的公式求解即可；方法二：将原图补成一个平行六面体，显然该平行六面体每个面均为有一个角为的菱形，令，，，表示出和平面BDEF的一个法向量为，利用线面角的公式和数量积的运算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，取CF的中点M，EF的中点N，连接AC，交BD于点O，连接EM，CN，AM，ON． ∵菱形ABCD中，， ∴△ABD为等边三角形，∴． ∵四边形BDEF为正方形， ∴． 又∵，， ∴在△ABF中，由余弦定理可得． ∴，又M为CF的中点，∴①． ∵四边形ABCD为菱形，∴． 又∵四边形BDEF为正方形，，，则， ∴，又，ON、AC在面ONC内，故平面ONC． ∵，∴平面ONC，NC在面ONC内，∴， 由N为EF的中点，得． ∵，，，． 又∵，∴为等边三角形，∴． 又，，∴为等边三角形． 又∵M为CF中点，∴②． 由①②，且，EM、AM在面AEM内，得平面AEM， 又AE在面AEM内，故． 【小问2详解】 方法一：以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得，． 点N作NH垂直OC于点H，在中，，，可得ON边上的高为，由等面积法可得OC边上的高， 由勾股定理可得，故，， ，， 设平面BDEF的法向量为， 则，即，取，平面BDEF的一个法向量为． 设直线AE与平面BDEF所成角为，则， ∴直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为． 方法二：将原图补成一个平行六面体，显然该平行六面体每个面均为有一个角为的菱形． 令，，， 依题意，，， 则， ，， 由于， ， 所以A1C与EF、BF都垂直且EF、BF都在面BDEF内，故为平面BDEF的一个法向量， 设直线AE与平面BDEF所成角为， ， ∴直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为． 18. 已知函数，． （1）当时，求证：； （2）函数有两个极值点，，其中，求证：． 【答案】（1） ，则 令，则， 在上，单调递减，在上，单调递增． 所以， 综上，，即在上单调递增，故， 即时，成立． （2） 由题设，有两个极值点，，则①， 要证成立，即证成立． 令，，即证成立． ①式可化为，则， 令，， 在上，单调递增，在上，单调递减． ，要使有两个零点，则， 当时，，若与交于，则， 当时，由（1）知，若与交于，则，， 所以成立，则． 【解析】 【分析】（1）构造求导，再构造应用导数研究单调性求函数符号，进而确定符号，判断单调性即可证结论； （2）令，，问题化为证成立，根据极值点有，构造研究单调性和最值，研究有两个零点求范围，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问，令，，将问题化为证明成立，通过构造，研究有两个零点求范围为关键. 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 【答案】（1） （2）①证明：由题意将与双曲线联立，，化简得， ， ，同理将与双曲线联立，，同理可得， ， ，同理， ， ，．从而可证． ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ， 令，则， 令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递增， ， ，又因为时，， ．从而可证． AI 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再利用，从而可求解； （2）①中将直线与双曲线方程分别联立求出，，从而求出，同理求出，从而可证；②中由（1）可得当时，且，则可得直线方程为：，再由到到的距离，从而求出，令，再利用导数求出，从而得，又因为而时，，从而可证. 【小问1详解】 双曲线， 双曲线的离心率. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：第二问的第一小问可分别将两条射线，和双曲线联立，进而求出和的坐标，从而算出和的斜率，直接代入斜率公式，可以得到是一个关于，的式子，其值为定值，故也有．最后一小问受（2）第一小问的启发可分别写出，的坐标，并写出直线的方程，算出的长和点到直线的距离，进而表示出的面积，并视为主元，构造一个函数，求出的最小值，进而得到的最大值，接着就是对进行放缩处理了，向右裂项放缩即可得出结果，本题比较综合涵盖三角形面积的转化求解，主元法和构造函数求最值以及数列中裂项放缩求和等经典元素，实属一道不可多得的好题，值得一做． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二三月测试 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆与抛物线的一个交点，定义.设定点，若直线与曲线恰有两个交点与，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象在区间内恰好有5对关于轴对称的点，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 10. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 11. 已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 13. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________． 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则_________；若，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. （1）混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； （2）求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； （3）若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 16. 在中，，D为中点， . （1）若，求的长； （2）若 ，求的长. 17. 已知菱形ABCD中，，四边形BDEF为正方形，满足，连接AE，AF，CE，CF． （1）证明：； （2）求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求证：； （2）函数有两个极值点，，其中，求证：． 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $