课时37 平面向量的基本定理及坐标表示-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) (2)若A,P,B三点共线，则存在实数 A,使得AP=入PB,变形得QP-OA =A(OB-OP),即(1+A)OP=入OB +成亦-+-十 1十 路0-m0i+n0i,中+ 1千-1，故m十n=1. 1 11.A.[OB-AB-AO.OC-AC- AO.:.a OA+bOB+c OC=a OA+ 6(AB-AO)+c(AC-AO)=6AB+ c AC-(a+b+c)AO,a0A+6OB +cOC=0,..(a+b+c)AO=6 AB 十：花申的=店十 aAC,AB-cm.AC-bn2. 其中n1,n2分别表示AB,AC方向上 的单位向量，则A0=bc a十b+c(n1+ n2),由该式可以看出AO平分 ∠BAC,同理可知BO平分∠ABC, CO平分∠ACB,故O为内心.] 12.BD[因为Ad-专花 所以AC-3AD, 又因为AP-AA店+红A记 =AAB+3uAD. 因为P、B、D三点共线，所以A十3 =1, 又因为入以为正实数，所以=子入 1 当且仅当=3，即X=之n=吉时 1 取等号，故A错误，B正确： +动-（+动）+)-2+ λ 当且仅当兴-京即入-合4-吉 时取等号，故C错误，D正确.] 13.解析：M,N分别是OA,OB的 中点： ·OC=xOA+yOB =2xOM+2yON, M,C,N三点共线， ∴2x+2y=1,即x+y=合， w≤（生）= 2+y2-(c+0-2w- 2xy≥11=1 488 答案：日 14.解：(1)连接AO. 因为OC=20B, AB= B mAM,AC-nAN 0 所以AO=AB+BOM1 -A店+号配 -AB+子(AC-AB) 5.B[如图，建立 平面直角坐标D 系，则A(0,0),B (4,0),C(4,3),D (0,3).设 因为M,O,N共线， Mm,0),N(0, 所以号m+-1,2m+n-3. n),因为2AM +|AN|=1,所以2m十= (2)显然>0，所以点+1≥2十2 m n 1(0≤m≤号，0≤n≤1）周为AC n t xAM+yAN-AB+AD,所以工 六y=子所以2+=是+号 4 (品+号)水2m+n)=25+0+18 -言(+0+品)≥1+ ≥25+24=49，当且仅当80-18m,即 当且仅当n=√②m, 号m=号时取等号] m= 即m=3-39=3-3时， 1 2 6.AC CAO-AB+BO-AB+BC- 号取到最小值1十号 2 =W2+1)2 应+专配-商子+花A 3 正确，B错误；因为AB=mAM,AC= 于是E+1)2E+1E 3 nA衣.所以A0-号A正+号C-智 t≥6-32.故实数1的最小整数 i+号.又因为M.O.N三点 值是2. 课时冲关37 共线，所以号m十子m=1,故2m十m 1.A[由题意AB=(-4,-9),CD= 3,C正确，D错误.] (冬5）所以+2市-(31 7.BC[由平面向量基本定理可知，A,D 是正确的.对于B,由平面向量基本定 从而与向量AB十2CD同方向的单位向 理可知，若一个平面的基确定，那么该 量为 AB+2 CD A店+2CD V+3,1) 平面内的任意一个向量在此基下的实 数对是唯一的.对于C,当两个向量均 为零向量时，即入1=2=41=2=0 时，这样的入有无数个，或当入1e1十 he2为非零向量，而入2e1十2为零 向量(2==0)，此时入不存在.] 2.D[由题意得PP1=2PP2,设P(x,y), 则(2-x,3-y)=2(-1-x,4-y), 8.解析：因为在△ABC中，i=号元， .2-x=-2-2x,且3-y=8-2y, 所以CB-3CD, 解得x=一4，y=5,即P点的坐标为 (-4,5).] 又因为CP-xCA十yCB, 3.A[延长AD,CB交于点E 则CP-xCA+3yCD, 因为A,P,D三点共线，则x十3y=1, 结合题意知x>0,y>0, D 所以十义=1 ry +3,-++4≥2√·+ 4=25+4, 则B,P,E三点共线，于是可得AP= 当且收当{行-义 号A店+A花，周为AB/CD且AB (x+3y=1, -4CD,所以正-兰，所以AP 3-1 2 时，等号成立， 号A店+是×A-号店+ 3-√5 5 3 y= 6 答案：4+25 4.B[由0A-ab,0店=2a-b.0元 9,解析：周为AC=吉A店， =a-2b,所以AB=QB-QA=(2-入) 所以AC-号0店-0i. a-(1+p)b,BC=OC-OB--a-b, 因为D为OB的中点， 若A,B,C三点共线，则AB∥BC,即 (2-入)=-(1十)，化简得A=μ十3.] 所以0i=0, ·540 所以DC-Dd+元=-O+(0i :AP=AAB+AD(a,∈R), +0=-0i+0+合0成 .(x,y)=λ(W5,0)+(0W5). ·{红=x十3y=A+5 0i-号0-品0成，所以-合 (y=3, 以=一 品则如的值为一云 :x+y≤+-√2x是 .6 答案：一 -√10，当且仅当x=y时取等号， 10.解：(1)AB=(-2,3),AC=(a-1, b一1)，因为A,B,C三点共线，所以 i+的最大值为四 向量AB与AC也共线，所以-2(b-1) 答案：四 =3(a一1)，所以a与b满足的关系 14.解：(1)以A点为原点，AB所在直线 式为3a+2b-5=0. 为x轴，AD所在直线为y轴，建立平 (2)由|AC|=2|AB|,可得AC 面直角坐标系，则D(0,1),B(2,0), 2AB,或AC=-2AB, M(号N(,号) 当AC=2AB时，有(a-1,b-1)= 2(-2,3)→a=-3,b=7； 所以N=(告，专)=(20, 当AC=-2AB时，有(a-1,b-1)= AD=(0,1), -2(-2,3)→a=5,b=-5:所以点 C的坐标为(-3,7)或（⑤，-5）. 所以-（一号）厂AA店+ 11.A[如图，设BC的中点为D, 2λ= 3 以AD=(2入，)，所以 =-3 1 D EGF 解得A=2 则BA.心-B胶-成.B成，所 (2)设AE=tAC,AC=mAM十 以BA.B元-B元.BD-BC.(BA nAN, BD)-BC·DA=O,AD⊥BC,则AB =AC,设d=A店+是AC,由于 AB=AC,则d2=b2,则1b|=d. 假如a,d,c的起点均为A,运用加法 的平行四边形法作图求和，对角线对 因为a-(号1)AN-(,号) 应的终点E,F,G如图所示，所以b AC=(2,1. >c>a.] 12.D[,O为三角形ABC内一点，且 所以AC=(2,1) 满足OA+2OB+3OC=3AB+ -(学m+2m+号） 2BC+CA,∴.OA+2OB+3OC 36 3(OB-OA)+2(OC-OB)+(OA- 解得m=宁n=7· OC)→3OA+OB+20C=0, 即AC-号AM+号A. :SA·OA+SB·OB+S·OC-0, 所以A正=1AC-号1Ai+气， :S△AB S△AOB 又因为M,E,N三点共线， 'S△ABCS△AOB+S△RC+S△AOC Sc 1 5A+SB +Sc3] 所以号+号=11=， 13.解析：建立如图 所以A正=A+号成 所示的平面直 角坐标系， 课时冲关38 设P(x,y), 1.B[(a+b)·(a-b)=0,a2-= B(5,0),C(5 0,∴.a2=b2,则|a=b,不能得到a 3),D(05). =b或a=一b,充分性不成立：若a=b 或a=一b,则(a十b)·(a-b)=0成 ·AP=⑤ 2 立，必要性成立.所以“(a十b)· (a一b)=0”是“a=-b或a=b”的必 2+y=, 要不充分条件，] 点P满足的约束条件为 2.B[因为b=2a,a与b的夹角为 60°，所以a·b=abcos609 「0x√5， 0≤y≤5， -ax21al×号-la2, +- 则(2a-b)·b=2a·b-b2=21a2 4a2=-2a2, ·541· 参考答案 所以2a-b在b上的投影向量为 2a-b).b×b =-2a2 b b b 2a ×2a h. 3.A [DB-DA+ A三 BA,CD=BA, 则DB·CD=( BC-BA)·BA --BC.BA-BAu-a 2 4.A[因为a=(√3,2√3)，b=(-√3，λ)， 所以a·b=√3X(-√3)+2√3λ=-3 +23,a+b=(5,23)+(-√5，A) =(0,23+A), |a+bl=√(23+a)2=|25+a|, 因为(a+b)·b=a·b+b2=-3+ 2√3A+3+A2=a2+23A, 又因为(a+b)·b=a+cos3 。2π =2+刘×+×() 所以2+2√3A=|25+X√3十 ×(号）解得-1或2-1 因为25+A≠0，所以2十251<0， 解得-25<入<0，所以A=一1.] 5.D[因为|OA|=|OB=2,|AB 2 由AB=OB-OA平方，可得OA·OB =0,所以(OA,OB)=元 2 2 CA+AB-2(OA-OC)+OB-OA =OA+OB-2OC,1OC1-√32+4☑ =5, 所以|2CA+AB12=OA+OB+ 40元-4(A+0B).0C =2+2+4X25-4(0A+0B).0d =104-4(0A+0B)·OC, 又OA+OB.C≤1A+OB110 二5×2+2=10，即-10≤(0A+ OB)·OC≤10， 所以2CA十AB12∈[64,144]， 即|2CA+ABl∈[8,12].] 6.AC[若a∥b,则2一m=3m,解得m -分，戴选项A正确：若alb,则m(2 -n)十3=0，解得n=一1或n=3, 故选项B错误：由题得2a十b=(4一 m,7),故|2a+b=√72+(4-n)2≥ 7,当且仅当m=4时取得最小值，故选 项C正确；当n=0时，a·b>0,a与b 的夹角不为钝角，故选项D错误.] 7.ABD[据题意，a2=b2=1,a·b =1X1×c08120°=-2， 因为(a+b)2=a2+b2+2a·b=1+1 +2×(合）-1.所以a+创=1.所 以A正确：高考总复习数学(BS)》 [答题栏] 课时冲关37 平面向量的基本定理及坐标表示 1 「基础训练组] 7.(多选)如果e1,e2是平面a内两个不共线的 21.已知点A(2,6),B(-2,-3),C(0,1), 向量，那么下列说法中不正确的是() A.ae1+e2(入，∈R)可以表示平面a内的 3 D侵6)调与尚经店+2市洞方向的单位 所有向量 向量为 ) B.对于平面&内任一向量a,使a=e1十e2 4 的实数对（入，u)有无穷多个 A. 3√/10√10 B. √103√10 5 10 10 1010 C.若向量入1e1十1e2与入2e1十2e2共线， 则有且只有一个实数入，使得入1e1十1e2 --6 25 =λ（入2e1十2e2） 72.已知P1(2,3),P2(-1,4),且|PP11 D.若实数入，使得λe1十e2=0,则入=4=0 --11 2|PP2,点P在线段P1P2的延长线上，则 8在△ABC中，Bi=号B配，P是线段AD上 --.12 P点的坐标为 的动点（与端点不重合），设CP=xCA十 A.(-5,4) 45 yCB,则十的最小值是 y C.(4,-5) D.(-4,5) 3.在梯形ABCD中，AB∥CD且AB=4CD, 9.在△A0B中，C-号i.D为0B的中点，若 点P在边BC上，若AP-2AB+入AD,则 DC=λOA+OB,则的值为 实数λ= 10.已知A(1,1),B(-1,4),C(a,b). (1)若A,B,C三点共线，求a与b满足的 6.6 关系式； c (2)若A,B,C三点共线，且|AC=2AB, 求点C的坐标. 4.已知a,b是不共线的向量，OA=a+b,OB =2a-b,OC=a-2b,若A,B,C三点共线， 则入、μ满足 ( A.入=H-3 B.入=u十3 C.λ=4十2 D.λ=H-2 5.在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M,N分 别是AB,AD上的动点，且满足2|AM+ |AN|=1,设AC=xAM+yAN,则2x+3y 的最小值为 () A.48 B.49 C.50 D.51 6.(多选)已知△ABC中，O是BC边上靠近B 的三等分点，过点O的直线分别交直线 AB,AC于不同的两点M,N,设AB= mAM,AC=nAN,其m>0,n>0中，则下 列结论正确的是 () A.A0= 号A+Ad B0-Ai+号ad C.2m+n=3 D.m+2n=3 ·304· 主题三第六章平面向量、复数 [能力提升组] (1)若MN=入AB+uAD,求λ和的值； 1.在△ABC中，BA.BC=2BC,若a (2)用向量AM,AN表示AE. 号AB计号AC,b-子A店+ACc=号A店 +AC,则 () A.bl>cl>al B.bl>al>cl C.lal>c>b D.cl>al>bl 12.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点， △BOC,△AOC,△AOB的面积分别为 SA,SB,Sc,则SA·OA十SB·OB+Sc· OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非 常优美的结论，因为这个定理对应的图形 与“奔驰”轿车的1ogo很相似，故形象地称 其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内 点，且满足：OA+2OB+3OC=3AB+ 2BC+CA,则△40B S△ABC A号 b.2 c 13.在矩形ABCD中，AB=√5，BC=√5，P为 矩形内-点，且AP-9若P-AA店十 AD(,∈R),则√5入+√34的最大值为 14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2,AD =1,DM=号DC,BN=号BC,AC与MN 相交于点E. ·305·